Capítulo 08. Energía Potencial y Conservación de la Energía

Transcripción

1 Capítulo 08 Energía Potencial y Conservación de la Energía

2 Contenido Fuerzas conservativas y no conservativas Fuerzas conservativas y energía potencial Conservación de la energía mecánica Fuerzas no conservativas Fuerza y energía potencial Diagramas de energía y equilibrio Principio de conservación de la energía

3 Fuerzas Conservativas Una fuerza es conservativa si el trabajo, realizado sobre una partícula que se mueve entre dos puntos cualesquiera, es independiente de la trayectoria. Si F c es una fuerza conservativa, entonces, existe una magnitud física escalar U, tal que el trabajo realizado por esta fuerza, al mover un cuerpo desde un punto a del espacio a otro punto b, está dado por: ( ) = ( ) ( ) = W F U b U a U c Po lo tanto, sobre una trayectoria cerrada: W( F ) = 0 c

4 Fuerzas Conservativas La magnitud física escalar U es lo que se conoce como la energía potencial asociada al campo de fuerza en cuestión El trabajo hecho por una fuerza conservativa sólo depende del valor de la energía potencial en los puntos extremos de la trayectoria Finalmente, el trabajo de una fuerza conservativa es completamente recuperable

5 Fuerzas No Conservativas Si el trabajo realizado por una fuerza F, al mover un cuerpo desde un punto a a un punto b, depende de la trayectoria elegida, entonces, la fuerza F es no conservativa. En tal caso no existe una función escalar U tal que el trabajo realizado por la fuerza F pueda ser escrito como esta función evaluada en los extremos. Para las Fuerzas No Conservativas: No existe U tal que: W( F) = U ( a) U ( b) Además, el trabajo realizado por una fuerza no conservativa no es recuperable.

6 Ejemplos de Fuerzas Conservativas y no Conservativas Fuerzas Conservativas: - Fuerza ejercida por un resorte ideal - Gravedad - Electrostática - Magnética Fuerzas no Conservativas: - Fuerza de Fricción - Fuerzas de Amortiguamiento dependientes de la velocidad

7 Trabajo realizado por la gravedad en un circuito cerrado W = ABCDA 0 La fuerza de gravedad es conservativa

8 Energía Potencial Gravitatoria La Energía Potencial Gravitacional está asociada a la fuerza peso y se define como: g ( ) U = U y = mgy De esta definición se deduce que U g : es una M. F. Escalar; que su unidad es 1 joule = 1 J y que depende de la posición vertical y, con respecto a un nivel de referencia arbitrario.

9 Energía Potencial Gravitatoria El trabajo hecho por la fuerza peso sobre un cuerpo de masa m, que se desplaza desde y i hasta y f, es igual a: ( ) ( ) W( F ) = U = U y U y g g g f g i W ( F ) = mgy mgy g i f

10 Energía Potencial Elástica l 0 x La fuerza elástica ejercida por un resorte es conservativa Al estar un resorte estirado o comprimido una distancia x, con respecto a su largo natural, la energía se almacena como energía potencial elástica. La energía potencial elástica se define como: 1 U k = U ( x ) = kx 2 2

11 Energía Potencial Elástica De esta definición se deduce que U k : es una M. F. Escalar; que su unidad es 1 joule = 1 J y que depende de la deformaciónx, con respecto al largo natural del resorte. U 1 U = kx k 2 2 x

12 Energía Potencial Elástica El trabajo hecho por la fuerza elástica sobre un resorte de constante k, que se desplaza desde x i hasta x f, es igual a: ( ) ( ) W( F ) = U = U x U x k k k f k i 1 1 W( F ) = k x k x k i f Depende solamente de su deformación inicial y final!

13 Fuerzas No Conservativas A B La fuerza de roce es una fuerza no conservativa, ya que disipa energía en forma de calor, por efecto de la fricción entre el objeto y la superficie sobre la cual se mueve. De esta manera es evidente que habrá mayor disipación si movemos el objeto por la trayectoria circunferencial, que por la trayectoria recta, al ir desde A hasta B.

14 Trabajo realizado por el Roce W ABCDA 0 La fricción es una fuerza no conservativa

15 Fuerzas Conservativas y Energía Potencial Teníamos que para fuerzas conservativas el trabajo lo podíamos escribir como: ( ) ( ) W ( F ) = F dx = U = U x U x c c i f W( F ) = U U = U c i f Llamamos a la función U la energía potencial asociada a la fuerza conservativa del sistema. ( ) U x = F dx+u = f c i

16 Conservación de la Energía Mecánica Por el teorema del trabajo y la energía visto en el capítulo anterior, se tiene que: W ( F ) = K K R f i Pero, por otro lado, si la fuerza que realiza el trabajo es conservativa, el trabajo lo podemos escribir como: W ( F ) = U U = U c i f Igualando ambas expresiones para el trabajo se tiene: K + U = K + U = cte. i i f f Hay algo que se conserva!

17 Conservación de la Energía Mecánica Si definimos: E K( v ) + U ( x) Donde: E = Energía Mecánica del sistema E = K + U E = K + U i i i f f f De la expresión de la diapositiva anterior se tiene: E = E = cte. i Si sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, entonces, la energía mecánica se conserva en todo instante! f

18 Principio de conservación: caso gravitacional 1 1 mv + mgy = mv + mgy i i f f Principio de conservación: caso fuerza elástica mv + kx = mv + kx i i f f Conservación de la Energía Mecánica Si más de una fuerza conservativa actúa sobre un cuerpo, entonces, una energía potencial se asocia a cada fuerza y el principio de conservación de la energía mecánica se generaliza a: K + U = K + U i i f f

19 Ejemplo Un bloque, inicialmente en reposo, se desliza sobre una superficie inclinada sin roce. Parte de un altura h, respecto del suelo y alcanza una rapidez v cuando llega a él. Para que el bloque alcance una rapidez final 2v en el suelo, cuántas veces más alto debe ser soltado el bloque? A. 1h B. 2h C. 3h D. 4h E. 5h F. 6h

20 0 Datos: µ = 0 v 1i = 0 m/s h 1i = h v 1f = v h 1f = 0 m v 2i = 0 m/s h 2i =? v 2f = 2v h 2f = 0 m m m N y h 2i h 1i θ m v 1f v 2f θ m P x

21 Del DCL se deduce que la única fuerza que realiza trabajo, en los dos casos, es el peso, que es una fuerza conservativa. Luego: E 1i = E 1f y por definición de E: K 1i + U 1i = K 1f + U 1f y por definición de K y U g : 2 1 v = = 2 2g 2 m gh m v h 1 i 1 f Análogamente: 1 4 v = = 2 2g 2 m gh m v h 2 i 2 f 2 i 2 Luego: h 2i = 4 h

22 Ejemplo Un bloque, inicialmente en reposo, se desliza sobre una superficie inclinada sin roce. Parte de un altura h, respecto del suelo y alcanza una rapidez v cuando llega a él. Para que el bloque alcance una rapidez final 2v en el suelo, cuántas veces más alto debe ser soltado el bloque? A. 1h B. 2h C. 3h D. 4h E. 5h F. 6h

23 Fuerzas No Conservativas En sistemas físicos reales, en general, se presentan fuerzas no conservativas, como la fricción. Dichas fuerzas cambian la energía mecánica del sistema Si hay fuerzas no conservativas: E = K + U 0 Esa diferencia corresponde al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. W ( F ) = E nc

24 Relación entre Fuerzas Conservativas y Energía Potencial Antes, teníamos que la relación entre el trabajo y la energía potencial se podía escribir, en forma integral, de la siguiente manera: x F dx x = U En forma diferencial esta relación se puede escribir: ( ) F x = du( x) dx Una fuerza es conservativa si es igual a menos la derivada de la energía potencial U!

25 Fuerza del resorte: Si la energía potencial está dada por: U = 1 2 du d 1 = = dx dx = 2 kx 2 F = = kx = kx Que corresponde a la fuerza restauradora en el resorte. 2 Fuerza gravitacional: Si la energía potencial está dada por: U = mgy du d F = = ( mgy ) = mg dy dy Que corresponde a la fuerza peso.

26 Diagramas de energía El gráfico de la energía potencial para un resorte es: U E U k = 1 2 kx 2 x x = 0 min x max 0 x x min x max Las posiciones de equilibrio estable corresponden a aquellos puntos para los cuales U k (x) tiene un valor mínimo.

27 v i x = 0 v x v i x max

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29 Ejemplo: Un esquiador, que parte del reposo, se desliza bajando por la nieve (sin roce), como muestra la figura. Cuál es la rapidez del esquiador en la meta? Partida H=40 m y 0 Como sólo hace trabajo el peso y es una fuerza conservativa, entonces: E = cte. K i + U i = K f + U f mgh 1 2 = mv 2 f v = f gh 2 Meta L=250 m 28,0 m/s

30 Principio de Conservación de la Energía La energía total de un sistema aislado es constante. Luego, la energía no puede crearse, ni destruirse. La energía, sólo, puede transformarse de una forma en otra y/o puede traspasarse de un cuerpo a otro. La energía total del Universo es constante.

31 Transfiriendo energía Realizando trabajo Aplicando una fuerza se produce un cambio en el estado de movimiento de un cuerpo

32 Transfiriendo energía Calor El proceso de transferencia de calor se realiza por medio de colisiones entre moléculas

33 Transfiriendo energía Ondas mecánicas Una perturbación se propaga a través de un medio. Ejemplos: : sonido, ondas en el agua, sismos.

34 Transfiriendo energía Energía eléctrica Transferida por la corriente eléctrica Se transforma en energía calórica

35 Transfiriendo energía Radiación electromagnética Cualquier tipo de onda electromagnética Luz, microondas, ondas de radio, etc.

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