EJERCICIO COMPUTACIONAL N o 4. MÉTODOS ITERATIVOS

Transcripción

1 EJERCICIO COMPUTACIONAL N o 4. MÉTODOS ITERATIVOS Ángel Durán Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Valladolid 23 de abril de 2011

2 Contenidos 1 Métodos iterativos para sistemas lineales Técnicas de descomposición Análisis de convergencia 2 Métodos iterativos para ecuaciones no lineales Técnicas clásicas Ejemplo 3 Sistemas de ecuaciones no lineales Métodos de punto fijo y de Newton Ejemplo comparativo

3 Técnicas de descomposición Métodos de descomposición A = Q (Q A) Ax = b Qx = (Q A)x + b (1) Qx (ν) = (Q A)x (ν 1) + b, ν = 1, 2,... (2) x (0) arbitrario Elección de Q: la resolución de los sistemas (2) debe ser más sencillo que resolver (1)

4 Técnicas de descomposición Técnicas clásicas A = D E F, D = diag(a 11,..., a nn ), a E =....., a n 1,1 a n 1,2 a n 1,3 0 0 a n,1 a n,2 a n,3 a n,n 1 0 F = D E A.

5 Técnicas de descomposición Técnicas clásicas Jacobi: Q = D, Dx (ν) = b + Ex (ν 1) + Fx (ν 1). Gauss-Seidel: Q = D E, Dx (ν) = b + Ex (ν) + Fx (ν 1). SOR(ω): Q = 1 ω (D ωe), (D ωe)x (ν) = ((1 ω)d + ωf)x (ν 1) + ωb,

6 Técnicas de descomposición Estructura general de la programación Control de iteración: maxit, tol En general, almacenamiento de sólo dos iterantes consecutivos XV = x (0), NITER = 0, ERRORC = 1 function [XN]=método(A,b,XV) XV = x (0), NITER = 0, ERRORC = 1 while (NITER < maxit)&(errorc > tol) RESOLVER QXN = (Q A)XV + b ACTUALIZAR NITER = NITER + 1 ERRORC = XN XV / XN XV XN end endfunction

7 Análisis de convergencia Resultado general Los errores e ν = x (ν) x satisfacen la recurrencia e (ν) = Me (ν 1), ν = 1, 2,.... M = Q 1 (Q A): matriz de iteración del método M = D 1 (E + F) (Jacobi) M = (D E) 1 F (Gauss-Seidel) M = (D ωe) 1 ((1 ω)d + ωf). (SOR) Teorema: La iteración (2) converge para cualquier vector inicial x (0) si y sólo si ρ(m) < 1.

8 Análisis de convergencia Casos particulares si M < 1 para alguna norma matricial, entonces la iteración (2) converge. Si A es estrictamente diagonalmente dominante, entonces A es invertible y además: El método de Jacobi converge para cualquier elección del iterante inicial. Si 0 < ω 1, el método SOR con parámetro ω converge para cualquier elección del iterante inicial. En particular, el método de Gauss-Seidel (ω = 1) converge. Si A es simétrica y definida positiva, entonces: El método de Gauss-Seidel converge para cualquier elección del iterante inicial. El método SOR con parámetro ω converge para cualquier elección del iterante inicial si y sólo si 0 < ω < 2.

9 Análisis de convergencia Velocidad de convergencia e (ν) ρ(m) ν e (0). R (M) = log ρ(m) > 0 se llama velocidad asintótica de convergencia y controla la rapidez con la que converge la iteración. ( ) 2 1 Ejemplo: A = 1 2 ( ) 0 1/2 Jacobi: M = ρ(m) = 1/2 1/2 0 ( ) 0 1/2 Gauss-Seidel: M = ρ(m) = 1/4 0 1/4 Un solo paso del método G-S equivale a dos del método de Jacobi

10 Análisis de convergencia Estudio comparativo.distribución del potencial en un condensador N O C E S V C = 1 4 (V N + V S + V E + V O ).

11 Análisis de convergencia Estudio comparativo La aplicación de esta fórmula lleva a un sistema con matriz A = El término independiente contiene valores del potencial en los puntos de la malla que caen en las placas.

12 Análisis de convergencia Estudio comparativo.distribución del potencial en un condensador TOL NITER U u Método de Jacobi 1E E-06 1E E-08 1E E-10 1E E-12 EPS 52 EPS TOL NITER U u Método de Gauss-Seidel 1E E-06 1E E-08 1E E-10 1E E-12 EPS 34 EPS

13 Análisis de convergencia Comparación: algoritmos directos/iterativos

14 Técnicas clásicas Técnicas clásicas Bisección Secante Punto fijo Newton

15 Técnicas clásicas Iteración de punto fijo f (x) = 0 x = g(x)

16 Técnicas clásicas Iteración de punto fijo Elegida una aproximación inicial x 0 x n = g(x n 1 ), n = 1, 2,.... (3) Supongamos que g es de clase C 1 (r ɛ, r + ɛ), con ɛ > 0. Si g (r) < 1 Convergencia local lineal

17 Técnicas clásicas Método de Newton

18 Técnicas clásicas Método de Newton Elegida una aproximación inicial x 0 x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1,.... (4) (x n ) Supongamos que f es de clase C 2 en un entorno de r con f (r) = 0, f (r) 0. Supongamos además que existe f (r) Convergencia local cuadrática.

19 Técnicas clásicas Estructura general de la programación Control de iteración: maxit, tol1, tol2 En general, almacenamiento de sólo dos iterantes consecutivos Evaluaciones de la función (y derivadas) a través de una función externa que contenga su expresión function [f1,f2]=fun(x) f 1 = x 4 x (x 2) 6 x 1 f 2 = 4 (x 3) 3 (x 2) + 6 x 6 endfunction

20 Técnicas clásicas Estructura general de la programación Dado XV = x (0) como entrada function [XN]=método NITER = 0, ERC = 1, ERR = 1 while (NITER < maxit)&(erc > tol1)&(err > tol2) EVALUAR [F1, F2] = fun(xv ) IMPLEMENTAR MÉTODO XN = ACTUALIZAR NITER = NITER + 1 ERRORC = XN XV / XN ERRORR = f (XN) XV XN end endfunction

21 Ejemplo Ecuación de Kepler u = g(u) = m + ɛ sin u f (u) = u m ɛ sin u = 0 0 < ɛ < 1: excentricidad de la órbita u: anomalía excéntrica: ángulo formado en el centro de la elipse por el planeta y el eje mayor m: anomalía media: duración del año planetario

22 Ejemplo Iteración de punto fijo n x n e n e n+1 /e n E E E E E E E E E E E Cuadro: Iteración de punto fijo para f (x) = x 0,5 sin x 0,6 = 0, con g(x) = 0,5 sin x + 0,6.

23 Ejemplo Iteración de punto fijo

24 Ejemplo Método de Newton n x n e n e n+1 /en E E E E Cuadro: Método de Newton para f (x) = x 0,5 sin x 0,6 = 0.

25 Ejemplo Método de Newton

26 Formulación Sistema de ecuaciones f ( x) = 0, x = (x 1,..., x m ) o bien f 1 (x 1,..., x m ) = 0, f 2 (x 1,..., x m ) = 0,. (5) f m (x 1,..., x m ) = 0.

27 Métodos de punto fijo y de Newton Métodos Iteración de punto fijo: Se reescribe el sistema (5) en la forma x = g( x), para cierta g = (g 1,..., g m ). Dado un iterante inicial x 0, se genera la sucesión x n = g( x n 1 ), n = 1, 2,... g (r) < 1 convergencia local lineal en la norma matricial.

28 Métodos de punto fijo y de Newton Métodos Método de Newton: Dado un iterante inicial x 0,x n+1 es solución del sistema es decir 0 = f (x n ) + f (x n )(x n+1 x n ), f (x n ) x n = f (x n ) x n+1 = x n + x n f C 3 en un entorno de r, f (r) es invertible convergencia local cuadrática en la norma matricial.

29 Ejemplo comparativo Ejemplo f 1 (x, y) = x 2 2x y + 0,5 = 0, f 2 (x, y) = x 2 + 4y 2 4 = y=x 2 2x x 2 +4y 2 =

30 Ejemplo comparativo Ejemplo Punto fijo: x = g 1 (x, y) = x 2 y + 0,5, y = g 2 (x, y) = x 2 4y 2 + 8y n x n y n n x n y n

31 Ejemplo comparativo Ejemplo g (x, y) = ( x ) 1/2 x/4 y + 1 Un cero en ( 0,5, 0,5) (0,5, 1,5) y el otro cerca de (1,9, 0,3). Si (x, y) ( 0,5, 0,5) (0,5, 1,5) g (x, y) < 1 g (1,9, 0,3) > 1

32 Ejemplo comparativo Ejemplo Punto fijo: Nuevo sistema x = x 2 + 4x + y 0,5, y = x 2 4y y n x n y n

33 Ejemplo comparativo Ejemplo Método de Newton f 1 (x, y) = x 2 2x y + 0,5 = 0 ( ) f 2 (x, y) = x 2 + 4y 2 4 = 0, f 2x 2 1 (x, y) = 2x 8y f (x n, y n ) ( ) xn+1 = y n+1 ( xn y n ( xn y n ) = f (x n, y n ) ) ( ) xn + y n

34 Ejemplo comparativo Ejemplo ( ) ( ) ( ) xn xn xn+1 ( y n ) ( ) ( y n ) ( ) ( y n+1 ) 2,00 2,0 1,0 0, ,25 1,9063 = ( 0,25 ) ( 4,0 2,0 ) ( 0,0625 ) ( 0,25 ) ( 0,3125 ) 1,9063 1,8125 1,0 0, , , = ( 0,3125 ) ( 3,8125 2,5 ) 0, ( ) 0, ( ) ( 0, ) 1, , ,0 0, , , = 0, , , , , ,311219