If( ) 1= x10- y ocurri6 en la iteracion n == 7. Sera que x 7 es mejor

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1 Capitulo 2. SOLUCON NUMERCA DE UNA ECUACON NO-LNEAL EN UNA VARABLE 41 De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.2, a = :::: a 2 ' Y f(a) ~ Observe que el menor valor de f(n)l, n =1,2,3,...,8 es 4 f( ) 1= y ocurri6 en la iteracion n == 7. Sera que 7 es mejor aproimaci6n de a 2 que a? Si usamos el metodo de Bisecci6n para buscar aproimaciones de a 3 E[3.7, 3.8], con la misma precisi6n de a, obtenemos: 2 E[-.5,-A] y a 1 a1 '" = e ' f(a) = s 3 a 3 :::: = e ' f(a) = - 2A Algunas de las desventajas del metodo de Bisecci6n con respecto a otros metodos son No tiene en cuenta la magnitud de los valores de la fu nci6n en las aproimaciones calculadas n ' s610 tiene en cuenta su signo, 10 que hace que una aproimaci6n intermedia, mejor que ';'-- - ' la respuesta final, pase desapercibida. t Aunque,el metodo converge, siempre, su convergencia es muy lenta, comparada con la convergencia de otros metod os que estudiaremos, por 10 que se sugiere escoger el intervalo inicial [a,b] tan pequeno como sea posible 0 usar el metodo de Biseccion para obtener un, buen punta de arranque para la aplicaci6n de otro metodo. Una de las mayores ventajas que tiene el metoda de Biseccion es que el error de b - a truncamiento, a - n, se acota facilmente (recuerde que a - n ~ - n- )' 2 Ejercicio 2.1 Use el metodo de Biseccion para estimar la menor raiz positiva de la ecuacion - tan = 0, can una precision de por 10 menos 3 cifras decimale~ eactas, empezando con un intervalo [a, b] que contenga a dicha raiz y b - a = 0.1.,- " Metodo de Pos ici6n Falsa (0 Regula Falsi): Consideremos una funcion f continua en un intervalo [a,b] y tal que f(a)f(b) < O. E metodo de Posicion Falsa, para encontrar una aproimaci6n de una raiz a de f() = 0 en (a,b), es similar al metodo de Bisecci6n en el sentido de que se generan subintervalos [an,bn] que encierran a la raiz a, pero esta vez n no es el punto media de [an, b n ], sino el punto de interseccion de la recta que pasa por los puntos (an,f(an)), (bn, f(bn)) con el eje (ver la FGURA 2,6 siguiente). A reemplazar la curva por una recta se obtiene una "posicion falsa" de la raiz, de aqui ei nombre del metodo. Tambien se e canoce como metodo de nterpolaci6n Lineallnversa.

2 42 METODOS NUMERCOS FGURA 2,6 Empezamos tomando a 1 = a, b 1 = b Y encontramos la primera aproimaci6n de la raiz, 1, " como la intersecci6n con el eje, de la recta secante a la curva que pasa por los puntos (a 1,f(a 1 )), (b 1,f(b 1 )) : Si f( 1 ) = 0, entonces a = 1 Y el proceso termina. Si f(a1)f(1) < O entonces a E(a 1,1) y tomamos a 2 = a1, b 2 =1, de 10 contrario tomamos a 2 = 1 ' b 2 = b 1 ' Aplicamos nueva mente el proceso anterior al intervalo [a 2, b 2 ], es decir, hacemos Oespues de la (n -1 )-esima iteraci6n, tenemos a E(an,bn) y tomamos Observe que en el denominador de la epresi6n anterior nunca se resta, pues f( an )f(bn) < 0, Este metodo tiene la desventaja, con respecto al de Bisecci6n, que la longitud del subintervalo que contiene a la rafz en general no tiende a cera, porque la mayoria de las graficas de las funciones son c6ncavas (hacia arriba 0 hacia abajo) en la vecindad de la raiz, 10 que hace que uno de los etremos de los subintervalos se apraime a la ra[z, mientras el otro permanece fijo (ver la FGURA 2,6 anterior), Por 10 anterior, la lon.gitud del subintervalo [an, b n ] no puede tomarse como un criterio de aproimaci6n a la rafz; se requiere una tolerancia en el valor de la funci6n en la apraimaci6n

3 Capitulo 2. SOLUCON NUMERCA DE UNA ECUACON NO-LNEAL EN UNA VARABLE 43 n' es decir, f(n) < E 0 n - n_ 1 1< E para alguna tolerancia E> O previamente escogida. E procedimiento termina cuando se alcance esta tolerancia 0 un numero maimo de iteraciones previamente establecido. Se puede demostrar, ver Ralston, 1965, pagina 324, que este metodo converge siempre que f sea continua. Ejercicio 2.2 Escriba un algoritmo para el metodo de Regula Falsi. * Ejemplo 2.3 Con respecto a las raices a 1 E[-.5,-.4], a 2 E[.9,tO], a 3 E[3.7,3.8] de la ecuaci6n ex = 0, si usamos el metodo de Regula Falsi con criterio de aproimaci6n se obtienen los siguientes resultados nstrucci6n en DERVE: a l ~ = X 3 Y f(3) = a2 ~ = X3 Y f(x 3) = a 3 ~ = X4 y f(4) = REGULA( f( ),, a, b, N): aproxima las primeras N iteraciones en el metodo de Regula falsi aplicado a la funci6n f( ) en el intervalo [a, b] 0 Compare los resultados anteriores c~n los obtenidos por el metodo de Bisecci6n. * Ejercici9 2.3 Aplique el metodo de Regula Falsi para estimar la menor raiz positiva a de la ec:;uaci6n - tan = O, usando como criteria de aproimaci6n f(n) < 5 10-s Con ~i.f.r.as aeetmales eactas aproima el valor obtenido.n a a? * 2.2 METODOS ABERTOS A diferencia de los metodos cerrados que requieren de un intervalo que encierre la raiz buscada, los metodos abiertos que se veran requieren de un solo valor 0 dos valores iniciales (de arranque) que no necesariamente encierran dicha raiz ; esto hace que algunas veces las sucesiones generadas por estos metodos sean divergentes 0 se alejen de la rafz de interes (~ probablemente ~ otra ra fz), pero tienen la ventaja que cuando convergen 10 hacen "mas rapidamente" que las sucesiones generadas por los metodos cerrados Metodo de Punto Fijo: Dada una ecuaci6n f() = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente (al menos localmente) del tipo = g( ) para alguna funci6n g. Ento~ces el proble~a de hallar una raiz de f( ) = 0 se transforma en el equivalente de hallar una raiz de.~ = g().

4 44 METODOS NUMERCOS Definicion 2.2 Un numero a tal que a = g(a) se dice un punta fija de la funcion g. V' CCuando una funcion 9 tiene un punta fijo, y si 10 tiene, como encontrarlo? E siguiente teorema da respuesta parcial (condiciones suficientes) a las preguntas formuladas antes. Tearema 2.1 (de punta fija) Si 9 es una funcion continua en [a,b] y g() E[a,b] para todo E [a, b], entonces 9 tiene por 10 menos un punto frjo en [a, b]. Si ademas, g'( ) eiste para todo E ( a, b) Y/1 g'() :os; K < il para todo E ( a, b), K constante, entonces 9 tiene un unico punto frjo a E [a, b] Y la sucesion {n} n defrnida mediante la formula de iteracion n = g(n_1), n=1,2,3,... converge a a cualquiera sea Xo E[a, b], Y se tienen las siguientes cotas para el error de truncamiento, a - n : i) a - n :os; K n Ma {o - a, b - o}, para cad a n ~ 1,. Kn ii) a - n :os; Xo ' para cada n ~ 1, 1- K iii) a - n :os; 1~K n - n-1 " para cada n ~ 1. lustracion: y y =X b y = g(x) a ---, --r--r---~ , b FGURA 27 Demastracion: Eistencia: Si g(a) = a 0 g(b) = b, entonces a 0 b es un punto fijo de go

5 Capitulo 2. SOLUC6N NUMERCA DE UNA ECUAC6N NO-LNEAL EN UNA VARABLE 45 Supongamos a < g(a) Y b > g{b) Y sea h()=g{) - Entonces h es continua en [a,b], h(a)=g(a)-a > O, h(b)=g(b)-b < O, por tanto (teorema del valor intermedio) eiste por 10 menos un a. E(a,b) tal que h(a.) = 0, esto es, a. = g(a.). Unicidad: Supongamos que 1g'() 15 K < 1 para toda E ( a, b) Y alguna constante K, y sean. a. y p puntos fijos distintos de 9 en [a, b]. Entonces para algun ~ E(a.,p), 10 cual es un absurdo, asi que a. = p y entonces el punto fijo en [a, b], que eiste segun la primera parte, es unico. Convergencia de fa sucesi6n {n t con n = g( n- 1 ), n = 1,2,3.. Y cotas para 1a. - n : Sea Xo E [a, b] cualquiera. Entonces para algun y entre a. Y n - 1. Procediendo inductivamente sobre n, se tiene que (2.2) y como K n -40 cuando n , pues 05 K < 1, entonces En = 1a. - n cuando n , es decir, lim n = a.. n-><y.l De la relaci6n (2.2), se tiene que De otro lade asique y como 0 5 K < 1, entonces (2.3) Nuevamente, de (2.2) 1a. - Xn 15 K n 1a. - Xo 1 y entonces multiplicando a ambos miembros de (2.3) por K n, obtenemos

6 46 METODOS NUMERCOS asique K n a - n 1:5 K nl a - Xo 1:5 -- Xl - Xo 1- K K n ii) a-n 1:5 --,Xl - O, n = 1,2,.., 1-K La demostraci6n de la parte iii) se deja como ejercicio, V E metodo de Punto Fijo para encontrar una raiz a de la ecuaci6n X = g(), consiste en generar la sucesi6n {n} n mediante la f6rmula de iteraci6n con Xo dado. n = g(n_l ), n = 1,2". Nota: Observe, a partir de la cota de error dada en el teorema 2.1, ii), que para 0 ::; K < 1, entre mas pequel'\a sea K, es decir, entre mas pequeria sea g'(), E(a,b), " m~s rapida" sera la convergencia de la sucesi6n { n } n a a. La convergencia puede ser muy lenta si K esta cerca de 1. _ Algoritmo 2.2 (Punto Fijo) Para encontrar una aproimaci6n a de un punto fijo a de una funci6n g, dada una aproimaci6n inicial o: Entrada: g(); una aproimaci6n inicial Xo ; una tolerangfa..:r~y un numero maimo de iteraciones N. Salida: Un punto fijo aproimado a 0 un mensaje. Paso 1: Tomar n = 1. Paso 2: Mientras que n ::; N seguir los pasos 3-6: Paso 3: Tomar c = g(o} (calcular Xn )..Paso 4: Si c - Xo 1< Tol 0 c - Xo < Tol l c, entonces salida: "Un punto fijo aproimado de la funci6n dada es a = c ". Terminar. Paso 5: Tomar n = n + 1. Paso 6: Tomar Xo = c (redefinir Xo ). Paso 7 : Salida "Se alcanz6 el numero maimo de iteraciones N pero no la tolerancia". Terminar.

7 Capitulo 2. SOLUCON NUMERCA DE UNA ECUACON NO-LNEAL EN UNA VARABLE 47 Las siguientes graticas muestran algunas formas de convergencia 0 sucesi6n divergencia de la y y=x y y= a Xo b FGURA 2.8.a Convergencia. (La sucesi6n no es mon6tona) FGURA 2.8.b Convergencia. (La sucesi6n es mon6tona) y y y=x FGURA 2.8.c Divergencia. No satisface las hip6 tesis del teorema de Punto Fijo. FGURA 2.8.d Convergencia (dependiendo del punta inicial). No satisface las hip6tesis del teorema de Punto Fijo Hay situaciones en las que no se satisfacen las hip6tesis del teorema de Punto Fijo y sin embargo hay convergencia, ElS decir, el teorema es de condiciones suficientes no necesarias. Ejemplo 2.4 Para la ecuaci6n ex = 0 sabemos que tiene tres ralces reales a 1 E[-.S,-.4], a2 E[.9,1.0] y a 3 E[3.7,3.8]. Estimemos a z usando el metodo de iteraci6n de Punto Fijo..Algunas funciones de iteraci6n g, se obtienen como sigue:

8 48 METOD OS NUMERCOS Como entonces 91(X) = J3 1 e ~ 2 es una funcion de iteraci6n. Como e X entonces 92 ( X) = -, * 0, tambien es una funci6n de iteraci6n. 3 Como entonces 93 () = n( 3 2 ), X* 0, es otra funci6n de iter~cj6n. Como 3 2 _ e + e X entonces 94 () = 6 - ex * 0 es una funci6n de iteraci6n (a funci6n de 6 _e iteraci6n del metoda de Newton-Raphson). Como entonces 95 () = X - ex, es tambien una funci6n de iteraci6n. Si escogemos la funci6n de iteraci6n 91(X) = ~ e 2 y el intervalo [.9,1.0], vemos que: X 1 ~ 2 91 es continua en [.9,1.0]; 9;() = r;; e > 0 para todo E[.9,tO], as! que 91 es 2v 3 creciente en (.9,1.0], Y como

9 Capitulo 2. SOLUCON NUMERCA DE UNA ECUACON NO-LNEAL EN UNA VARABLE 49 entonces g, () E[.9.1.0] para todo E [.9.1.0]. Luego g, tiene por 10 menos un punto fijo en el intervalo [.9.1.0J. Ahora. 1 ~ \ g;'() = 4/3 e 2 > 0 para todo E[.9.1.0J as! que g; es creciente en el intervalo [.9,1.0J (a grafica de g, es c6ncava hacia arriba para E[.9.1.0]).'y como. g;(.9) = ~e.4 5 = g;(1.0) = ~e 5 = entonces [ g;() 1~.48 = ~a~a todo E[.9.1.0J ] Luego g, tiene un unico punto fijo 0.2 en el intervalo [.9J O]. Y cualquiera sea XO E[.9.1.0J la sucesi6n {n } n con n = converge a a. 2 es decir, lim n = a. 2, Y se tienen ademas las cotas para el error de n--> oo truncamiento, a. 2 - n ' dadas en el teorema 2.1. Cuantas iteraciones n seran necesarias para que n con por 10 menos tres cifras decimales eactas? aproime al punto fijo 0. 2 E[.9.1.0] Como sabemos que Xn ~ K n Ma {o - a, b - o}. basta_ resolv~ r para n la desigualdad [ K" Ma {.c - a, b - c) ' ' ~ Tomando K =.48 Y Xo =.95 ( observe que Xo =.95 es el punta medio del intervalo [.9,1.0] y. es el valor que minimiza la e~presi6n MfiX {o -: a, b - o} ), obtenemos Ma {o - a. b - o} = Ma { \ } =.05 y entonces debemos resojver la desigualdad K n Ma {o - a, b - o} =.(.48f(.05) ~ La soluci6n de esta desigualdad es.

10 50 M~TODOS NUM~RCOS n(10-2) n ~ ( ) =6.27.., n.48 Lue90 para n ~ 7, se tiene que n aproimara a a 2 con una precisi6n de por 10 menos tres cifras decimales eactas, 1 ~ La 9ratica de 9,() == J3 e 2 se muestra en la FGURA 2,9, Y los valares calculados usando el metoda de Punto Fijo can la funci6n de iteraci6n91 () = ~e -2, iniciando con X o =.95 Y terminando en 7 "" a2 ' se muestran en la TABLA 2,3, y FGURA 29 n n TABLA 2,3

11 Capitulo 2. SOLUC6N NUMERCA DE UNA ECUAC6N NO LlNEAL EN UNA VARABLE 51 nstrucci6n en DERVE: j PUNTO_FJO( g(), X, XOi' N): aproxima las primeras. N iteraciones e.n el metodo de Punto Fijo aplicado a la funci6n g( ) con aproim8)'6n inicial o. Para el ejemplo aproxime la epresi6n PUNTO FJO( ~ ep(~),, v3 2 = > De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.3, a 2 ~ = 7. Observe, en la FGURA 2.9, que no eiste intervalo [a,b] que contenga a a 3 (que es punto fijo de g1 ) donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n g1. Para esta funci6n de iteraci6n g1 el metodo de Punto Fijo no converge a a 3 Si tomamos la funci6n de iteraci6n g2(x) =~, siguiente, tenemos: X* 0, cuya gratica se muestra en la FGURA Y Y= FGURA 2,10 X '() 3e - 3e e (-1) 0 [] g2 es continua en [.9,1.0] ; g2 = = ~ si E.9,1.0, asf que g2 es decreciente en [.9,1.0], Y como entonces g2(x) E[.9,1.0] para todo E[.9,1.0], as; que g2 el intervalo [.9,1.0J. tiene par 10 menos un punto fijo en ~M.,

12 52 METODOS NUMERCOS Ahora, y como 2 e - 2e + 2e 3 X 3 e X (2-2X+2) ) 3 X 3 J "'!e entonces 92(X) > 0 ~ X> 0. Por tanto 92 es creciente en [.9,tO J ' y como entonces 92(.9) = , 92(1.0) = 0 92(X) ::;.11=K<1 paratodo E[.9,1.0J En consecuencia 92 tiene un unico punto fijo a 2 E[.9.1.0J, y la sucesian {Xn}n con converge a a 2 cualquiera sea Xo E [.9,1.0 J. y se tienen ademas cotas para el error de truncamiento 1a 2 - n Los valores obtenidos usando la funcian de iteracian 92 con punta inicial Xo =.95 Y criterio 5 de aproimaci6n 1 n - n < 5 10-, se muestran en la TABLA 2.4 si9uiente. n n 1 n - n TABLA 2.4 De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.4. a2 '" = 4 analice con cuantas cifras decimales eactas aproima 4 a a 2? Como ejercicio, Sera que la funci6n 92(X) = ~ nos sirve para determinar a3 E[3.7,3.8]? 3

13 Capitulo 2. SOLUCON NUMERCA DE UNA ECUACON NO LlNEAL EN UNA VARABLE 53 Veamos: 92 es continua en [3.7,3.8], 92 es creciente en [3.7,3-8] y como 9A3.7) = 3.6 ", [3.7,3.8], 92(3.8) = 3.9 ",[3.7,3.8, entonces no se satisface la condicion 92(X) E[3-1,3.8] para todo E[3.7,3.8]. Eistira algun intervalo [a, b] que contenga a la raiz a 3 donde se satisfa9an todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funci6n g2? Observe, a partir de la grafica de g2, que no eiste intervalo [a,b] con a3 E[a,b] tal que 11 g2(x) 1 ~ K < 1 para todo E[a,b].\ G.pme-g2-es-clft~1~--"te en,[3 ~7, 3 :8], g2(3-1) = , g2(3.8) = , entonces 1 g2( )1 > 1 para todo E (3.7,3.8]. Luego no eiste intervalo [a, b) que contenga a la ralz a 3 dondese satisfagan las hip6tesis del teorema de Punto Fijo para la funcion g2' Por otro lado, como g2 es decreciente en [-.5,-.4],92(- 5) = Y 92(-.4)= , entonces g2 tampoco satisface las hip6tesis del teorema de Punto Fijo en algun intervalo que contenga a a l ' Ejercicio 2.4 Use el metodo de iteraci6n de Punto Fijo, con alguna de las funci ones de iteraci6n dadas anteriormente, para encontrar estimaciones de las raices a 1 Y a 3 de la ecuaci6n ex = 0, usando como criterio de aproimacion n - n_ 1 1< 5 1 O - ~ Ejemplo 2.5 Usemos el metodo iterativ~ de Punto Fijo para encontrar la menor raiz positiva de la ecuaci6n - tan ~ 0. Como - tan = 0 <=> = tan, empezamos graficando, en un mismo plano coordenado, las funciones f1(x) = X Y f 2 ()=tan (verlafgura2.11). De acuerdo con la FGURA 2.11, la menor raiz positiva a E (%,311} Y a partir de una tabla 2 de valores para f()=-tan, puede verse que ae [4.4,4.5] (cuando utilice una calculadora, use el modo radianes para los calculos). Una primera funci6n de iteraci6n de Punto Fijo (que salta a la vista) es g( ) = tan (ya que - tan = 0 <=> = tan), pero es claro que para esta funci6n 9 no eiste intervalo [a, b] que contenga la raiz a donde se satisfagan todas las hip6tesis del teorema de Punto Fijo, pues 19'(a)» 1 (observe la FGURA 2.11 anterior).

14 54 METODOS NUMERCOS Y Y= tan " FGURA 2.11 Si aplicamos el metodo de Punto Fijo con la funcion de iteracion g() = tan se obtiene, en las cinco primeras iteraciones y tomando como punto inicial Xo = 4.4, los resultados que se muestran en la TABLA 2.5 siguiente. n n TABLA 2.5 Observando la TABLA 2.5 se concluye que no hay convergencia a la raiz buscada. Si empezamos con Xo = 4.5, se obtienen los resultados que se muestran en la TABLA 2.6, donde se ve claramente que tampoco hay convergencia a la raiz buscada. Cual otra funcion de iteracion podrlamos construir? Observando la grafica de la funci6n tangente (vea la FGURA 2.11), Y teniendo en cuenta la relaci6n entre la grafica de esta funci6n y la de su inversa, se ve ciaramente que una funci6n de iteraci6n de punto fijo, apropiada para determinar a, es la que se obtiene por la via de la funci6n inversa. Para obtener tal funci6n de iteraci6n g() procedemos como sigue:

15 Capitulo 2. SOLUCON NUMERCA DE UNA ECUACON NO L1NEAL EN UNA VARABLE 55 Puesta que tan = tan( - 1t), entances 1t 3n: - < < y 2 2 n: 3n: - < < y 2 2 n Xn TABLA 2.6 n: 3n: = tan c::> - < < y = tan( - n:) 2 2 n: n: c::> - < X- n: < y = tan(-n:) 2 2 X= t an c::> - - n: < - n: < n: y t an -1 = - n: 2 2 n: 3n: <=> - < < y = n: + tan As! que pademas tamar como funci6n de iteraci6n g() = n: + tan - 1. y = n: + tan - 1 se muestra en la FGURA 2.12 siguiente. La grafica de y 311: 2"" V=:. 1t+ tan t====~:::- / y= ' _ 1L _ 11: 2 FGURA 2.12 Veamas que g( ) = 1t + tan - 1 satisface las hip6tesis del tearema de Punta Fije en el intervale [4.4,4.5] :

16 56 METODOS NUMERCOS 9 es continua en [ ]; g'() = _1_ > 0 para todo E R, as que 9 es creciente en 1+ X2 [ ], y como g(4.4) =4.48. y g(4.5)=4.49.,entonces g([ ]).:.:.;;[ ]. Ahora, g' es decreciente en [ ] (a medida que aumenta g'() disminuye), y como g'(4.4)= Y g'(4.5)=.047.,entohces g'()l ~.05=K < 1 paratodo E( ). Por 10 tanto 9 tiene un unico punta fijo a. E [ ], Y la sucesion {n} n con converge a a. cualquiera sea Xo E[ ], Y se tienen ademas, las cotas para el error de truncamiento a. - n, dadas en el teorema 2.1. La convergencia debe ser "rapid a" pues K es pequer'\a. Como ejercicio, encuentre cuantas iteraciones n seran necesarias para que n aproime a a. con par 10 menos 4 cifras decimales eactas, tomando [a,b] = [ ], Xo = 4.45 Y K =.05? La TABLA 2.7 siguiente, muestra los calculos de las iteraciones para g() = 1T + tan- 1 con punto inicial Xo = 4.45 Y criterio de aproimacion n - n- 1 1< n n n - n TABLA 2.7 De acuerdo con los resultados de la TABLA 2.7, a. :::: = Metodo de Newton-Raphson: Como veremos mas adelante, el metodo de Newton Raphson se aplicara para hallar ralces simples de una ecuaci6n f( ) = O. Antes de ver el metodo de Newton-Raphson, veamos la siguiente definicion sobre la multiplicidad de una rafz de una ecuacion. Definici6n 2.3 Dada una ecuacion f() = O. Un numero a. se dice una raiz de multiplicidad,m (m un entero positiv~) de la ecuacion f() = 0, si f(o.) = 0, y.