Aplicación de los límites y la continuidad en la interpretación de situaciones reales y fenómenos sociales y económicos

Transcripción

1 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Aplicación de los límites y la continuidad en la interpretación de situaciones reales y fenómenos sociales y económicos 06. Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión [F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años]: 1x si 0 x F(x) x 4 si x > x (a) Estudia la continuidad de la función F(x) (b1) Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina, entonces si ésta tiene más de años revelará menos de fotocopias por minuto. (b) Justifica que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de fotografías por minuto. (c) Haz un esbozo de la gráfica de la función. RESOLUCIÓN x "Número de años que tiene la máquina". F(x): Número de fotografías que realiza por minuto. RESOLUCIÓN apartado (a) Estudia la continuidad de la función F(x) Se trata de una función definida por trozos, por lo que para estudiar su continuidad estudiaremos esta función en cada uno de sus intervalos correspondientes: (A) Intervalo 0 x < 1x Es continua pues se trata de una función polinómica sencilla. (B) Intervalo x > x 4 x x 0 x Es continua, puesto que sólo sería discontinua para x, y este valor cae fuera del intervalo estudiado (C) x Diremos que la función real F(x) es continua en x cuando verifica F( x) F(), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes: (I) Existe F(x) x F(x) x F(x) x x x x x 4 ( 1x) x (II) Existe F() 1 (III) F() F(x) x F(x) x F(x) x Abel Martín & Marta Martín Sierra 1

2 ites de funciones. Continuidad. APLICACIONES a situaciones de la vida real El número de fotografías que una máquina realiza por minuto con relación al número de años que tiene es una función continua en todo su dominio. RESOLUCIÓN apartado (b1) Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina, entonces si ésta tiene más de años revelará menos de fotocopias por minuto. Si al aumentar el número de años de la máquina, disminuye el número de fotocopias por minuto diremos que la función es decreciente F() > F( ) Al ser la función estrictamente decreciente para valores x, entonces F() será el máximo valor que tendrá la función en ese intervalo: F() 1 F( ) 4 F() F( ) Hemos comprobado que si el número de fotografías que una máquina realiza por minuto con relación al número de años que tiene es una función decreciente, a partir de años revelará menos de fotografías por minuto. RESOLUCIÓN apartado (b) Justifica que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de fotografías por minuto. Al ser la función decreciente, para contestar a esta cuestión sólo habrá que calcular el límite de la función cuando el número de años tienda a : x 4 F(x) tiende a la indeterminación x x x x 4 x x x 4 x x x x x x 4 x x 1 x Por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de fotografías por minuto. RESOLUCIÓN apartado (c) Haz un esbozo de la gráfica de la función. Con los datos que nos da el problema, las características de la función calculadas en los apartados anteriores y una tabla de valores podemos representar cualitativamente la función número de fotografías por minuto según el número de años que tenga. 3 x

3 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 07. Se ha investigado el tiempo (T, en minutos) que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas (x, en días), obteniéndose que: 300 si 0 x 30 x 30 T(x) 1' 1 si x > 30 (x )(x 1) (a) Comprueba si la función T es continua en todo su dominio. (b) El tiempo que se estima tardará en realizar la prueba, es sensiblemente distinto si sus tiempos de entrenamiento son "ligeramente" inferiores o superiores a los 30 días? (c) Sabiendo que la función T(x) decrece con x, por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de un minuto? Y en menos de minutos y 1 milésima de segundo? (d) Haz un esbozo de la gráfica función T(x) RESOLUCIÓN x "Número de días de entrenamiento". T(x): Minutos que tarda en realizar cierta prueba de atletismo. RESOLUCIÓN apartado (a) Comprueba si la función T es continua en todo su dominio. Se trata de una función definida por trozos, por lo que para estudiar su continuidad la estudiaremos en sus intervalos correspondientes: (i) Intervalo 0 x < x 30 x 30 0 x 30 Se trata de una función de proporcionalidad inversa. Sería discontinua para x 30 pero este valor cae fuera del intervalo que estamos estudiando. En este intervalo es continua. (ii) Intervalo x > 30 1 (x )(x 1) x 0 x x 1 0 x 1 Se trata de una función de proporcionalidad inversa. Sería discontinua para x y para x 1 pero estos valores caen fuera del intervalo que estamos estudiando. En este intervalo es continua. (iii) x 30 Una función real f(x) es continua en x 30 cuando se verifican las 3 condiciones siguientes: (I) Existe T(x) 1 T(x) x 30 (x )(x 1) 1 (x )(x 1).003 T(x) T(x) T(x) 300 x 30 Abel Martín & Marta Martín Sierra 3

4 ites de funciones. Continuidad. APLICACIONES a situaciones de la vida real No existe el límite de T(x) en dicho punto, por lo que no hace falta mirar las otras condiciones (II y III). El tiempo que se tarda en realizar cierta prueba de atletismo, en función del tiempo de entrenamiento de los deportistas, presenta una discontinuidad a los 30 días, con un salto de.997 minutos. RESOLUCIÓN apartado (b) El tiempo que se estima tardará en realizar la prueba, es sensiblemente distinto si sus tiempos de entrenamiento son "ligeramente" inferiores o superiores a los 30 días? T(x) T(x).003 minutos Tiempos de entrenamiento ligeramente inferiores a los 30 días minutos Tiempos de entrenamiento ligeramente superiores a los 30 días minutos Los tiempos que se estima tardará en realizar la prueba son sensiblemente distintos, llegando casi a los 3 segundos. RESOLUCIÓN apartado (c) Sabiendo que la función T(x) decrece con x, por mucho que se entrene un deportista, será capaz de hacer la prueba en menos de un minuto? Y en menos de minutos y 1 milésima de segundo? Para determinar si algún deportista, por mucho que se entrene, será capaz de hacer la prueba en menos de un minuto, al ser la función estrictamente decreciente, bastará comprobar cuál es su límite cuando el tiempo de entrenamiento tienda a infinito: T(x) x 1 (x )(x 1 ) T(0) 300 x 30 Cuando un deportista no dedica ningún tiempo a entrenarse, el tiempo que se estima tardará en realizar cierta prueba de atletismo será de minutos; en el momento en el que empiece a entrenar, cuanto más tiempo dedique, menos tiempo tardará en realizar dicha prueba, llegando a realizarla, como mínimo, en minutos, pero nunca en un tiempo inferior a éste, por mucho que entrene. Es decir, nunca llegará a hacerla en menos de un minuto y sí llegará a hacerla en menos de minutos y una milésima de segundo. RESOLUCIÓN apartado (d) Haz un esbozo de la gráfica función T(x) Con los datos que nos da el problema, las características calculadas de la función en los apartados anteriores y una tabla de valores podemos representar cualitativamente la función del tiempo que tarda en realizar una prueba de atletismo según el tiempo de entrenamiento. 4

5 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 08. Según cierta teoría médica el peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo mediante la siguiente expresión (P(t) es el peligro para un tiempo de t minutos): t 0 t P(t) 0t 6. t > 0. t (a) Estudia la continuidad del peligro como función del tiempo. (b) Sabiendo que la función es estrictamente creciente con t, puede superar el virus una peligrosidad de 9, por mucho tiempo que lleve en el organismo? Y de 0? (c) Haz un sencillo esbozo de la gráfica de la función. RESOLUCIÓN t "Número de minutos que lleva el virus en el organismo". P(t): Peligro de un virus. RESOLUCIÓN apartado (a) Estudia la continuidad del peligro como función del tiempo. Se trata de una función definida por trozos, por lo que para estudiar su continuidad lo haremos sus intervalos correspondientes: (A) Intervalo 0 t < t Es continua ya que se trata de una función polinómica sencilla. (B) Intervalo t > 0t t 0.t 0 0.t t Es continua puesto que sólo sería discontinua para t, y este valor cae fuera del intervalo que estamos estudiando. (C) t Diremos que la función real P(t) es continua en t cuando verifica P(t) P(), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes: (I) Existe P(t) t P(t) t (II) Existe P() (III) P() P(t) 0t 6. x t 0. t t P(t) t P(t) P(t) El peligro como función del tiempo que lleva el virus en el organismo es continua en todo su dominio. RESOLUCIÓN apartado (b) Sabiendo que la función es estrictamente creciente con t, puede superar el virus una peligrosidad de 9, por mucho tiempo que lleve en el organismo? Y de 0? t t t t t Abel Martín & Marta Martín Sierra

6 ites de funciones. Continuidad. APLICACIONES a situaciones de la vida real Al ser estrictamente creciente, para determinar si por mucho tiempo que lleve en el organismo puede superar el virus una peligrosidad de 9, bastará comprobar cuál es su valor máximo, averiguando cuál es su límite cuando el tiempo que lleve en el organismo tienda a infinito: P(t) t t 0t t Así pues, por mucho tiempo que lleve el virus en el organismo nunca podrá superar una peligrosidad de 0 pero sí de 9. RESOLUCIÓN apartado (c) Haz un sencillo esbozo de la gráfica de la función. Con la información que hemos obtenido, los datos del problema y elaborando una tabla de valores podemos dibujar cualitativamente la función. 6