Tema 6: Inducción. Fátima Masot Conde. Ing. Industrial 2010/11. Fátima Masot Conde Dpto. Física Aplicada III Universidad de Sevilla

Transcripción

1 1/41 Tema 6: Inducción Fátima Masot Conde Ing. Industrial 2010/11

2 Tema 6: Inducción 2/41 Índice 1. Introducción 2. Ley de Faraday 3. Ley de Lenz 4. Fuerza electromotriz de movimiento 5. Campo eléctrico inducido 6. Inductancia 7. Energía magnética

3 1. Introducción 3/41 En 1831, M. Faraday (Inglaterra) y J. Henry (EE.UU.) descubren que cuando se mueve un imán cerca de un aro metálico, aparece una corriente eléctrica en el aro.

4 4/41 Introducción Aquí hemos sustituído la espira única por un arrollamiento de espiras (bobina). El efecto es el mismo: También se induce en ellas una corriente por efecto del movimiento del imán. E igualmente, si mantuviéramos quieto el imán y lo que desplazáramos fueran las espiras.

5 5/41 Introducción También ocurre lo mismo si en lugar de un imán, lo que movemos es una corriente en las proximidades del aro. Éste circuito transporta una corriente porque está conectado a la batería (Devanado primario) batería (Esto es sólo un medidor) (Devanado secundario) Éste, en cambio, no está conectado! Y sin embargo, también aparece una corriente en él, sólo por mover el otro.

6 6/41 Introducción O si, sin desplazarlo, abriéramos y cerráramos el interruptor. (Oersted)

7 7/41 Introducción En todos los casos aparece una corriente inducida, generada por lo que se llama una fem inducida. La clave común de todos estos experimentos es el flujo magnético que atraviesa el aro, que, por una razón u otra, varía en el tiempo. Un campo magnético que varía con el tiempo puede generar (inducir) una corriente eléctrica en el aro

8 8/41 Introducción que se puede cuantificar en términos del flujo magnético que lo atraviesa. Recordamos qué es el flujo magnético: φ m = B S ds Si el flujo magnético varía a través de S en el tiempo

9 9/41 2. Ley de Faraday entonces aparece una fem inducida: Fem inducida ε = d φ dt La fem inducida en en un aro (espira o circuito) es es igual a (menos) la la variación con respecto al al tiempo del flujo magnético que lo lo atraviesa. m Ley de de Faraday de de la la inducción El signo lo discutiremos más tarde

10 10/41 1. Ley Introducción de Faraday Para un bobinado de N espiras: Fem inducida ε dφm = N dt El flujo se multiplica por el número de espiras, y con él, la fem. Símbolo de circuito: N espiras Nombre: bobina

11 11/41 Ley de Faraday De esta expresión ε = d φ dt m con φ m = B ds Ley Ley de de Faraday vemos que se se puede inducir una fem en en un circuito de de varias formas: Porque cambie el el módulo de de B Porque cambie el el área del del circuito, S O su su orientación respecto a B Porque cambie la la dirección de de B O alguna combinación de de las las anteriores S

12 3. Ley de Lenz 12/41 Vamos con ese signo Fem inducida ε = d φ dt m Ley de de Faraday En realidad, la ley de Lenz está contenida en la de Faraday: es sólo la interpretación de su signo. Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida en la espira es tal que se opone al cambio del flujo magnético en ella. La fem y corriente inducidas se oponen al cambio que las produce. (Es decir, intentan mantener el status quo ).

13 13/41 Ley de Lenz

14 14/41 Ley de Lenz

15 15/41 Ley de Lenz

16 4. Fuerza electromotriz del movimiento 16/41 Se llama así a la fem inducida por el movimiento de un conductor en un campo magnético Por ejemplo: Si nuestra barra se desplaza dentro de B, aparece una ddp. entre sus extremos: Las cargas estarán en equilibrio cuando: Fe F B = 0 qe = qvb Aparece un campo eléctrico en la barra que produce una ddp: Δ V = E L = BvL Esta ddp se mantiene mientras dure el mov. Si se invierte el sentido de mov., se invierte también la polaridad de ΔV.

17 17/41 Fuerza electromotriz de movimiento Si nuestra barra formara parte de un circuito Aquí la fem aparece debido a que el área S varía, (circuito deformable): El flujo magnético que atraviesa el circuito es área del circuito φ = m BLx x (Campo y superficie perpendiculares)

18 18/41 Fuerza electromotriz de movimiento Así que la fem inducida será: dφ d dx ( BLx) BL BLv dt dt dt ε m = = = = Si la resistencia del circuito es R, la intensidad inducida será: BLv R I ε = = R Y la potencia desarrollada por la fem inducida: BLv BLv 2 P = Faplv = ( ILB) v = = R = I R R R

19 19/41 5. Campo eléctrico inducido Consideremos el siguiente ejemplo: un solenoide y una espira conductora circular I B Si la I en el solenoide varía, aparece una I inducida en la espira. Pero cuál es la fuerza que hace circular las cargas en la espira? No puede ser una fuerza magnética: El campo magnético que genera el solenoide está confinado en su interior. En la región externa donde está la espira ni siquiera hay campo magnético.

20 20/41 Campo eléctrico inducido Nos vemos obligados a admitir que en la espira se crea un campo eléctrico inducido, como resultado de la variación del flujo magnético. El trabajo que realiza ese campo sobre cada carga es precisamente la fem ε ind. Fem inducida ε = E d = = W C C Campo eléctrico inducido Con ello, la L. de Faraday se puede escribir, para un trayecto de integración C constante: ( p. u. q. ) dφm ε = E d = C dt Trabajo que realiza el campo E ind. por unidad de carga Ley de de Faraday en en fon. de de E

21 21/41 Campo eléctrico inducido Como vemos, este campo eléctrico inducido NO ES CONSERVATIVO: ε = E d = W C C ( p. u. q. = ) 0 Campo eléctrico inducido. A diferencia del producido por carga estática, éste no es conservativo (su integral a lo largo de un camino cerrado no es cero). El trabajo que realiza este campo E ind. es = 0 Campo eléctrico debido a cargas estáticas (tema 1) Campo eléctrico inducido por cambios de flujo magnético CONSERVATIVO NO CONSERVATIVO

22 22/41 Campo eléctrico inducido Calculémoslo, por ejemplo, para el caso de la espira que rodea al solenoide: Sea una región circular acotada, donde B=0. (Afuera, B=0) En ella, además, el campo magnético varía, a razón de K T/s,. db Calcular E para un contorno circular de dt radio r<r, y para otro de radio r>r La simetría del problema hace que el campo eléctrico sea constante (en módulo) sobre cualquier contorno circular, y además, tangente (no puede ser radial porque eso implicaría una carga interior al contorno, y no la hay). = K

23 23/41 Campo eléctrico inducido Cuánto vale E, para una espira de radio r < R, y para otra de radio r > R? Y si no tuviéramos espira conductora sobre el contorno? Habría campo eléctrico inducido, o fem sobre él?

24 24/41 6. Inductancia La inductancia es un parámetro que mide la capacidad de influencia de un circuito sobre otros, o sobre sí mismo. I Cómo se produce esa influencia?

25 25/41 Inductancia La intensidad que recorre el circuito 1, I 1, provoca un flujo magnético tanto a través de sí mismo como a través del conductor 2, situado en sus cercanías. 1 B Como el campo magnético es proporcional a la intensidad, el flujo magnético también lo es: I 1 2 Coeficiente de Flujo a través Autoinducción del cond. 1 del cond. 1 φm 1 = L1 I1 Flujo a través del cond. 2 φ = M m2 1 Coef. de Inducción mútua I

26 26/41 Inductancia Igualmente, si repetimos el experimento haciendo circular la intensidad ahora por el circuito 2, I 2, provocaría un flujo magnético tanto a través de sí mismo como a través del conductor 1: 1 I 2 B 2 Flujo a través del cond. 2 m2 2 2 Flujo a través del cond. 1 φ φ = = Coeficiente de Autoinducción del cond. 2 L I M I m1 2 Coef. de Inducción mútua

27 27/41 Inductancia Igual que la capacidad, los coeficientes de inducción sólo dependen de la geometría del circuito (y del medio interconductor). Por eso, para nuestro sistema de dos conductores, en contra de lo que podría pensarse, sólo hay tres coefs. de inducción distintos: L1, para el circ. 1, que da cuenta de la geometría del circ. 1, L2, que da cuenta de la geom. del circ. 2, y M, que da cuenta de la geom. compartida del sistema. Para un sistema general de N conductores, escribiríamos esta relación en forma matricial: O de forma más φ1 L1 M12 M1N I1 compacta: φ 2 M 21 L 2 I 2 [ = φ ] = [ L] [ I] φn M N1 LN I Donde [L] es la matriz de N inductancia, que es simétrica

28 28/41 Inductancia Unidades de L y M: [ ] [ ] [ φ] [ ] Webers Wb L = M = = = = ' Henrio' = H I Amperio A Si las intensidades I 1 inducidas: y/o I 2 cambian, producen fem s En el circ. 1: En el circ. 2: dφ ε = = L dt ε m dφ = = M dt di dt di m2 1 dt dφ ε1 = = M dt ε di m1 2 dφ = = L dt dt di m dt Debido al cambio de I 1 Debido al cambio de I 2

29 29/41 Inductancia Ejemplo: Autoinducción de un solenoide Si es ideal (infinitamente largo), el campo sólo existe dentro, y es aproximadamente uniforme, B = μ ni 0 El flujo magnético a través de una sola espira: El flujo magnético a través de todas las espiras: A B 1 espira N φm = B A= μ0ni A= μ0 I A 2 N espiras 1 espira N 2 φm = N φm = μ0 I A = μ0 n I A = μ ni 0 φ N espiras L = m 2 = μ0n A I ( ) ( ) Autoinductancia del solenoide

30 7. Energía magnética 30/41 Presentamos el estudio energético en un caso concreto: un solenoide. Cuánto vale la energía en un solenoide/bobina? En qué la emplea? Empezamos por la primera pregunta: Cuánto vale la energía en un solenoide? B = μ ni 0 Hablamos de energía en general, luego veremos de qué naturaleza es esta energía.

31 31/41 Energía magnética Pues bien, calculémosla: Cuánto vale la energía en un solenoide? B = μ ni 0 Este cálculo lo hacemos a partir de la potencia: Ya sabemos (del tema 4) que la potencia empleada por cualquier elemento de circuito es: P = V I ab Lo recordamos:

32 32/41 Energía y potencia en circuitos eléctricos (tema 4) fig Sears Recordamos : Para un elemento genérico: La cantidad de carga que atraviesa el elemento en un dt: dq = I dt El cambio de Energía, du: ( ) ( ) du = V V dq = V V I dt a b a b du P = = VabI = dt P = de p,ab dt La transferencia de energía por unidad de tiempo (potencia): = [Julios] [Coulombios] Unidades: = [Coulombios] [segundo] Watios = V ab I = [Voltios][Amperio] = W = [Julios] [segundo]

33 33/41 Energía magnética Lo único que tenemos que hacer, para calcular P (potencia) en un solenoide, es identificar cuál es la V ab que cae en sus extremos. a Suponiendo ese sentido de recorrido para la intensidad, ésta puede di aumentar o disminuir 0 di dt > 0 dt < I b V ab = di =+L dt di = L dt V ab cae, de a b, para di dt > di dt < 0 Y aumenta, de a b, para 0

34 34/41 Energía magnética Es decir, nuestro solenoide/bobina/inductor presenta una polaridad variable, dependiendo del signo de la di/dt (o sea, del aumento o disminución de I). En los dos casos, siempre se opone al cambio (ley de Lenz), con el mismo valor: a a + di di ε = L 0 dt dt >, I b fem inducida b a ε = + di L dt, di dt < 0 b

35 35/41 Energía magnética di Independientemente de su polaridad, (signo), Vab= ε =±L. Para dt el sentido de circulación mostrado, supongamos una variación de la I di positiva (I aumenta, 0 Con esa elección, la potencia sería: dt > ). I a b = = P Vab I LI dt di De la potencia, obtenemos la energía du di P = = LI du = LIdI dt dt 1 2 U = du LIdI LI 2 = = Positiva (al final del capítulo hablaremos del signo) Energía de un inductor

36 36/41 Energía almacenada por el el campo magnético Otra forma de expresar lo lo mismo: En función del campo magnético: 1 2 (Para un u = solenoide ε 0E recto): 2 Y por unidad de volumen (p.u.v.) La densidad de energía, u: Volumen del solenoide ( ) n A I 1 B U = LI = μ0n ( A) I = μ = A μ 2 μ Aunque la hayamos sacado del solenoide, esta expresión tiene validez general para inductor de geometría. La energía la almacena el campo. Por tanto, allá donde haya campo, hay energía almacenada, (en particular, en el interior del solenoide). u = B μ ( )

37 37/41 Energía almacenada por el el campo magnético Y llegamos a la la segunda pregunta: En qué emplea la la energía el el solenoide (o (o en en general, cualquier inductor)? La almacena (energía magnética). Igual que el condensador almacenaba energía (eléctrica). La energía almacenada siempre es positiva, (todo es positivo en la expresión de U), así que sus valores oscilan entre cero (mínimo) y 1/2LI 2 (máximo), cuando circula una intensidad de corriente estable I. Sin embargo, el valor de la potencia desarrollada depende del signo de du, y éste, del del producto IdI. Es decir, aunque la energía almacenada en el inductor sea siempre positiva, su cambio ( du ) puede ser tanto positivo como negativo, indicando el signo un flujo de energía hacia el exterior, o hacia el interior del inductor. Si la intensidad aumenta, IdI >0, y la energía fluye hacia el interior del inductor y se almacena. Si la intensidad disminuye, IdI<0, la energía fluye desde el inductor hacia el exterior, (se libera). Cuando IdI=0, no entra ni sale energía del inductor, su energía se mantiene constante al valor que tenía.

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41 41/41 Bibliografía Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté (vol. II) Serway & Jewett, Física, Ed. Thomson (vol. II) Halliday, Resnick & Walter, Física, Ed. Addison- Wesley. Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education (vol. II) Fotografías y Figuras, cortesía de Tipler & Mosca Física para la ciencia y tecnología Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & Freedman, Física Universitaria, Ed. Pearson Education