Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Práctica 3: Límites y continuidad. Primer cuatrimestre de (x 2 +3x +2) 3x 1.

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1 Análisis Matemático I (Lic. en Cs. Biológicas) Primer cuatrimestre de 2009 Práctica 3: Límites y continuidad Ejercicio. Usando las propiedades básicas de los límites de funciones calcular los siguientes límites. En cada caso indicar qué propiedades se an empleado: ( ) 3 ln( +) e (g) lím π sin 2 +tan cos( 2 3 ) () lím (i) lím 0 (t +) 2 t 2 (j) lím (k) lím b 3 b 3 b (l) lím (m) lím +4 2 con t R, t fijo Ejercicio 2. (a) Hacer un gráfico aproimado de f() =. (b) Verificar gráficamente que vale lím + (c) Para cada n N calcular lím + = 0; lím n = 0; lím = 0. n = 0. /8

2 Ejercicio 3. Consideremos una función f() cuyo gráfico es: (a) Determinar el dominio de esta función y sus límites en los etremos del conjunto dominio. (b) Cuántas soluciones tiene la ecuación f() =? (c) Cuántas soluciones tiene la ecuación f() = 0? (d) Cuántas solucionestiene laecuación f() = m, donde mes un determinadonúmero real? Considerar todas las posibilidades. Ejercicio 4. Calcular los siguientes límites: ( ) + ( ) (g) lím () lím + +5 (i) lím (ln 2ln( +)) (j) lím Ejercicio 5.DeacuerdoconlaTeoríadelaRelatividaddeEinstein,uncuerpoqueenreposotiene m 0 masa m, cuando se mueve a velocidad v su masa cambia según la epresión m = v, c donde c es la velocidad de la luz y m 0 es la masa inicial. Qué sucede cuando v c? 2/8

3 Ejercicio 6. Un problema cuantitativo importante de la ciencia pesquera consiste en evaluar el número de peces embra que desovan en los ríos y emplear esta información para etrapolar el número de peces maduros (llamados reclutas ) que volverán a los ríos durante el siguiente período de reproducción. Si R es el número de reclutas y H el número de peces embra del período anterior, las investigaciones cuantitativas de Beverton ² Holt (957) afirman que R = H R(H) = donde α y β sonconstantespositivas.mostrarque,deacuerdoconestafunción, αh + β para un número H de embras suficientemente grande el reclutamiento será aproimadamente constante. Ejercicio 7. Cierta población biológica comienza creciendo según una función eponencial. Si no se presentan catástrofes(incendios, plagas, depredadores, etc.) la población puede llegar a saturar los recursos del ábitat, y su crecimiento se amortigua. Entonces el crecimiento se describe por la función logística: f(t) = c +ke at donde c, k y a son parámetros (constantes) que no dependen del tiempo t y a > 0. (a) Cuál es la población inicial en este modelo? (b) Cuál es la población límite? (Calcular el límite de f(t) cuando t +.) (c) Si c y k fueran números grandes (respecto de los valores de t) la función f(t) es próima a la función eponencial g(t) = c +k eat. Supongamos que una población de moscas tiene los parámetros : c = 0 k = 999 a = 0,02 Verificar mediante una tabla de valores que la logística y la eponencial son muy similares para t < 00. Ambas funciones seguirán siendo próimas si vale 00 < t < 200 Qué ocurre para t > 200? Ejercicio 8. Calcular los siguientes límites: sin 2 2 cos( + ) ( 2 4)sin( 2 2 ) sin t Ejercicio 9. Sabiendo que lím = calcular: t 0 t sin (()) función sin. cos[ln( + )].e cos, con () cualquier 3/8

4 sin tan sin(3) 2 sin 3 sin 2 cos π 2 cos π 2 (g) lím +cos(π) tan 2 (π) () lím 0 sin( +) sin (i) lím 0 cos( +) cos (j) lím arcsin (k) lím sin(π) sin(3π) Ejercicio 0. (a) Comprobar gráficamente que lím + = + (b) Qué puede decir de lím y de lím + n (c) La misma pregunta para n impar. lím = para n par? n Ejercicio. Consideramos la función f() = 3 (a) Determinar el dominio de f. (b) Se puede calcular directamente lím f()? Por qué? (c) Determinar la función g definida por g() = f( +). (d) Calcular lím + g() y lím g(). Deducir lím f() y lím f(). + (e) Admite f() asíntotas verticales u orizontales? Justificar la respuesta. Ejercicio 2. Hallar todos los pares de números reales a y b que verifican simultáneamente: lím a2 +b + = 3 y lím + a2 +b + = 2. Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos calcular lím lím f() y representar gráficamente. + f(), lím f(). Decidir si eiste (a) f() = 3 6 (b) f() = (c) f() = { +5 si si > 0 4/8

5 Ejercicio 4. Calcular los siguientes límites: (3 5) 3 ( ) ( sin(2) )tan 3 ( ) + + ( ) sin(2) sin Ejercicio 5. Sabiendo que lím( +y) y = lím y 0 t ( ) ( + a, a R fijo. + ) ( + ) 0 + ( +sin ) Ejercicio 6. Calcular los siguientes límites: + ( sin(3 2 ) ) sin(4 2 ) ( + t ) t = e calcular los siguientes límites: ln( +) ln(a +) ln a, a > 0 fijo. 0 (g) lím 0 e e a+ e a () lím, a R fijo. 0 π sin( 2 ) π ( +a a) + + ln sin 2 +sin 2 + sin Ejercicio 7. Sean a,b R. Mostrar que lím t + ( + a t + b t 2)t no depende de la elección de b. Ejercicio 8. Estudiar límites laterales y ordinarios, y continuidad de las siguientes funciones en los puntos indicados. En caso de discontinuidad, discutir el tipo: (a) f() = tg en = 0 (c) f() = +e en = 0 (b) f() = sin si = 0 0 si = 0 en = 0 (d) f() = { e 2 si = 0 0 si = 0 en = 0 5/8

6 (e) f() = en = si > 2 2 (f) f() = 3 si = si < 2 en = 2 (g) f() = () f() = ( 2) 2 en = 2 { e si < 0 0 si 0 en = 0 Ejercicio 9. Cómo debe elegirse la constante A en la definición de la siguiente función, si queremos que la función f resulte continua? 2 4 si = 2 f() = 2 A si = 2 Ejercicio 20. Determinar el conjunto de puntos de discontinuidad (en R) de las siguientes funciones. Redefinirlas, si fuera posible, para que resulten continuas: (a) f() = ( 2 4) si < 0 (b) f() = 2 si 0 < 2 2 si (c) f() = (d) f() = ( )2 2 (e) f() = si > si = si < 4 +3 (f) f() = (g) f() = 2 sen( 2 +2) si > si < Ejercicio 2. En cada uno de los siguientes casos allar todos los pares de números reales a y b para los que la función f resulta continua en todo R: si (,0] (a) f() = a +b si (0,2) 2 si si 0 (b) f() = a 2 +b si 0 < < 2 2 si si > (c) f() = a +b si si < /8

7 Ejercicio 22. Para cada una de las siguientes funciones, estudiar la continuidad en R. Si ubiera discontinuidades, clasificarlas y, de ser posible, redefinir la función para que resulte continua. e si > 0 (a) f() = 0 si = si < si > 0 (b) f() = 2 si = 0 cos 2 si < 0 + (c) f() = Ejercicio 23. Analizar la continuidad en 0 = 5 de la función así definida: f() = 3e 5 si 5 45sen( 5)ln( 4 5 3) 2( 5) Qué se puede decir de la continuidad de f en R {5}? +5 si > si > 2 si = si < Ejercicio 24. Mostrar que el polinomio P() = toma el valor cero en el intervalo ( ;0). Ejercicio 25. Mostrar que los gráficos de las funciones f() = e y g() = +2 se cortan para algún 0 0. Ejercicio 26. Mostrar que eiste un 0 (,e) tal que ln 0 0 = 3. Ejercicio 27. Determinar la eistencia de raíces reales de la función f() = en los inter- 4 2 valos [ 4; 3], [ 3;3] y [ ;]. Ejercicio 28. Una determinada compañía vende un producto de consumo por kg (o fracción). Para favorecer compras grandes, la productora cobra,0 por kg en compras de menos de 8kg, mientras que cobra por kg si se compra 8kg o más. (a) Epresar matemáticamente la función costo C() donde indica la cantidad de kilogramos que se compra. Representar gráficamente esta función. (b) Es continua C()? En caso negativo, indicar los puntos de discontinuidad, justificando dica respuesta. 7/8

8 (c) Eplicar por qué no conviene (en estas condiciones) que un cliente compre 7, 5 kg de este producto. Ejercicio 29. La misma compañía productora del problema anterior vende un segundo producto a,20 por kg los primeros 5kg, y para compras mayores a 5kg cobra 6 más 0,90 por cada kilo que sobrepase los 5. (a) Epresar matemáticamente la función costo C() donde indica la cantidad de kilogramos que se compra. Representar gráficamente esta función. (b) Es continua C()? En caso negativo, indicar los puntos de discontinuidad, justificando dica respuesta. 8/8