LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 Límites y Continuidad ºBCCSS LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dada una función f(), diremos que el ite de f() cuando tiende a a es el número real L y lo escribiremos f() L, si al tomar cada vez valores más próimos a a, a los valores de la función se aproiman a L. 1. Ejemplo.- En el cálculo de ites, cuando tiende a un número real, sustituiremos por dicho valor y, si es posible, realizaremos las operaciones indicadas. Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: 1 c) d) e) f) 5 g) 1 Soluciones: -19, 4, c) 1, d) -1/, e) 15/5, f) 47, g). LÍMITES LATERALES El ite por la derecha de la función f() cuando tiende a a es el número real L, si al aproimarse a a mediante valores mayores, los valores de la función se aproiman a L. Lo escribiremos: f() L. a De igual forma se puede definir el ite por la izquierda, donde se aproima a a mediante valores más pequeños. Se escribirá f() L Una función tiene ite en un punto si y solo si eisten los ites laterales y son iguales, además el valor del ite coincidirá con los ites laterales: a f() f() f() a a a Observación: Para calcular los ites laterales sustituiremos el valor de la variable por el valor al cual tiende. Estos ites será obligado calcularlos cuando la función esté definida de forma diferente a la izquierda y derecha del valor en el que estamos calculando el ite. Ejemplo IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 1

2 Límites y Continuidad ºBCCSS si Consideramos la siguiente función definida a trozos: f(). si Queremos calcular f(). Al estar definida de forma diferente a izquierda y derecha de, tenemos que calcular los ites laterales. Por tanto: f() No eiste el ite cuando tiende a, ya que los ites f() 1 laterales son distintos. Ejercicio.- Para las siguientes funciones calcula los ites que se piden: f() 1 si - 1 si 1 si 1 g() si si 0 Calcula: si 1 si 1 h() si - 1 si 1 5 si i() si si 5 c) d) e) f() 1 f() 0 f() f() 4 g() f) g) h) i) j) g() 1 g() 0 g() 4 h() h() 0 k) l) m) n) h() 1 h() i() i() Soluciones: 0, 1, c), d), e), f) 1, g), h) 5, i), j) 0, k), l) -7/, m), n) 4 y Ejercicio.- En la siguiente gráfica de la función f(), determina f(), f() y f() IES ALFONSO ESCÁMEZ Página

3 Límites y Continuidad ºBCCSS. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO El ite de una función f(), cuando tiende a, es un número real L, f() L, si para valores muy grandes de los valores de la función se aproiman al número real L. El ite de una función f(), cuando tiende a, es un número real L, f() L, si para valores muy pequeños de los valores de la función se aproiman al número real L. Ejemplo.- y f() f() y 5 4 f() 1 f() Dada una función f(): f(), si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f() son mayores que cualquier número prefijado. f(), si para valores muy grandes de, los valores correspondientes de f() son menores que cualquier número prefijado. f(), si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f() son mayores que cualquier número prefijado. f(), si para valores muy pequeños de, los valores correspondientes de f() son menores que cualquier número prefijado. IES ALFONSO ESCÁMEZ Página

4 Límites y Continuidad ºBCCSS Ejemplos.- y f() f() f() 1 f() 1 f() f() OPERACIONES CON LÍMITES Si f() y g() son dos funciones y eisten sus ites, se cumple que: f() g() f() g() f() g() f() g() f() f(), siempre y cuando g() g() n f() f() n g() 0 En el cálculo de ites es habitual operar con epresiones en las que aparece infinito. Las siguientes tablas nos ayudarán para operar con infinito: SUMA Y RESTA k k k k PRODUCTO si k 0 k si k 0 si k 0 k si k 0 IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 4

5 Límites y Continuidad ºBCCSS COCIENTE k k k si k 0 0 si k POTENCIA si k 1 k 0 si 0 k 1 k 0 si k 1 + si 0 k 1 k si k 0 0 si k CÁLCULO DE LÍMITES 5.1.LÍMITE DE LA FUNCIÓN POTENCIAL Si n es un número natural, se tiene que: n 1 n 0 n n n, si n es par., si n es impar. 1 n 0 n Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: 4 4 c) d) e) 4 f) 1 IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 5

6 Límites y Continuidad ºBCCSS Soluciones:,, c) 0, d) -, e), f) LÍMITE DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Recordamos que la función eponencial es una función de la forma es un número real positivo. f() a, donde a a si a 1 0 si 0 a 1 a 0 si a 1 + si 0 a 1 Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: c) 5 1 d) 1 Soluciones:, 0, c) 0, d) 5. LÍMITE DE FUNCIONES RACIONALES Una función racional es una función de la forma polinomios. P() f(), donde P() y Q() son Q() Para calcular el ite en infinito de un polinomio, tan solo tendremos en cuenta el término que determina el grado. Así: Para calcular el ite de las funciones racionales en el infinito, nos fijaremos en los grados de los polinomios: P() Si grado P() > grado Q(),. Para determinar el signo del Q() resultado estudiamos el signo de los coeficientes que determinan el grado. P() Si grado P() = grado Q(), es el cociente de los coeficientes de los Q() términos que determinan el grado. P() Si grado P() < grado Q(), 0. Q() Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 6

7 Límites y Continuidad ºBCCSS c) d) e) Soluciones: 0, 0, c) 4/7, d)1, e) -, f) - g) - h) 8, i) /8 f) g) h) i) INDETERMINACIONES En el cálculo de ites surgen epresiones que, a priori, no podemos determinar su valor. Son las llamadas INDETERMINACIONES INDETERMINACIÓN Estas indeterminaciones suelen aparecer al calcular ites de cocientes de polinomios o cocientes donde pueden aparecer radicales. Se suelen resolver teniendo en cuenta los grados. Ejemplo Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: c) d) e) f) g) h) Soluciones: 1/,, c), d), e) 1, f) 7/, g) 1, h) 1/ IES ALFONSO ESCÁMEZ Página 7

8 Límites y Continuidad ºBCCSS 6.. INDETERMINACIÓN Estas indeterminaciones suelen aparecer al calcular los ites de funciones con diferencia de radicales o diferencia de cocientes de polinomios. En el primer caso multiplicaremos y dividiremos por el conjugado y, en el segundo caso, tenemos que realizar la operación. Ejemplo.- INDETERMINACIÓN Realizamos la operación: Por lo que: INDETERMINACIÓN -. Multiplicamos numerador y denominador por la epresión conjugada: Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: c) 1 4 d) INDETERMINACIÓN 0 0 En estas indeterminaciones factorizamos numerador y denominador y einamos factores comunes. Ejemplos INDETERMINACIÓN

9 Límites y Continuidad ºBCCSS 1 0 INDETERMINACIÓN Ejercicio.- Calcula los siguientes ites: CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Una función es continua en un punto = a, si se verifican las siguientes condiciones: 1º. Eiste f(. º. Eiste f() º. a f( f() a Si una función no es continua en = a, diremos que es discontinua en = a. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos los puntos del intervalo. Para las funciones elementales tenemos que: Las funciones polinómicas son continuas en todo. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador. Las funciones eponenciales son continuas en todo Las funciones seno y coseno son continuas en. La función tangente no es continua en los puntos en los que se anula el coseno. TIPOS DE DISCONTINUIDAD 1. Discontinuidad evitable Una función presenta una discontinuidad evitable en = a Cuando f() pero no eiste f( o si eiste es distinto del ite. Se llama así porque definiendo de nuevo la función en dicho punto, dándole el valor del ite, la función sería continua. Ejemplos.- a 9

10 Límites y Continuidad ºBCCSS. Discontinuidad inevitable de salto finito Esta discontinuidad se da cuando eisten los ites laterales pero son distintos. En este caso se dice discontinuidad inevitable de salto f() f() a a 1 si 1 Ejemplo.- Estudiemos la continuidad de la función: f() - si 1 Se trata de una función definida a trozos mediante funciones continuas. Por tanto, es continua en su dominio ( ), salvo en = 1, punto en el que debemos estudiar su continuidad. 1. f(1).. Por estar definida de forma diferente a izquierda y derecha de 1, estudiamos los ites laterales: f() ( 1) 1 Por tanto la función presenta una discontinuidad inevitable f() ( ) de salto 1 en = 1.. Discontinuidad inevitable de salto infinito. Esta discontinuidad se presenta cuando uno o los dos ites laterales son infinito. Ejemplo

11 Límites y Continuidad ºBCCSS EJERCICIOS DE REFUERZO 1. La siguiente gráfica corresponde a la función f(). Halla el valor de los siguientes ites: c) d) e) f() 1 f() 0 f() 1 f() + f() - 9 y Solución: 0,, c) 4, d), e). La siguiente gráfica corresponde a la función g(). Halla el valor de los siguientes ites: y c) d) e) f) g) g() - g() + g() 0 g() - 1 g() 1 + g() g() Solución: -1, 1, c) 0, d), e), f), g). Calcula los siguientes ites de la siguiente función definida a trozos: c) g() g() g() d) e) f) g() + g() - g() + 11

12 Límites y Continuidad ºBCCSS 9 y Solución:,, c), d), e), f) 4. Calcula los siguientes ites: c) d) 1 e) 5 f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u)

13 Límites y Continuidad ºBCCSS v) 0 6 Solución: 1/, 1/, c) 1, d),e), f), g), h), i) 1/, j) 4/5, k), l), m), n), o) -1/, p) -, q), r), s) -/5, t) /, u) 1/5, v) /6 5. Calcula los siguientes ites: ( 1) c) d) e) f) g) h) i) : j) k) - Solución:, 0, c), d), e), f), g) 0, h) -1/10, i), j), k) / 6. Calcula los siguientes ites: c) d) e) f) 1 4 ( 1) g) h) i) j) k) 1 4 l) 9 Solución: 8, /8, c)1/, d), e)1, f)7/, g)1, h) ½, i) -1/, j) -1 k), l) 1/ 7. Los beneficios, en millones de euros, generados por el funcionamiento de una industria vienen dados en función del tiempo, en años, por: 1

14 Límites y Continuidad ºBCCSS t b ( t) 1 t Qué ocurre cuando pasan muchos años? Solución: No habrá beneficios 8. El número de individuos, en millones de una población, viene dado por la función: 18 t f ( t) ( t ) Donde t es el tiempo medio en años desde t = 0. Calcula la población inicial y el tamaño de la población a largo plazo, cuando el tiempo tiende a. Solución: La población inicial es de millones y a largo plazo habrá 1 millón 9. El número de fleiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función: 6 8 f ( ) Siendo días de entrenamiento y f() número de fleiones. Hacia qué valor se aproima el número de fleiones cuando crece el número de días de entrenamiento? Solución: Cuando crecen el número de días de entrenamiento, el número de fleiones se aproima a Una empresa de transporte estima que sus ganancias, en miles de euros, durante los próimos años seguirán la fórmula: t g( t) 5t 5 Donde la variable t = 1,,, 4, 5,. Representa el tiempo en años medido a partir del presente. Se estabilizan las ganancias cuando t crece? Hacia qué valor? Solución: Se estabilizan a un millón de euros 11. Para las siguientes funciones calcula los ites que se piden: 1 si 1 f() si 4 1 si 4 f ( ) f ( ) f ( ) 4 14

15 Límites y Continuidad ºBCCSS si 4 1 f() + si -1 f ( ) 1 f ( ) 0 f ( ) c) f() - si - 0 si si 5 f ( ) 5 f ( ) f ( ) 1 f ( ) 0 Solución: f() 1; f() 1; f(), 4 f() 4; f() c) 1 0 f() ; f() ; f() -; f() Dada la función: 4 si h( ) 4 4 si 1 9 si Calcula los ites: c) h() - 5 h() h() 5 d) e) f) h() - h() h() + Solución: h() 1; h() 16; c) h() 7; 5 5 d) h() ; e) h() 5; f) h() ; 1. Estudia la continuidad en = -1 y = de la función: 15

16 Límites y Continuidad ºBCCSS si 1 f ( ) 4 1 si 1 11 si Clasifica los tipos de discontinuidades. Solución: Continuidad en = -1. Presenta una discontinuidad inevitable de salto 1. Continuidad en =. Presenta una discontinuidad inevitable de salto. 14. Estudia la continuidad de la función en los puntos = 0 y =. 4 si 0-4 g( ) 1 si 0 1 si - Solución: Continuidad en = 0. Presenta una discontinuidad evitable. Continuidad en =. Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. 15. Dada la función: 1 si 1 F( ) - a si 1 Para qué valores de a la función F() es continua en =1? Solución: a = Dada la función: f ( ) a ( 1) b si ( - ) si Halla a y b para que la función sea continua en =. Solución: a = - y b =. 17. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 16

17 Límites y Continuidad ºBCCSS 1 si 1 f() si 1 4 si 4 + si < g() 6 si = -+ si c) h() -+1 si -1 1 si >1 1 si 1 d) si i() 4 si - e) si -4< si 0 j() - si - 0 f) k() 1 i) n() g) l() 4 j) ñ() 4 k) o() cos 5 1 h) m() Solución: Hay que estudiar la continuidad en = 0, = 1, = 4. 17

18 Límites y Continuidad ºBCCSS No es continua en = 0, ni en = 1, ni en = 4. Es continua en todo su dominio. c) No es continua ni en = -1 ni en = 1. d) Es continua en su dominio, e) En el único punto que presenta discontinuidad es = -. f) Continua en g) Continua en - { ± 7} h) Continua en - {,1} i) Continua en por ser polinómica j) Continua en por ser una función eponencial. k) Continua en. 18. Calcula a, b, c y d para que sea continua la función: Solución: a = 5, b = 4, c = 9 y d =. 19. Se considera la función: 1 si a si f ( ) b si 5 c si 5 7 d si 7 si 1 f ( ) a si -1 1 si 1 Halla los valores de a para los que f() es continua. Solución: a = 4. 18

19 Límites y Continuidad ºBCCSS 0. Los beneficios, en miles de euros, por la venta de un artículo en función de los gastos que se realizan en publicidad, en miles de euros, vienen dados por la función: 5 15 si 0 B() si 8 Donde representa la cantidad, en miles de euros, que se gasta en publicidad, y B() los beneficios, en miles de euros, que la empresa productora recibe por la venta del artículo. Es continua esta función? Qué ocurre si el gasto de publicidad es superior a 8.000? Solución: La función es continua en (0,8). Como la función no está definida para valores reales mayores que 8, no se pueden determinar los beneficios a partir de 8000 euros Estudia la continuidad de la función f ( ), clasificando las 5 6 discontinuidades que se encuentren. Es posible definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Solución:En = presenta un punto de discontinuidad evitable y en = presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito. Por tanto la función es continua en - {,}. Al ser la primera discontinuidad evitable, la función puede definirse de la siguiente forma para evitar la 5 si discontinuidad en = : f() si 19

20 Límites y Continuidad ºBCCSS Ejercicios.- 1 si 1 1. Determina si esta función es continua: f() si -1. Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua en todo 1 si f() a si -. [Castilla la Mancha- Junio 014] Se considera la función: a si f() 6 8 si Halla el valor de a para que la función sea continua en =. Para a = 1, representa gráficamente la función. 4. [Castilla la Mancha- Junio 014] Se considera la función: si 1 f() t si -1 1 si 1 Halla el valor de t para que la función f() sea continua en = 1. Para t = 0, representa gráficamente la función [Rioja- Junio 014] Calcula el siguiente ite 6. [Castilla León- Junio 01]El rendimiento físico de cierto deportista de élite durante un tiempo de 60 minutos, viene dado a través de la función: t t 0 si 0 t 15 f(t) 75 si 15 t 0 5t si 0 t 60 6 Representa gráficamente dicha función. A la vista de la gráfica obtenida, identifica en qué momentos del tiempo el deportista alcanza su máimo rendimiento físico, mantiene su rendimiento y disminuye su rendimiento físico. 1 a si 7. [Castilla La Mancha- Junio 01] Se considera la función f() 5 si Halla el valor de a para que la función sea continua en =. Para a =, representa gráficamente la función. 8. [Castilla La Mancha- Junio 01] Se considera la función 0

21 Límites y Continuidad ºBCCSS a si f() 4 1 si Halla el valor de a para que la función sea continua en =. Para a = 0, representa gráficamente la función. 9. [Madrid- Junio 01] Se considera la función real de variable real definida por: f() ln( 1) si 1 a - si 1 Calcula el valor de a para que la función f sea continua en todo. Representa gráficamente la función para a =. Nota: ln denota el logaritmo neperiano del número. 10. [Rioja- Junio 01]Calcula el ite: [Castilla la Mancha- Junio 01] Se considera la función: a si f(), se pide: 1 si Halla el valor de a para que la función f sea continua en =. Para a = 0, representa gráficamente la función. 1. [Castilla la Mancha- Junio 01] Se considera la función: 1 - t si 0 f(), se pide: si 0 Halla el valor de t para que la función f sea continua en = 0. Para t =, representa gráficamente la función. 1. [Etremadura- Junio 01] En una granja dedicada a la cría de pollos, el peso de los mismos en función de la edad viene representado por la siguiente función: b si 0 1 P(), donde representa la edad en días y P el peso c si 1 en gramos. Se sabe que la función es continua y a los 14 días un pollo pesa 198 gramos. Determina las constantes b y c. Justifica tus respuestas. Representa gráficamente el peso en función de. 1

22 Límites y Continuidad ºBCCSS 14. [Etremadura- Junio 01] Una pieza es sometida a un proceso de modificación durante 4 horas. La temperatura, T, en grados centígrados, que adquiere la pieza en función del tiempo, en horas, viene dado por la epresión T() A B, 0 4. Se sabe que al acabar el proceso ( = 4) la pieza está a 0 grados centígrados y que a las dos horas la temperatura es de 40 grados centígrados. Determina las constantes A y B. Justifica la respuesta. Representa gráficamente la temperatura en función del tiempo. 15. [Murcia- Junio 01] Dada la función 1 si 1 f() - 1 si -1 a 6a 5 si Estudia la continuidad en = -1. Hallar a para que la función sea continua en =. c) Para a = 1 hacer una representación gráfica de la función [Rioja- Junio 01] Calcula. 17. [Castilla la Mancha-011] Se considera la función: f() 0 si si 6 8 si Límites laterales de la función f en el punto = -. Representación gráfica de la función f. 18. [Castilla la Mancha-011]Se considera la función: 4 si f() - si - 0. Se pide: 4 si 0 Límites laterales de f en el punto = 0. Es continua la función en = 0? Representación gráfica de la función f. 19. [Castilla la Mancha-011] La distancia de un móvil y su puesto de control viene dada 100t 100 por la función D(t), donde la distancia D(t) se mide en kilómetros y la t 5 variable t representa los segundos transcurridos desde la puesta en marcha. A cuántos kilómetros se encuentra el móvil en el momento de ponerlo en marcha?

23 Límites y Continuidad ºBCCSS A qué valor tiende la distancia cuando el tiempo tiende a infinito? 0. [Etremadura- 010] El porcentaje de alumnos que asisten a un curso de inglés, durante los 10 meses de duración del mismo, viene dado a través de la función: At Bt C si 0 t P(t). 8 si t 10 Sabiendo que inicialmente el 100 % de los alumnos asisten al curso, que transcurrido un mes desde su inicio hay un 60 % de asistencia y que al cumplirse el tercer mes la asistencia se reduce a un 8 %: Determina las constantes A, B y C. Justifica tu respuesta. Representa gráficamente la evolución del porcentaje de asistencia a dicho curso durante los 10 meses de su duración [Rioja- 008] Calcula el ite. [Rioja- 008] La profundidad de la capa de arena de una playa se verá afectada por la construcción de un dique. En una zona de la playa, esa profundidad vendrá dada por la siguiente función: t 0 t 1 P(t) 8t t 1 donde P es la profundidad en metros y t el tiempo en t 1 t años desde el inicio de la construcción. Si la profundidad llegara a superar los 4 metros, se debería elevar la altura del paseo marítimo. Es la profundidad una función continua del tiempo? Disminuirá alguna vez la profundidad? Por mucho tiempo que pase, será necesario elevar la altura del paseo por causa de la profundidad de la capa de arena?. [Cataluña- 007] Se considera la siguiente función definida a trozos: 4 a si b si 1 f() 5 si 1 Calcula los valores de a y de b para que la función f() sea continua en todo Con los valores obtenidos, realiza la gráfica de la función. 4. [Murcia- 007 y 004] Cierto artículo se vende a un precio u otro según la cantidad comprada, de acuerdo con los siguientes datos: A 10 euros el kg si 0 5

24 Límites y Continuidad ºBCCSS A 9 euros el kg si 5 10 A 7 euros el kg si 10 0 A 5 euros el kg si 0 Donde es el peso en kg de la cantidad comprada. Escribe la función que representa el precio del artículo. Represéntala gráficamente. c) Estudia su continuidad. 5. [Murcia- 007 y 004] Dada la función si f() si si Represéntala gráficamente. Estudia su continuidad y en caso de que eista algún tipo de discontinuidad, decir de qué tipo de discontinuidad se trata. 6. [Rioja- 007] Calcula los valores de a y b para que la función: a si f() si 0 1 b si 1 dominio. sea continua en todos los puntos de su 7. [Rioja- 006] Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua: 8 si f() k si 1 e si 1 8. [Cataluña- 004] Sea f(). Para qué valores del parámetro a si 1 a la función es continua? 9. [Murcia- 004] Calcula a, b, c y d para que la siguiente función sea continua. Represéntala gráficamente: 1 si a si f() b si 5 c si 5 7 d si 7 0. [Aragón- 014] Calcula 4 6 4

25 Límites y Continuidad ºBCCSS 1 si 0 1. [Asturias- 014] Sea la función: f() si 0 1. Determina los a b 1 si 1 valores de a y b para que la función sea continua en su dominio. a 6 si 1. [Cantabria- 014] Dada la función: f() b 1 si - 1, determina 5 si 1 los valores de los parámetros a y b para los cuales la función es continua en todo su dominio.. [Castilla la Mancha 014] t si 0 Se considera la función f(). Para qué valor de t la si 0 función f() es continua en = 0? - t si Se considera la función f(). Halla el valor de t 6 8 si para que f sea continua en =. 5

26 Límites y Continuidad ºBCCSS ANEXO. DEBES RECORDAR.. 6

27 Límites y Continuidad ºBCCSS 7

28 Límites y Continuidad ºBCCSS 8

29 Límites y Continuidad ºBCCSS 9

30 Límites y Continuidad ºBCCSS 0

31 Límites y Continuidad ºBCCSS 1