Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales

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1 Tema 2 Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales 1. Generalidades. Orden de convergencia Nos planteamos en este tema el problema de la resolución aproximada de Ecuaciones no Lineales. Para plantear el problema, suponemos dada una función real de variable real f definida en un conjunto D R. El problema que queremos resolver se escribe: Hallar x D tal que f(x) = 0, (1.1) En general supondremos que D es un intervalo abierto de R y que la función f es, al menos, continua en D. Un caso particular importante de ecuación de la forma (1.1) es aquél en el que f es un polinomio de grado n 2, en cuyo caso el problema adopta la forma a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0, (1.2) siendo los a k, k = 0, 1,..., n, números reales dados, y a n 0. Este último tipo de ecuaciones ha sido muy estudiado y de él son bien conocidos los siguientes hechos: si n = 2, se tiene la fórmula de resolución, conocida de todos, a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 x = a 1 ± a 2 1 4a 2 a 0 2a 2, que expresa el valor exacto de la solución. Desde el punto de vista del Análisis Numérico, el único tipo de errores que se introducen con esta fórmula son los errores de redondeo debidos a las operaciones aritméticas. si n = 3 ó 4, existen también fórmulas que expresan el valor exacto de la o las soluciones de (1.2), mediante sumas, productos y raíces de los coeficientes. Son fórmulas complicadas y difícilmente aplicables en la práctica. si n 5, se sabe que no existen fórmulas como las anteriores y, en general, las raíces de estos polinomios no pueden ser calculadas de manera exacta. 1

2 2 Cálculo Numérico I. En consecuencia, se hace necesario desarrollar procedimientos de cálculo aproximado de las soluciones, tanto para las ecuaciones polinómicas, como, con mayor razón, para las no lineales en general. Antes que nada, hagamos notar que la ecuación (1.1) puede ser escrita de distintas formas equivalentes, por ejemplo g(x) = x, o g(x) = h(x). Ejemplo 1.1 Si consideramos la ecuación x log x 1 = 0, teniendo en cuenta que para que esté definido el logaritmo como un número real, x ha de ser estrictamente positivo, dicha ecuación puede ser escrita de varias maneras equivalentes. Por ejemplo en la forma log x 1/x = 0, o también en la forma de ecuación de punto fijo (véase más adelante) dada por x = 1/ log x, o en la forma log x = 1/x, que es del tipo g(x) = h(x). En los dos primeros casos, el problema de hallar la solución x de f(x) = 0 puede ser interpretado geométricamente como el de encontrar la abscisa del punto de corte de la curva de ecuación en el plano cartesiano y = f(x) con el eje OX, es decir con la recta y = 0. En el caso en que la ecuación se escribe en forma g(x) = x, se puede interpretar de manera geométrica el problema como el de hallar la abscisa del punto de corte de la curva y = g(x) con la bisectriz del primer cuadrante, es decir, la recta y = x. Finalmente, si la ecuación se ha escrito en la forma g(x) = h(x), el significado geométrico consiste en hallar la abscisa del punto de corte de las curvas de ecuaciones y = g(x) e y = h(x). En particular, denominaremos ecuación de punto fijo a una igualdad de la forma g(x) = x. (EP F ) Hagamos notar que existen muchas maneras de escribir una ecuación dada en la forma (EP F ): Ejemplo 1.2 Si consideramos la ecuación polinómica x 3 3x 2 + x 2 = 0, teniendo en cuenta que la o las soluciones de la misma no pueden ser x = 0, ésta puede ser escrita de manera equivalente en distintas formas de (EP F ). Por ejemplo x = x 3 + 3x 2 + 2, (EP F ) 1 o dividiendo por x, se obtiene x 2 3x + 1 2/x = 0, con lo que despejando, x = 1 ( x ). (EP F ) 2 3 x También, se puede dividir la ecuación de partida por x 2, obteniéndose x 3+1/x 2/x 2 = 0, con lo que despejando, x = 3 1 x + 2 x 2. (EP F ) 3

3 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 3 Por supuesto, también se puede escribir la ecuación en la forma x = x + (x 3 3x 2 + x 2)h(x), (EP F ) 4 siendo h cualquier función real continua en todo R tal que h(x) 0 para todo x R. Desde el punto de vista del Análisis Numérico, estas cuatro formas no son equivalentes. Con unas se aproxima la solución buscada de manera más rápida y con menos coste de cálculos que con otras. A continuación, vamos a realizar algunas consideraciones generales sobre el problema (1.1). A cualquier solución de la citada ecuación, es decir, a cualquier x R tal que f(x) = 0, se le denomina un cero o una raíz de f. Comencemos introduciendo el concepto de orden de multiplicidad de un cero de una función f. Definición 1.3 Sean (a, b) R un intervalo abierto, f : (a, b) R una función continua en (a, b) y m 1 un número entero. Se dice que α (a, b) es un cero de f de multiplicidad m, si la función f puede ser escrita en la forma f(x) = (x α) m q(x) x (a, b) \ {α}, (1.3) con q una función definida en (a, b) \ {α} tal que existe lím q(x) R \ {0}. x α En el caso m = 1 diremos que α es un cero simple de f. Observación 1.4 Dados f : (a, b) R una función y α (a, b) un cero de f, en general no podemos asignar un orden al cero α de f en los términos de la Definición 1.3. Basta considerar f(x) = x 1 (función continua en R) y α = 1. Respecto del concepto de orden de multiplicidad de un cero, se tienen los siguientes resultados. Proposición 1.5 Sean f C 1 (a, b) 1 y α (a, b). La función f tiene un cero simple (i.e. de multiplicidad 1) en α, si y sólo si f(α) = 0 y f (α) 0. (1.4) 1 Recordemos que, dado n 0 un número entero, usaremos la notación { C 0 (a, b) = {f / f : (a, b) R, y f es continua en (a, b)} si n = 0, C n (a, b) = {f / f C 0 (a, b) y existen d i f/dx i C 0 (a, b) i : 1 i n} si n 1.

4 4 Cálculo Numérico I. Demostración. Supongamos en primer lugar que f tiene un cero simple en α. En tal caso, evidentemente f(α) = 0. Además, f puede ser escrita en la forma (1.3), y en consecuencia, la función q(x) = f(x) x α, con lo que, teniendo en cuenta que f(α) = 0, se tiene x (a, b) \ {α}, 0 lím x α q(x) = lím x α f(x) f(α) x α = f (α). Recíprocamente, supongamos que se satisface (1.4). Consideremos la función q definida por Evidentemente se satisface q(x) = f(x) x α, x (a, b) \ {α}. f(x) = (x α) q(x), x (a, b) \ {α}. Además, de donde se obtiene el resultado. f(x) f(α) lím q(x) = lím x α x α x α = f (α) 0, La propiedad anterior puede ser generalizada al caso m 2: Proposición 1.6 Sean m 2 entero, f C m (a, b) y α (a, b). La función f tiene un cero en α de multiplicidad m si y sólo si Demostración. Se deja como ejercicio. f(α) = f (α) =... = f m 1) (α) = 0, f m) (α) 0. Ejemplo 1.7 Aplicando el resultado anterior deducimos que α = 0 es un cero simple de la función f(x) = sen x. Del mismo modo α = 0 es un cero doble (de multiplicidad m = 2) de la función g(x) = cos x 1. Es importante resaltar que en este curso nos vamos a limitar a la aproximación de raíces simples de ecuaciones no lineales. En cualquier proceso de cálculo de raíces de una ecuación no lineal se distinguen tres fases: localización, separación y aproximación. 1. En la fase de localización se busca conocer un intervalo donde se encuentra una o varias soluciones de la ecuación, haciendo uso para ello de métodos analíticos, tablas, representación aproximada, etc... El propio origen de la ecuación (físico, técnico,...) puede dar indicaciones de dónde se encuentran las soluciones. Obsérvese que después de esta fase habremos dado respuesta al problema de la existencia de raíces de la ecuación (1.1).

5 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales La separación consiste en encontrar subintervalos que contengan una y sólo una solución de la ecuación, ello es fundamental en el caso de raíces muy próximas. En general, se puede conseguir la separación combinando el teorema de Bolzano y la Proposición Cuando se ha conseguido esto, se dice que la solución está aislada. Ello no siempre se puede conseguir, así por ejemplo si consideramos la función { x sen(1/x), si x 0, f(x) = 0, si x = 0; la solución x = 0 de la ecuación f(x) = 0 no puede ser aislada. Obsérvese que después de esta fase conoceremos el número de soluciones que posee la ecuación (1.1). 3. En la fase de aproximación, se construye una sucesión de valores que converja hacia la solución buscada, ello se realiza, habitualmente, mediante un método iterativo. Nosotros vamos a estudiar métodos iterativos de los denominados de un paso o un punto inicial. Para la primera fase (localización de raíces) utilizaremos el Teorema de Bolzano: Teorema 1.8 Sean a, b R, con a < b, y f : [a, b] R una función continua en [a, b] tal que f(a)f(b) 0. Entonces, existe α [a, b] tal que f(α) = 0. Es importante destacar que si cambiamos la hipótesis f(a)f(b) 0 por la condición f(a)f(b) < 0 (siendo f una función continua en [a, b]), entonces podemos concluir que existe α (a, b) tal que f(α) = 0. En la fase de separación utilizaremos básicamente la monotonía de la función en su dominio. Recordemos lo siguiente: Definición 1.9 Sean I R un intervalo no degenerado, i.e., un intervalo que no se reduce a un punto, y f una función real definida en dicho intervalo. a) Se dice que f es creciente (respectivamente, decreciente) en el intervalo I, si para cualesquiera x 1, x 2 I con x 1 < x 2, se tiene f(x 1 ) f(x 2 ) (respectivamente, f(x 1 ) f(x 2 )). Se dice que f es monótona en I si es creciente en I o si decreciente en I. b) Se dice que f es estrictamente creciente (respectivamente, estrictamente decreciente) en el intervalo I, si para cualesquiera x 1, x 2 I con x 1 < x 2, se tiene f(x 1 ) < f(x 2 ) (respectivamente, f(x 1 ) > f(x 2 )). Se dice que f es estrictamente monótona en I si es estrictamente creciente en I o estrictamente decreciente en I. De la definición, deducimos el resultado siguiente Proposición 1.10 Sean I R un intervalo no degenerado y f : I R una función real. Si f es estrictamente monótona en I, entonces la ecuación (1.1) tiene a lo más una solución en el intervalo I.

6 6 Cálculo Numérico I. Demostración. La prueba del resultado es directa: Por reducción al absurdo, supongamos que f posee dos ceros distintos en I, α 1, α 2 I, y, por fijar ideas, supongamos que f es estrictamente creciente en I y α 1 < α 2. De aquí, que, evidentemente, es absurdo. 0 = f(α 1 ) < f(α 2 ) = 0 Observación 1.11 Es bien conocido que si f es derivable en el intervalo I y f (x) > 0 en todo punto x I, entonces f es estrictamente creciente en I. Análogamente, si f (x) < 0 en todo punto x I, entonces f es estrictamente decreciente en I. En consecuencia, si f es siempre positiva en I, o siempre negativa en I, entonces la ecuación (1.1) tiene a lo más una solución en dicho intervalo. Si f es monótona en I, pero no estrictamente monótona, entonces la ecuación (1.1) puede tener infinitas soluciones en este intervalo. Las consideraciones anteriores no son válidas para la ecuación de punto fijo g(x) = x. La función g puede ser estrictamente monótona, pero la (EP F ) puede tener infinitas soluciones. Así por ejemplo, si consideramos la función g(x) = x + 1 sen x, su derivada 2 es g (x) = cos x > 0 en todo punto x R. En consecuencia, esta función g 2 es estrictamente creciente en I = R, pero la ecuación g(x) = x sen x = 0, tiene infinitas soluciones en R, dadas por x k = kπ, k Z. En la fase de aproximación de raíces utilizaremos los llamados métodos iterativos de un paso. Éstos se definen: Definición 1.12 Un método iterativo es un proceso constructivo que genera una sucesión {x k } k 0. Supongamos dados x 0 R un punto y G : D R R una función. Un método iterativo de un paso (o de un punto inicial) es un método iterativo que genera una sucesión por recurrencia mediante la fórmula { x0 R dado, (1.5) x k+1 = G(x k ), k 0. Así pues, un método iterativo de un paso depende de la fórmula (1.5) que se utilice, y también del punto inicial x 0 que se tome. Cuando lo planteamos, el método iterativo debe dar respuesta a las siguientes cuestiones: 1. Bien definido: El primer problema que se presenta con todo método iterativo de un paso es saber si partiendo de x 0, con el esquema (1.5) se construye una verdadera sucesión. Así por ejemplo, si consideramos la sucesión definida por recurrencia mediante la fórmula x k+1 = 3 3 x k, k 0, (G(x) = 3 3/x) y partimos de x 0 = 2, es inmediato ver que se van obteniendo sucesivamente, x 1 = 3/2, x 2 = 1, x 3 = 0, y en consecuencia x 4 no está definida. En consecuencia, en este caso diremos que el método iterativo está mal definido.

7 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales Convergencia del método: Una vez que el método iterativo proporciona una sucesión {x k } k 0 cabe plantearse si la sucesión es convergente. Por ejemplo, si consideramos x 0 = 1 y consideramos (1.5) con ( ) (1 + x)π G(x) = cos, 2 obtenemos la sucesión x k = ( 1) k+1 que, evidentemente, es oscilante. 3. Convergencia: Cuando usamos un método iterativo para aproximar una raíz α de f, debemos analizar si la sucesión generada converge hacia ese cero α. 4. Velocidad de convergencia: Queremos determinar el número de iteraciones que hay que hacer para que el error que se cometa sea menor que una cantidad ε > 0 prefijada. 5. Orden de convergencia: Queremos conocer cómo evoluciona el error en el curso de las iteraciones. En este Tema vamos estudiar dos métodos iterativos de un paso para los que responderemos a estas cuestiones. Observación 1.13 Es importante resaltar que el método iterativo (1.5) está bien definido cuando se puede demostrar que los puntos x k que va generando están en el dominio de G para cualquier k 0. En particular el método iterativo de un paso estará bien definido si la función G satisface imag (G) dom (G) D. En lo que sigue vamos a considerar una función f : D R definida en D R y α D un cero de f en D (es decir, una solución de la ecuación (1.1)). Así, introducimos Definición Se dice que el método iterativo dado por la fórmula (1.5) tiene la propiedad de convergencia global hacia α R en D R, si para todo dato inicial x 0 D la sucesión {x k } k 0 está bien definida, {x k } k 0 D y es convergente hacia α. 2. Se dice que el método iterativo (1.5) tiene la propiedad de convergencia local hacia α R si existe un número δ > 0 tal que para cualquier x 0 [α δ, α + δ] D la sucesión {x k } k 0 está bien definida, {x k } k 0 [α δ, α + δ] D y es convergente hacia α. 3. Se dice que α es un punto atractivo para el método iterativo (1.5) si el método iterativo tiene convergencia, al menos local, en D hacia el cero α. En caso contrario, diremos que α es un punto repulsivo para dicho método. Obsérvese que distintas raíces de una misma ecuación pueden ser unas atractivas y otras repulsivas para un mismo método iterativo (veremos ejemplos de ello en clase de problemas). Otra propiedad importante de los métodos iterativos es el llamado orden de convergencia del método. En cierto sentido, el orden de convergencia proporciona una medida de la velocidad de convergencia de la sucesión construida con el método hacia su límite.

8 8 Cálculo Numérico I. Definición 1.15 Sean {x k } k 0 una sucesión de números reales, p > 0 un número real y α R tal que lím x k = α. Se dice que la sucesión tiene orden de convergencia al menos p si existen un número entero k 0 0 y un número real C > 0 (0 < C < 1 si p = 1) tales que x k+1 α C x k α p para todo k k 0. Nótese que en la definición precedente, p no tiene que ser necesariamente un número entero. En la terminología clásica, si p = 1, 2 ó 3, se habla de convergencia al menos lineal, cuadrática o cúbica, respectivamente. Si p < 1, o si p = 1 y C 1, se dice que la convergencia es sublineal, y si p > 1 se dice que la convergencia es superlineal. Observación 1.16 Es interesante resaltar que no toda sucesión convergente tiene asignado un orden de convergencia en el sentido de la definición anterior. Por ejemplo, la sucesión converge a cero, pero 0, 1, 1, 1 2, 1 2 2, 1 3, 1 3 3,..., 1 n, 1 n n,..., x 2k+1 1/(k + 1) =, x 2k p 1/k pk sucesión que converge a + cuando k, cualquiera que sea p > 0. Podemos caracterizar el orden de convergencia de una sucesión. Se tiene: Proposición 1.17 Sean {x k } k 0 una sucesión de números reales, p > 0 un número real y α R tal que lím x k = α y con x k α para todo k 0. Entonces, la sucesión {x k } k 0 tiene orden de convergencia al menos p si y sólo si lím sup x k+1 α = L < + (L < 1 si p = 1). (1.6) x k α p Demostración. En primer lugar, obsérvese que se tiene x k α 0 para cualquier k 0 por lo que los cocientes que aparecerán a continuación están bien definidos. Si el orden de convergencia es al menos p, existe un entero k 0 0 y una constante C > 0 (C < 1 si p = 1) tal que En consecuencia x k+1 α x k α p C para todo k k 0. lím sup x k+1 α x k α p = L C de donde deducimos (1.6). Recíprocamente, supongamos que se tiene (1.6). Fijemos ε > 0 (con L + ε < 1 si p = 1). Entonces, utilizando las propiedades de los límites superiores, existe un entero k 0 (ε) 1 tal que x k+1 α x k α p L + ε para todo k k 0(ε).

9 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 9 Basta tomar C = L + ε para deducir que {x k } k 0 tiene orden de convergencia al menos p. Esto acaba la prueba. Obsérvese que en el caso en que exista lím x k+1 α, la proposición anterior afirma que x k α p la sucesión {x k } k 0 tiene orden de convergencia al menos p si y sólo si lím x k+1 α = L < + (L < 1 si p = 1). x k α p Definición 1.18 Sean {x k } k 0 R una sucesión, p > 0 un número real y α R tal que lím x k = α. Supongamos que x k α para cualquier k 0. Entonces, se dice que la sucesión tiene orden de convergencia (exactamente) p si existe lím x k+1 α = L (0, + ) (L (0, 1) si p = 1). (1.7) x k α p En tal caso, a la constante L definida por (1.7) se le denomina la constante asintótica del error. Observación 1.19 Obsérvese que si una sucesión {x k } k 0 converge hacia α con orden de convergencia p (y x k α para cualquier k 0), entonces para cualquier q > 0 existe lím x k+1 α x k α q = + si q > p, L si q = p, 0 si q < p. Por otro lado, dada una sucesión {x k } k 0 convergente hacia α, en general ésta no tiene un orden de convergencia en el sentido de la Definición 1.18 (ver ejemplos más abajo). Ejemplo Consideremos la sucesión {x k } k 1 con x k = 1. Evidentemente, existe k el lím x k = 0, pero es fácil comprobar que no tiene un orden de convergencia hacia 0 pues lím x k+1 x k = 1 (p = 1 y L = 1) pero, como L = 1, no podemos decir que la sucesión converge con orden 1 (lineal). Por otro lado, lím x { k+1 0 si p < 1, x k = p si p > Consideremos ahora la sucesión {x k } k 1 con x k = 1 2 k. Es fácil comprobar que la sucesión converge hacia 0 con orden de convergencia exactamente 1. Efectivamente lím x k+1 x k = 1 2 (0, 1). Como ya hemos dicho, el orden de convergencia de una sucesión mide la velocidad de convergencia de la sucesión hacia su límite. En el siguiente ejemplo pondremos de manifiesto este hecho:

10 10 Cálculo Numérico I. Ejemplo 1.21 Consideremos la sucesión {x k } k 0 definida por recurrencia (algoritmo de Heron para x = 1), x 0 = 2, x k+1 = x2 k + 1 2x k, k En primer lugar, es fácil ver que la sucesión {x k } k 0 está bien definida. Efectivamente, por inducción no es difícil probar que x k > 0, k Veamos que {x k } k 0 es convergente probando que la sucesión es monótona y acotada. Obsérvese que x k+1 x k = 1 x2 k 2x k, k 0, así, para comprobar la monotonía de la sucesión, estudiemos la cantidad 1 x 2 k. Así, si k 1, ( x 2 ) 2 ( 1 x 2 k = 1 k x 2 ) 2 = k x k 1 2x k 1 Utilizando las igualdades anteriores es fácil ver (por inducción) que la sucesión es monótona decreciente. Por otro lado, de la segunda igualdad también deducimos 1 x k x 0 = 2, k 0, es decir, la sucesión {x k } k 0 está acotada. Deducimos por tanto que existe lím x k = l. Veamos cuánto vale éste. De la acotación obtenida para x k, se tiene que l [1, 2]. Por otro lado, tomando límite en la fórmula de recurrencia obtenemos l = l2 + 1 l = 1. 2l 3. Veamos ahora que la sucesión {x k } k 0 converge hacia 1 con orden de convergencia 2 (convergencia cuadrática). Para ello, calculemos el límite lím x k+1 1 x k 1 2 = lím 1 2x k = 1 2. Como hemos dicho anteriormente este orden de convergencia mide la velocidad con la que la sucesión se acerca hacia su límite. Veremos esto en el siguiente punto. 4. Calculemos cuántas iteraciones k son necesarias para que el error x k 1 sea menor que Teniendo en cuenta que x k 1 para todo k 0, es fácil ver la desigualdad x k 1 x k 1 1 = 1 1, k 1, 2 2x k 1 2 es decir, x k x k 1 1 2, k 1.

11 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 11 Razonando por inducción y teniendo en cuenta que x 1 = 5/4, también se deduce x k k 2 x 1 1 2k 1 = 1 2 2k k = 1 2 3(2k 1 ) 1 Obsérvese que aseguramos que x k si calculamos k tal que 1 2 3(2k 1 ) k [ ( 1 log 2 ln )] 4 log 10 log 2, k 1. k Basta por tanto tomar k = 4. Así, en la cuarta iteración del método podemos asegurar que el error cometido es menor que (En este ejemplo tan sencillo es posible calcular el error exacto que, de hecho, es mejor que la cota obtenida: x 1 = 1, 25 y x 1 1 = 0 25, x 2 = 1, 025 y x 3 1 = , x 3 = 1, y x 3 1 = , x 4 = y x 4 1 = ). 2. Método de bisección El método de bisección (o de dicotomía) es un método de aproximación de raíces de una función que está basado en el Teorema de Bolzano. Para presentarlo supongamos dados un intervalo cerrado [a, b] R (con a < b) y una función f : [a, b] R continua en [a, b] y consideremos la ecuación (1.1). Supondremos en esta sección las hipótesis Hipótesis: Supongamos que f es continua en [a, b] y f(a)f(b) < 0. Como aplicación del Teorema de Bolzano (Teorema 1.8), sabemos que existe un punto α (a, b) tal que f(α) = 0. Supongamos que dicho cero α es el único cero de f en [a, b]. Bajo las condiciones precedentes, vamos a construir una sucesión de intervalos encajados [a, b] = [a 0, b 0 ] [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a k, b k ]..., que siempre contienen al punto α. Para ello razonamos del siguiente modo: Etapa 1. Tenemos que f(a 0 )f(b 0 ) = f(a)f(b) < 0. Sea x 0 = a 0 + b 0. 2 Si f(x 0 ) = 0, ya hemos encontrado la solución α = x 0. Si f(x 0 ) 0, entonces se pueden presentar dos casos: a) Si f(a 0 )f(x 0 ) < 0, tomamos a 1 = a 0 y b 1 = x 0. b) Si f(a 0 )f(x 0 ) > 0, entonces f(x 0 )f(b 0 ) < 0, y tomamos a 1 = x 0 y b 1 = b 0.

12 12 Cálculo Numérico I. Tanto en el caso a) como en el b), el intervalo [a 1, b 1 ] construido satisface [a 1, b 1 ] [a 0, b 0 ], f(a 1 )f(b 1 ) < 0 (y por tanto, α (a 1, b 1 )) y b 1 a 1 = 1 2 (b 0 a 0 ) = 1 (b a). 2 Etapa k. Supongamos que f(a k 1 )f(b k 1 ) < 0. Sea x k 1 = a k 1 + b k 1. 2 Si f(x k 1 ) = 0, ya hemos encontrado la solución α = x k 1. Si f(x k 1 ) 0, entonces se pueden presentar dos casos: a) Si f(a k 1 )f(x k 1 ) < 0, tomamos a k = a k 1 y b k = x k 1. b) Si f(a k 1 )f(x k 1 ) > 0, entonces f(x k 1 )f(b k 1 ) < 0, y tomamos a k = x k 1 y b k = b k 1. Nuevamente, tanto en el caso a) como en el b), el intervalo [a k, b k ] satisface [a k, b k ] [a k 1, b k 1 ], f(a k )f(b k ) < 0 (y por tanto, α (a k, b k )) y b k a k = 1 2 (b k 1 a k 1 ), k 1. Mediante este algoritmo, o bien en un número finito de etapas se ha encontrado la raíz α de f en (a, b) o, en caso contrario, construimos una sucesión de intervalos encajados {[a k, b k ]} k 0 que satisfacen: a k a k+1, b k+1 b k y α (a k, b k ) k 0, b k a k = 1 (b a) k 0. 2k En particular, deducimos que la sucesión {a k } k 0 es monótona creciente, {b k } k 0 es monótona decreciente y 0 α a k 1 2 (b a) y 0 b k k α 1 (b a) k 0. 2k Por tanto lím a k = α y lím b k = α. Después de haber efectuado k pasos, se puede tomar como aproximación de la raíz α de f en (a, b) el valor x k = a k + b k que, evidentemente satisface lím x k = α. De hecho, podemos 2 acotar el error absoluto cometido por x k α 1 (b a). 2k+1 Tenemos así descrito el método de bisección o dicotomía.

13 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 13 Observación 2.1 El método de bisección presenta varios inconvenientes. Es lento (de hecho, la convergencia del algoritmo no llega a ser lineal), ya que no aprovecha ninguna otra propiedad de f que no sea el signo de la misma. Es un método en que pasa desapercibido si se acerca uno mucho o no a la solución, y es computacionalmente costoso, ya que hay que efectuar muchas comparaciones. Sin embargo, el método de bisección presenta también algunas ventajas. Así, es siempre convergente en el intervalo en el que se aplica. Además, tiene una expresión explícita de la cota del error (lo que permite saber a priori el número de etapas k a aplicar para obtener una aproximación de la raíz α con una precisión ε > 0 prefijada). 3. Métodos de primer orden: el método de las aproximaciones sucesivas Consideremos a, b R, con a < b, y g : [a, b] R una función continua en [a, b]. En esta sección estudiaremos el llamado método de las aproximaciones sucesivas (MAS). Se trata de un método iterativo de un paso aplicable a ecuaciones que se escriben en la forma: x = g(x). (EP F ) Definición 3.1 Sea α [a, b]. Se dice que α es un punto fijo de g si g(α) = α, es decir, si α es solución de la ecuación (EP F ). Los puntos fijos de g geométricamente corresponden a las abcisas de los puntos de corte entre la gráfica de la recta y = x y la gráfica y = g(x). Así, el método de las aproximaciones sucesivas (MAS) aplicado a la ecuación (EP F ) tiene la forma: { x0 [a, b] dado, (MAS) x k+1 = g(x k ), k 0. Obsérvese en primer lugar que para que (MAS) esté bien definido se debe tener que x k [a, b] para cualquier k 0. Comencemos analizando la existencia y/o unicidad de puntos fijos de la función g. Se tiene: Proposición 3.2 (existencia de solución para (EP F )) Sean a, b R, con a < b, y g : [a, b] R una función continua en el intervalo [a, b]. Supongamos que se tiene Entonces, existe al menos un α [a, b] tal que g(α) = α. (g(a) a)(g(b) b) 0. (3.8) Demostración. Basta aplicar el Teorema de Bolzano (Teorema 1.8) en el intervalo [a, b] a la función h(x) = g(x) x. Observación 3.3 Es fácil comprobar que una condición suficiente para que se satisfaga (3.8) es que g([a, b]) [a, b].

14 14 Cálculo Numérico I. Pasemos a continuación a analizar la unicidad de solución de la ecuación (EP F ). Para ello, introduzcamos la siguiente definición: Definición 3.4 Sean dados a, b R, con a < b, y g : [a, b] R una función. Se dice que g es contractiva en el intervalo [a, b], si existe una constante L [0, 1) tal que g(x) g(y) L x y x, y [a, b]. (3.9) En tal caso, a L se la denomina una constante de contractividad para g en [a, b]. Ejemplo 3.5 La función g : [1, 2] R dada por g(x) = x 2 + 1, x [1, 2], x es contractiva en [1, 2] pues g(x) g(y) = xy x y 1 x y, x, y [1, 2]. 2 Así, g es contractiva en [1, 2] con constante de contractividad asociada L = 1/2 (0, 1). Observación Si g es contractiva en g con constante de contractividad L [0, 1), entonces g(x) g(y) L x y < x y x, y [a, b] con x y. (3.10) En particular, la distancia entre las imágenes g(x) y g(y) es menor que la distancia entre x e y: la función g contrae las distancias. 2. Obsérvese que la condición (3.9) implica la condición (3.10). En particular ambas condiciones implican la continuidad uniforme de la función g en el intervalo [a, b]. El recíproco no es cierto; basta considerar g(x) = x en el intervalo [ 1, 1] que es uniformemente continua en [ 1, 1] pero no es contractiva en el intervalo (ver relación de problemas). 3. La constante L de contractividad asociada a una función g contractiva en el intervalo [a, b] puede ser interpretada geométricamente como una cota superior de la pendiente de las rectas secantes a la gráfica de la curva y = g(x) en el intervalo [a, b]. Proposición 3.7 (unicidad de solución para (EP F )) Sean a, b R, con a < b, y g : [a, b] R una función contractiva en [a, b]. Entonces, existe a lo más una solución de (EP F ) en [a, b] (o dicho de otro modo, g posee, a lo sumo, un punto fijo en [a, b]). Demostración. Supongamos que α 1, α 2 [a, b] son dos puntos fijos distintos de g en [a, b]. Entonces, 0 < α 1 α 2 = g(α 1 ) g(α 2 ) L α 1 α 2 < α 1 α 2, donde L [0, 1) es una constante de contractividad de g en [a, b]. Evidentemente esto es absurdo. Una condición suficiente para que una función sea contractiva en un intervalo [a, b], viene dada en la siguiente proposición:

15 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 15 Proposición 3.8 Sea g : [a, b] R una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Supongamos que satisface la condición L := sup g (x) < 1. x (a,b) Entonces, g es contractiva en el intervalo [a, b], siendo L una constante de contractividad para g en [a, b]. Demostración. Sean x, y [a, b]. Aplicando el Teorema del Valor Medio a la función g deducimos que existe un punto z (a, b) tal que De esta desigualdad deducimos la prueba. g(x) g(y) = g (z)(x y) L x y. Pasemos a continuación a analizar la convergencia del método (M AS) presentado anteriormente. El resultado que sigue, proporciona convergencia global de (M AS) y acotación del error. Teorema 3.9 (convergencia global de (MAS) y acotación del error) Sean a, b R, con a < b, y g : [a, b] R dados. Supongamos que g([a, b]) [a, b] y que g es contractiva en el intervalo [a, b], con constante de contractividad L [0, 1). Entonces, 1. La función g posee un único punto fijo α en [a, b]. 2. El método de aproximaciones sucesivas (MAS) está bien definido en [a, b], i.e., para todo x 0 [a, b] se tiene que {x k } k 0 [a, b]. 3. El método de aproximaciones sucesivas (M AS) es globalmente convergente en [a, b] hacia α con orden de convergencia al menos Se tienen las siguientes acotaciones del error absoluto: x k α L k x 0 α k 0 y x 0 [a, b] (cota a priori), (3.11) x k α Lk 1 L x 1 x 0 k 0 y x 0 [a, b] (cota a posteriori). (3.12) Demostración. En primer lugar, al ser g una función contractiva en el intervalo [a, b] deducimos que g es también continua en [a, b]. Veamos la prueba de los puntos del enunciado: El primer punto es consecuencia directa de las Proposiciones 3.2 y 3.7 (véase la Observación 3.3). Por otro lado, teniendo en cuenta la hipótesis g([a, b]) [a, b], es fácil deducir que para cualquier x 0 [a, b] el método está bien definido y satisface {x k } k 0 [a, b]. Pasemos a continuación a probar el punto 3. Para ello, probemos la estimación (3.11). Fijemos x 0 [a, b] arbitrario. Se tiene, x k α = g(x k 1 ) g(α) L x k 1 α L k x 0 α.

16 16 Cálculo Numérico I. Obsérvese que en la desigualdad anterior estamos usando de manera reiterada que, para cualquier k 0, x k [a, b] y que g es contractiva en [a, b]. Teniendo en cuenta que L [0, 1), deducimos que lím x k = α y, por tanto, tenemos que el método (MAS) es globalmente convergente en el intervalo [a, b]. Por otro lado, tenemos x k α L x k 1 α, k 1. De aquí deducimos que el método tiene orden de convergencia al menos 1. Tenemos probado el punto 3 y la desigualdad (3.11). Para finalizar probemos la estimación (3.12). Sea m 0. Entonces, x m+1 x m = g(x m ) g(x m 1 ) L x m x m 1 L m x 1 x 0, (de nuevo hemos usado que, para cualquier m 0, x m [a, b] y que g es contractiva en [a, b]). Por otro lado, si tomamos k, m con m > k 0, aplicamos la desigualdad triangular y tenemos en cuenta la desigualdad anterior, podemos escribir x m x k x m x m 1 + x m 1 x m x k+2 x k+1 + x k+1 x k ( L m 1 + L m L k+1 + L k) ( L k L m x 1 x 0 = 1 L Lk 1 L x 1 x 0. ) x 1 x 0 Sabemos que lím m x m = α, así, si en la desigualdad precedente tomamos lím m obtendremos la estimación (3.12). Esto finaliza la prueba. 2 Observación 3.10 Las acotaciones del error dadas en las desigualdades (3.11) y (3.12) muestran que la convergencia del método será mejor cuanto más próxima esté la constante de contractividad L a 0. Ejemplo 3.11 Consideremos la ecuación de punto fijo e x = x en el intervalo [1/2, log 2] y veamos que este intervalo es un intervalo de convergencia global para (MAS), es decir, comprobemos que g(x) = e x satisface en [1/2, log 2] las condiciones del Teorema 3.9. En primer lugar, la función g C 1 [1/2, log 2], es decir, g es continua y derivable en [1/2, log 2] y g es continua en [1/2, log 2]. De hecho, g (x) = e x < 0, x [1/2, log 2]. En particular, g es estrictamente decreciente en el intervalo y se tiene g([1/2, log 2]) = [g(log 2), g(1/2)] = [1/2, e 1/2 ] [1/2, log 2]. Tenemos así una de las hipótesis del Teorema 3.9 que hay que comprobar. 2 Otra forma de probar la cota a posteriori es con ayuda de la siguiente desigualdad: x 0 α = x 0 ± x 1 α x 0 x 1 + x 1 α y que x 1 α L x 0 α, de donde (1 L) x 0 α x 0 x 1. Esto unido a la cota a priori también implica la cota a posteriori.

17 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 17 Veamos ahora que g es contractiva en [1/2, log 2] y calculemos una constante de contractividad asociada. Para ello, aplicaremos la Proposición 3.8: máx x [1/2,log 2] g (x) = máx x [1/2,log 2] e x = e 1/2 = L < 1, y por tanto se satisfacen todas las condiciones del Teorema 3,9. Apliquemos a continuación el (MAS) partiendo de x 0 = 1/2 para aproximar el único punto fijo α de g en [1/2, log 2]. En concreto, calculemos el número de iteraciones k para que el error absoluto cometido sea menor que Con este fin usaremos la estimación (3.12): x k α Lk 1 L x 1 x 0 = e k/2 1 e 1/2 e 1/2 1 2 = 2 e 2( e 1)e k/2. Así, garantizamos que el error sea menor que 10 3 si calculamos k tal que 2 ( ) e (2 e) ( e 1)e k/ k 2 log 2( = e 1) En concreto, si tomamos k = 12 y aproximamos α por x 12 = garantizamos que el error absoluto cometido es menor que A continuación daremos un resultado de convergencia local para (M AS). En este resultado no supondremos hipótesis globales en el intervalo, solo una propiedad sobre la derivada en el punto fijo de la función. Se tiene: Teorema 3.12 (convergencia local de (MAS)) Sea I R un intervalo abierto y g : I R una función tal que existe α I verificando g(α) = α. Supongamos que existe δ > 0 tal que (α δ, α + δ) I y g C 1 (α δ, α + δ). Supongamos también que g (α) < 1. Entonces, α es un punto atractivo para (MAS), es decir, existe ρ (0, δ) tal que para cualquier x 0 [α ρ, α + ρ] (MAS) está bien definido y genera una sucesión {x k } k 0 que satisface lím x k = α. Además, existe una constante L [0, 1) (que depende de ρ y g (α) ) tal que x k α L k x 0 α k 0 y x 0 [α ρ, α + ρ], x k α Lk 1 L x 1 x 0 k 1 y x 0 [α ρ, α + ρ]. Demostración. La prueba es una consecuencia del Teorema 3.9 aplicado en un intervalo (que tendremos que encontrar) [α ρ, α + ρ]. Como g (α) < 1, existe ρ (0, δ) tal que g C 1 ([α ρ, α + ρ]) y g (x) < 1, x [α ρ, α + ρ].

18 18 Cálculo Numérico I. Como consecuencia de la Proposición 3.8 obtenemos que g es contractiva en el intervalo [α ρ, α + ρ] y L = máx x [α ρ,α+ρ] g (x) = g (x) < 1, con x [α ρ, α + ρ], es una constante de contractividad asociada. Por otro lado g([α ρ, α + ρ]) [α ρ, α + ρ] pues, fijado x [α ρ, α + ρ], existe ξ (α ρ, α + ρ) tal que g(x) α = g(x) g(α) = g (ξ) x α L x α Lρ < ρ. Se tiene así la propiedad. Podemos aplicar el Teorema 3.9 a g en el intervalo [α ρ, α + ρ] obteniendo la prueba del resultado. En relación con el resultado anterior, también es posible dar condiciones suficientes para que un punto fijo α de una función g sea repulsivo para el (MAS) Proposición 3.13 Sea I R un intervalo abierto y g : I R una función tal que existe α I verificando g(α) = α. Supongamos que existe δ > 0 tal que (α δ, α + δ) I y g C 1 (α δ, α + δ). Supongamos también que para una constante C > 1 se tiene g (x) C x (α δ, α + δ). Entonces, α es un punto repulsivo para (MAS). Demostración. Razonemos por reducción al absurdo. Si α es un punto atractivo para (MAS) aplicado a g. Entonces, existe ρ (0, δ) tal que para cualquier x 0 [α ρ, α + ρ] el método (MAS) está bien definido, genera una sucesión {x k } k 0 [α ρ, α+ρ] y lím x k = α. Tomemos x 0 [α ρ, α + ρ] con x 0 α. Utilizando el Teorema del Valor Medio para los puntos x k y α podemos escribir x k α = g(x k 1 ) g(α) = g (ξ k ) x k 1 α, k 1, donde ξ k es un punto que está entre x k y α, es decir ξ k [α ρ, α + ρ] (α δ, α + δ). Utilizando la hipótesis sobre g (x) obtenemos x k α C x k 1 α, k 1. Obsérvese que podemos seguir aplicando el razonamiento anterior (la sucesión satisface {x k } k 0 [α ρ, α + ρ]), obteniendo x k α C k x 0 α, k k 0. Al ser C > 1 y x 0 α obtenemos que lím x k α = y esto es, evidentemente absurdo. Tenemos así la prueba. Como hemos comentado anteriormente, (M AS) es un método iterativo de orden de convergencia al menos 1 (lineal). En algunos casos el orden de convergencia es mayor. Veamos esto en el siguiente resultado:

19 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 19 Teorema 3.14 Sean m N, α, δ R, con δ > 0, y g : I = (α δ, α + δ) R una función tal que g(α) = α. Supongamos que (MAS) es localmente convergente en I hacia el punto fijo α de g. Entonces, 1. Si m 2, g C m (I) y g (α) = g (α) = = g m 1) (α) = 0, entonces (MAS) tiene orden de convergencia al menos m hacia α. 2. Si m 1, g C m (I), g (α) = g (α) = = g m 1) (α) = 0 y g m) (α) 0, (con g (α) < 1 si m = 1), entonces la sucesión {x k } k 0 generada por el (MAS) cumple que, o bien existe k 0 0 tal que x k = α para todo k k 0, o bien x k α para todo k 0 y dicha sucesión tiene orden de convergencia exacta m hacia α. Demostración. Probemos cada una de las partes del resultado: 1. Como (MAS) es localmente convergente en I, existe ρ (0, δ) tal que para cualquier x 0 [α ρ, α + ρ] (MAS) genera una sucesión {x k } k 0 [α ρ, α + ρ] tal que lím x k = α. Por otro lado, g C m (I) y, por tanto podemos hacer un desarrollo de Taylor 3 hasta el orden m. Así, fijado k 0, existe ξ k (que está entre x k y α, es decir, ξ k [α ρ, α + ρ]) tal que x k+1 α = g(x k ) g(α) = 1 m! gm) (ξ k ) x k α m k 0. (3.13) Si tomamos C = máx x [α ρ,α+ρ] gm) (x) /m! (obsérvese que g C m (I) y por tanto g m) es continua en [α ρ, α + ρ]), entonces, de la desigualdad anterior obtenemos x k+1 α C x k α m, k 0. De esta desigualdad deducimos el primer punto. 2. Sea {x k } k 0 una sucesión generada para el (MAS) tal que lím x k = α. Hay dos posibilidades: o bien existe k 0 N tal que x k = α para todo k k 0, o bien para todo k N, se tiene que x k α. Si ocurre esto último, por (3.13), dado que lím k ξ k = α, se tiene lím x k+1 α x k α m = 1 m! lím gm) (ξ k ) = 1 m! gm) (α) 0. De este modo deducimos el segundo punto y la prueba del resultado. 3 Teorema de Taylor (e.g. cf. [T. Apostol, Calculus Vol. 1, Th.7.6, p.342 y Sec.7.7, p.347]) Sean I R un intervalo, a I, f C n+1 (I). Entonces, dado x I, existe c entre x y a tal que f(x) = n f j) (a) j=0 j! (x a) j + E n (x) siendo el error (en su expresión más simple, pues hay varias posibles) E n (x) = f n+1) (c) (n+1)! (x a) n+1.

20 20 Cálculo Numérico I. 4. Métodos de segundo orden: método de Newton y variantes En esta sección volveremos de nuevo al estudio de la ecuación (1.1), donde supondremos que la función f está definida en el intervalo [a, b] (con a, b R y a < b). Supongamos que f admite una raíz α en el intervalo (a, b). Nuestro primer objetivo es construir un método iterativo de orden al menos cuadrático (orden 2) que aproxima a dicha raíz de f. La idea se basa en escribir de manera equivalente la ecuación (1.1) como (EP F ) para una nueva función g y aplicar los resultados de la sección anterior. Razonamos del siguiente modo: Sea h : [a, b] R una función definida en [a, b] tal que h(x) 0 en el intervalo [a, b]. Evidentemente la ecuación (1.1) equivale a x h(x)f(x) = x, (EP F ) h es decir, equivale a (EP F ) para la función g : [a, b] R dada por g(x) = x h(x)f(x). La idea del método de Newton consiste en determinar h de tal modo que al aplicar el (MAS) a la ecuación (EP F ) h, resulte un método convergente de al menos segundo orden. Para ello, teniendo en cuenta el Teorema 3.14, parece natural pedir que se tenga g C 2 [α ρ, α + ρ] (con ρ > 0 tal que [α ρ, α + ρ] [a, b]) y g (α) = 0. Teniendo en cuenta que g (x) = 1 h (x)f(x) h(x)f (x) y que f(α) = 0, deducimos que h ha de satisfacer h(α)f (α) = 1. Si suponemos que f (x) 0 para cualquier x en [a, b], basta tomar como función h(x) = 1/f (x). Así, la anterior ecuación (EP F ) h se escribe x f(x) f (x) = x, ecuación para la que el (MAS) adopta la forma x 0 [a, b] dado, x k+1 = x k f(x k) f (x k ), k 0. (MN) Este método iterativo (MN) recibe el nombre de Método de Newton. Observación El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, que en realidad está en el origen histórico del mismo. En efecto, en cada etapa k, el valor x k+1 corresponde a la abscisa del punto de corte con el eje OX de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x k, f(x k )) (esta recta viene dada por y f(x k ) = f (x k )(x x k )). Esta interpretación geométrica justifica que el método de Newton también reciba el nombre de método de la tangente. 2. Obsérvese que para poder aplicar el método de Newton en el intervalo [a, b] es necesario que la función f sea al menos derivable en [a, b] y que f (x) 0 para todo x [a, b].

21 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales Si f C 3 ([a, b]) cumple que f (x) 0 en [a, b], entonces automáticamente g(x) = x f(x) f (x) C2 ([a, b]) y por el Teorema 3.14 se tiene que el (MN) tiene orden al menos dos. Comencemos estudiando un resultado de convergencia global del (M N) en el intervalo [a, b] sin imponer que f C 3. Se tiene: Teorema 4.2 (Convergencia global del (MN)) Sean a, b R, con a < b, y f C 2 ([a, b]) tal que (i) f(a)f(b) < 0, (ii) f (x) 0, para todo x [a, b], (iii) el signo de f (x) es constante en [a, b] (es decir, o f (x) 0 para todo x [a, b], o f (x) 0 para todo x [a, b]), (iv) si c {a, b} es tal que f (c) = mín( f (a), f (b) ), entonces Entonces se tiene: f(c) f (c) b a. 1. La función f tiene una única raíz α en [a, b], i.e., existe un único α [a, b] tal que f(α) = El (MN) está bien definido, i.e. para todo x 0 [a, b] se tiene {x k } k 0 [a, b]. 3. El (MN) es globalmente convergente en [a, b] hacia α, i.e., para todo x 0 [a, b] se tiene que existe lím x k = α. 4. El (MN) tiene convergencia al menos cuadrática en [a, b]. De hecho, si se m 1 y M 2 están dadas por: m 1 = mín f (x) y M 2 = máx f (x), (4.14) x [a,b] x [a,b] entonces se tienen las siguientes acotaciones del error absoluto: x k+1 α M 2 2m 1 x k α 2, k 0, (4.15) x k+1 α M 2 2m 1 x k+1 x k 2, k 0. (4.16) Demostración. Veamos cada uno de los puntos del enunciado: 1. En primer lugar, de las hipótesis (i) y (ii) deducimos que podemos aplicar las Proposiciones 1.8 y 1.10 deduciendo que f tiene un único cero α en [a, b]. Por otro lado, las hipótesis (i) (iv) hacen que, geométricamente, haya cuatro situaciones posibles:

22 22 Cálculo Numérico I. 1) f(a) < 0 (y, en consecuencia, f(b) > 0 y f (x) > 0 en [a, b]) y f (x) 0 para todo x [a, b], 2) f(a) < 0 (y, así, f(b) > 0 y f (x) > 0 en [a, b]) y f (x) 0 para todo x [a, b], 3) f(a) > 0 (y, en consecuencia, f(b) < 0 y f (x) < 0 en [a, b]) y f (x) 0 para todo x [a, b], 4) f(a) > 0 (y, en consecuencia, f(b) < 0 y f (x) < 0 en [a, b]) y f (x) 0 para todo x [a, b]. Nosotros probaremos el teorema en la primera situación. El resto de configuraciones se pueden demostrar de manera análoga (queda como ejercicio para el lector la prueba en las tres restantes situaciones), o bien ser llevados al caso 1) mediante cambios de variables adecuados (ver [3]). A partir de ahora supondremos que f(a) < 0, f(b) > 0 y f (x) 0 para todo x [a, b]. En tal caso, por (ii) obtenemos que f (x) > 0 para todo x [a, b] y, al ser f (x) 0, f es no creciente en [a, b]. Deducimos que la hipótesis (iv) se reescribe: c = b y f(b) f (b) b a. (4.17) 2. Veamos que el (MN) está bien definido. Introduzcamos la función g : [a, b] R definida por g(x) = x f(x) f (x), x [a, b]. De las hipótesis del enunciado deducimos que g C 1 ([a, b]). Evidentemente, el (MN) es el (MAS) aplicado a esta función g y x k+1 = g(x k ) para k 0. Así, para ver que (MN) está bien definido, veamos que g([a, b]) [a, b]. Para ello, observemos que g (x) = 1 (f (x)) 2 f(x)f (x) = f(x)f (x), x [a, b], (f (x)) 2 (f (x)) 2 y, en consecuencia, como suponemos f (x) 0 para todo x [a, b], tenemos { g (x) 0 x [a, α) (g es creciente en [a, α]), Veamos que g([a, b]) [a, b]: g (x) 0 x (α, b] (g es decreciente en [α, b]). Si x [a, α], entonces g(a) g(x) g(α) = α < b. Como g(a) = a f(a) f (a) > a, deducimos que a < g(x) α < b para cada x [a, α]. Si x [α, b], entonces g(b) g(x) g(α) = α < b. Como c = b, de (4.17) deducimos g(b) = b f(b) f (b) a. También en este caso deducimos que a g(x) α < b para cada x [α, b].

23 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales. 23 Obsérvese que en realidad hemos probado que a g(x) α, x [a, b]. (4.18) En particular, deducimos que (MN) está bien definido. Esto prueba el punto Pasemos a probar que el método es globalmente convergente en [a, b] hacia α. Para ello, veamos primero que, a partir del primer término, la sucesión generada por (MN) es creciente y está acotada superiormente. Efectivamente, si x 0 [a, b], usando (4.18) obtenemos que x 1 = g(x 0 ) [a, α]. Utilizando de nuevo (4.18) y un razonamiento de inducción conseguimos {x k } k 1 [a, α]. En particular la sucesión {x k } k 1 está acotada. También {x k } k 1 es creciente pues, si k 1 se tiene x k+1 = g(x k ) = x k f(x k) f (x k ) x k. En la fórmula anterior hemos utilizado que {x k } k 1 [a, α] y que f(x) 0 en [a, α]. Resumiendo, la sucesión {x k } k 1 [a, α] es monótona creciente y está acotada superiormente. Así, existe el límite lím x k := α α. En tal caso, tomando límites en la igualdad obtenemos x k+1 = x k f(x k) f (x k ), α = α f(α) f (α), es decir, f(α) = 0 o, equivalentemente, α = α. Obtenemos así la prueba del tercer punto del enunciado. 4. Estudiemos el orden de convergencia. Aunque g (α) = 0 (lo que sugiere que el orden de convergencia del método será al menos cuadrático), no podemos aplicar el Teorema 3.14 pues, en principio g no pertenece a C 2 ([a, b]). Estudiaremos directamente el error absoluto del método: De la expresión de x k+1 deducimos f(x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) = 0, k 0. (4.19) Por otra parte, realizando un desarrollo de Taylor de f(α) hasta el orden 2 (obsérvese que f C 2 ([a, b]) también obtenemos: 0 = f(α) = f(x k ) + f (x k )(α x k ) f (θ k )(α x k ) 2, k 0, donde θ k es un punto situado entre α y x k (y, por tanto en [a, b]). Restando las dos expresiones obtenemos f (x k )(α x k+1 ) f (θ k )(α x k ) 2 = 0.

24 24 Cálculo Numérico I. Despejando x k+1 α, tomando valores absolutos y usando (4.14) deducimos (4.15). En particular esta desigualdad (4.15) prueba que el método de Newton (MN) es de orden al menos cuadrático. Para obtener (4.16), volvemos a hacer un desarrollo de Taylor de segundo orden de f(x k+1 ): f(x k+1 ) = f(x k ) + f (x k )(x k+1 x k ) f ( θ k+1 )(x k+1 x k ) 2, k 0, donde ahora θ k+1 es un nuevo punto situado entre x k+1 y x k (y, de nuevo, en el intervalo [a, b]). Usando (4.19) deducimos f(x k+1 ) = 1 2 f ( θ k+1 )(x k+1 x k ) 2. Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio en los puntos x k+1 y α tenemos: f(x k+1 ) = f(x k+1 ) f(α) = f ( θ k+1 )(x k+1 α), donde θ k+1 es un punto intermedio entre x k+1 y la raíz α. Igualando estas dos fórmulas y despejando x k+1 α obtenemos: x k+1 α = f ( θ k+1 ) 2f ( θ k+1 ) (x k+1 x k ) 2 Tomando valores absolutos y usando (4.14) obtenemos (4.16). Esto finaliza la prueba del resultado. Observación Analizando la demostración del resultado anterior deducimos que la hipótesis (iv) puede ser reescrita de manera equivalente del siguiente modo: (iv) si c {a, b} es tal que f (c) = mín( f (a), f (b) ), entonces, tomando x 0 = c, se tiene x 1 [a, b]. 2. De la demostración anterior también se deduce que, bajo las condiciones del Teorema 4.2, la sucesión {x k } k 1 que genera el método de Newton (MN) es monótona a partir del primer término. Efectivamente, hemos visto que en la primera de las cuatros situaciones descritas al inicio de la prueba, la sucesión {x k } k 1 es monótona creciente. En las otras tres es posible comprobar que la sucesión sigue siendo monótona (creciente o decreciente). 3. La acotación del error (4.16) (estimación a posteriori ) es un test de parada para el método. Supongamos que queremos calcular una aproximación de la raíz α con un error menor que ε > 0, entonces iteraríamos el método hasta un término k 1 que satisfaga M 2 2m 1 x k x k 1 2 < ε.

25 Tema 2: Métodos de resolución de Ecuaciones no Lineales La condición (iv) del enunciado del Teorema 4.2 limita el tamaño del intervalo [a, b] a considerar. En concreto, el punto c es el extremo malo del intervalo y la condición (iv) se puede reescribir diciendo que si tomamos x 0 = c, entonces el punto x 1 no se sale del intervalo [a, b]. El otro extremo del intervalo [a, b] es el extremo bueno : si tomamos como x 0 ese punto, la sucesión será monótona y convergerá hacia α. Vemos este punto en el siguiente resultado. Corolario 4.4 (Regla de Fourier) Consideremos una función f C 2 ([a, b]) tal que satisface las hipótesis (i), (ii) y (iii) del Teorema 4.2. Sea x 0 = a o x 0 = b tal que se tiene 4 f(x 0 ) > 0 si f (x) 0 para todo x [a, b], o f(x 0 ) < 0 si f (x) 0 para todo x [a, b]. Entonces, la sucesión {x k } k 0 generada por el método (MN) está bien definida, es monótona, {x k } k 0 [a, b] y es convergente hacia α (la única raíz de f en [a, b]) con orden de convergencia al menos cuadrática. Además, se tienen las estimaciones de error (4.15) y (4.16). Demostración. Probemos el resultado en la primera situación de las cuatro descritas al inicio de la prueba del Teorema 4.2. En estas condiciones c = b y x 0 = a. Recordemos que en este caso la función g dada por g(x) = x f(x) f (x), x [a, b]. es creciente en el intervalo [a, α] y, además, la sucesión {x k } k 0 es monótona creciente, está contenida en el subintervalo [a, α] (por tanto está acotada) y converge hacia α. Las estimaciones (4.15) y (4.16) se prueban análogamente a como se hizo anteriormente. Esto acaba la prueba. El último Teorema que probaremos en este Tema nos proporciona un resultado de convergencia local para el método de Newton (MN). Se tiene: Teorema 4.5 (Convergencia local del (M N)) Consideremos el intervalo abierto (a, b) y una función f C 2 (a, b). Supongamos que existe α (a, b) tal que f(α) = 0 y f (α) 0. Entonces, el método (MN) es localmente convergente en (a, b), i.e., existe ρ > 0 tal que el método (MN) está bien definido en [α ρ, α + ρ] y es convergente en [α ρ, α + ρ] hacia α. Además, o bien existe k 0 0 tal que x k = α para todo k k 0, o bien x k α para todo k 0 y lím x k+1 α x k α = f (α) 2 2 f (α), x 0 [α ρ, α + ρ] \ {α}. (4.20) Así, la convergencia hacia α es de orden al menos dos, y si f (α) 0, el método (MN) tiene convergencia (exactamente) cuadrática (p = 2). Demostración. La prueba es consecuencia del Teorema Efectivamente, como f C 2 (a, b) y f (α) 0, existe δ > 0 tal que (α δ, α + δ) (a, b) y f (x) 0 para todo x (α δ, α + δ). Así, la función g(x) = x f(x) f (x), x (α δ, α + δ), 4 Si f (x) 0 en todo el intervalo, f es una línea recta y el (MN) lleva directamente a la solución por cualquier extremo que se empiece.