Departamento de Física Aplicada III

Transcripción

1 Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n Sevilla Práctica 10. Coeficientes de inducción mutua y autoinducción Objeto de la práctica En esta práctica se tratará de medir el coeficiente de autoinducción de una bobina, así como el coeficiente de inducción mutua de dos bobinas, en distintas situaciones. Figura 10.1: Dispositivo experimental Fundamento teórico Conceptos de inducción mutua y autoinducción Es un hecho experimental que un campo magnético variable produce un campo eléctrico. Esto se expresa matemáticamente mediante la ley de Faraday, la cual establece que la fuerza electromotriz inducida es igual a la menos variación del flujo magnético E = dφ m

2 10-2 donde E = E d r, Φ m = B d S Esto puede comprobarse experimentalmente colocando una espira o bobina en un campo magnético variable (por ejemplo, el de un imán en movimiento) y midiendo el voltaje entre los extremos de la espira o la corriente que circula por la misma si esta está cerrada. Esta corriente inducida es tal que el campo magnético que genera se opone a la variación del otro (ley de Lenz). Ahora bien, el campo magnético es producido por corrientes. Si variamos la corriente creadora del campo, éste y, por tanto, el flujo, variarán en la misma proporción. Tenemos entonces que el flujo creado en la espira 2 por la espira 1 obedece a la ley Φ m = L 12 I 1 Al coeficiente L 12 se le denomina coeficiente de inducción mutua entre ambas espiras. A la hora de calcular el flujo magnético total sobre la espira 2 debemos incluir no sólo el correspondiente a la espira 1 sino también el flujo del campo que la espira 2 crea sobre si misma, esto es Igualmente tenemos que Φ 2 = L 12 I 1 + L 22 I 2 Φ 1 = L 11 I 1 + L 21 I 2 A los coeficientes L 11 y L 22 se les conoce como coeficientes de autoinducción y se suelen representar como L 1 y L 2 respectivamente. Por su parte, de las expresiones teóricas puede deducirse que L 12 = L 21 y por ello se habla de un solo coeficiente de inducción mutua, M. Esto deja las ecuaciones como y las fuerzas electromotrices vendrán dadas por Φ 1 = L 1 I 1 + MI 2 Φ 2 = MI 1 + L 2 I 2 di 1 E 1 = L 1 M di 2 E 2 = M di 1 L 2 Cuando se tienen sólo dos bobinas, el coeficiente de inducción mutua puede escribirse como M = k L 1 L 2 siendo k el llamado coeficiente de acoplamiento. A partir de razonamientos energéticos puede demostrarse que k está comprendido entre 1 y Caso de una sola espira Cuando tenemos una sola espira o bobina la fuerza electromotriz se reduce a la que ella crea sobre sí misma, esto es, E = L di A un elemento de circuito que verifica esta relación se le suele llamar simplemente autoinducción. di 2

3 10.2 Fundamento teórico 10-3 Respuesta a una señal escalón Para ver los efectos de este término consideremos el circuito de la figura Está formado por un generador de corriente continua (caracterizado por una fuerza electromotriz E y una resistencia interna R g ), una resistencia, un interruptor y una bobina, de resistencia R L y autoinducción L. R g E L R Figura 10.2: Ejemplo de circuito RL Supongamos que en t = 0 se cierra el circuito. De acuerdo con la ley de Ohm generalizada tendremos que la intensidad por la suma de las resistencias es igual a la suma de las fuerzas electromotrices. I i R i = i E i o, lo que es lo mismo I(R g + R L + R) = E L di En la práctica, la resistencia óhmica colocada en el circuito es mucho mayor que la propia de la bobina, pero no que la interna del generador, que debe ser incluida en los cálculos. Es decir R T = R g + R La ecuación diferencial tiene por solución la forma I = E ) (1 e t τ R T I(t) donde τ = L/R T, cantidad τ con dimensiones de tiempo, es el tiempo de relajación, la escala temporal de evolución del sistema. Esto quiere decir que la intensidad parte de cero y tiende exponencialmente a su valor estacionario, E/R T en unas cuantas veces τ (Véase la figura). Si se conoce la resistencia puede obtenerse L de la medida de este tiempo. Este coeficiente de autoinducción depende de diversos factores geométricos y físicos. Así, depende del número de espiras de la bobina y de la longitud de ésta. Es muy importante también, el material que ocupa el espacio interior de la bobina. Si este volumen está ocupado por un material de alta permeabilidad magnética, como el hierro, el campo magnético es a la vez reforzado y canalizado por el material, factores ambos que repercuten en un aumento del coeficiente de autoinducción. t

4 Caso de dos espiras Cuando se tienen dos espiras (o bobinas) es necesario considerar cómo influye la una en la otra. Esto viene dado por el coeficiente de inducción mutua, M. Este coeficiente depende de varios factores. En primer lugar depende de la configuración geométrica. Así, si las dos bobinas se alejan la influencia mutua se reduce y M disminuye. Si una de las bobinas se coloca de forma que el campo creado por la otra no la atraviesa de forma neta, M se anula. También depende del medio material que las rellene. Si ambas bobinas envuelven al mismo núcleo de hierro, el campo magnético que atraviesa una de las bobinas coincide prácticamente con el que produce la otra. Esta configuración es la esencia de los transformadores. M R g E L 1 L 2 R Figura 10.3: Circuito con presencia de inducción mutua. Supongamos dos bobinas puestas en serie, de forma que la misma corriente atraviesa las dos. La fuerza electromotriz total será ( di E = E 1 + E 2 = L 1 + M di ) ( M di ) + L di 2 = (L 1 + L 2 + 2M) di Así pues, la asociación se comportará como una sola bobina con autoinducción L eq = L 1 + L 2 + 2M Se define un parámetro k, denominado coeficiente de acoplamiento definido como k = M L1 L 2. Este parámetro mide la cantidad de flujo creado por cada bobina que atraviesa la otra. Su valor cumple 1 <= k <= 1. Si k = 1 el flujo creado por cada bobina atraviesa completamente a la otra. Si k = 0 no hay flujo mutuo. En función de este parámetro la autoinducción equivalente se escribe L eq = L 1 + L 2 + 2k L 1 L 2 Para el caso de que las dos bobinas sean iguales, esta expresión se reduce a L eq = 2L(1 + k)

5 10.3 Descripción del instrumental Descripción del instrumental Para la realización de la práctica se dispone del siguiente instrumental. Un generador de función, que se emplea para producir señales de frecuencia variable. Un osciloscopio, empleado como voltímetro para medir diferentes tensiones. Dos bobinas, a las cuales se determinará su autoinducción y su inducción mutua. Un núcleo de hierro rectangular y uno en U. Resistencias auxiliares, una base y varios cables de conexión Realización de la práctica Medida de la autoinducción con corriente continua Una bobina sin núcleo 1. Monta el circuito de la figura Conecta la entrada del canal 1 del osciloscopio en los bornes de la resistencia de 1 kω. Recuerda que la tierra del osciloscopio debe coincidir con la tierra de la fuente. 3. Selecciona una señal cuadrada de 4 khz y elije una base de tiempos en el osciloscopio tal que se aprecie claramente el comportamiento exponencial del voltaje en la resistencia. 4. Mide la diferencia, en valor absoluto, entre el voltaje para varios instantes y el voltaje máximo. Este voltaje obedece la ecuación V 0 V (t) = V 0 e λt = V 0 e t τ = V0 e R T t L siendo τ = L/R T la escala de tiempo necesaria para llegar al estacionario. 5. A partir de los datos anteriores traza la recta de ln V 0 V frente a t. La pendiente de esta recta debe ser R T /L (véase el apéndice de teoría de errores). 6. A partir de la pendiente anterior determina la autoinducción de la bobina. 7. Gráfica Recta de regresión ln V 0 V = a + bt. Nota La forma de obtener los valores para la recta deberá ser explicada por el monitor. Esencialmente consta de los pasos siguientes: a) Se coloca una escala de tiempos adecuada para que aparezca una curva exponencial en la pantalla. b) Se mueve verticalmente para que el valor asintótico máximo coincida con el borde superior de la pantalla. c) Se cambia la escala de tiempo para dilatar la exponencial, sin moverla ni cambiar la escala vertical. d) Con la ayuda de los cursores se mide la diferencia entre el voltaje para distintos instantes y el valor máximo. Esto se hace contando desde arriba del todo, que es donde está el máximo.

6 10-6 Una bobina con núcleo 1. Con una U y una barra de hierro construye un circuito magnético cerrado. 2. Coloca la misma bobina que en el caso anterior de forma que el núcleo de hierro la atraviese. 3. Mide el nuevo coeficiente de autoinducción usando el mismo procedimiento. 4. Gráfica Recta de regresión ln V 0 V = a + bt. (a) (b) A la resistencia Al generador A la resistencia Al generador Figura 10.4: Dos configuraciones de bobinas en serie, con y sin núcleo. Dos bobinas sin núcleo 1. Toma dos bobinas iguales y colócalas alineadas una a continuación de la otra. Conectalas en serie, de forma que la corriente circule en el mismo sentido por las dos bobinas. (figura 10.4.a) 2. Determina el coeficiente de autoinducción de la asociación, del mismo modo que en los apartados anteriores. 3. Conocidos los coeficientes de las bobinas individuales, determina el coeficiente de inducción mutua y el de acoplamiento entre las dos bobinas. 4. Gráfica Recta de regresión ln V 0 V = a + bt. Dos bobinas con núcleo 1. Con la U y la barra de hierro construye un circuito magnético cerrado. 2. Coloca las dos bobinas en los brazos de la U. Conéctalas de de forma que el campo magnético producido por una bobina vaya en sentido contrario al de la otra. (figura 10.4.b).

7 10.4 Realización de la práctica Mide el coeficiente de autoinducción equivalente del sistema siguiendo el mismo procedimiento de los apartados anteriores. 4. Determina el coeficiente de inducción mutua y el de acoplamiento (que en este caso serán negativos). 5. Gráfica Recta de regresión ln V 0 V = a + bt. Nota: En las distintas situaciones consideradas los valores de los coeficientes de autoinducción pueden ser muy diferentes, por lo que será necesario elegir escalas de tiempo diferentes para el periodo de la señal cuadrada del generador (que siempre debe ser lo suficientemente largo como para permitir que el sistema alcance el estado estacionario). Consecuentemente, también deberá ajustarse el valor de la escala de tiempos en el osciloscopio.

8 10-8