Integración numérica

Transcripción

1 Integración numérica Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

2 Índice Motivación y objetivos Cuadratura numérica Planteamiento general Clasificación Orden de una cuadratura Cuadraturas de Newton-Cotes Cuadraturas compuestas Cuadraturas de Gauss Convergencia Integrales dobles INTEGRACIÓN NUMÉRICA 3

3 Objetivo: calcular/aproximar el valor de la integral Motivación Limitaciones de la integración analítica: la expresión analítica de f(x) no es conocida: datos experimentales o función evaluable sólo de forma discreta, f(x) con expresión analítica pero con integral analítica complicada o desconocida. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 4

4 Objetivos Entender cómo se aproxima una integral mediante una cuadratura numérica Entender qué es el orden de una cuadratura y ser capaz de calcularlo Aprender a utilizar las cuadraturas de Gauss y las de Newton-Cotes, y saber cuando se pueden utilizar unas u otras Ser capaz de utilizar cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 5

5 Cuadratura numérica error pesos puntos INTEGRACIÓN NUMÉRICA 6

6 1. Aproximar f por un polinomio Planteamiento general 2. Integrar (con interpolación de Lagrange) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 7

7 Clasificación Según los puntos de integración: Newton-Cotes: puntos arbitrarios (datos experimentales ) generalmente puntos equiespaciados sólo hay que determinar los pesos y el error Gauss: puntos óptimos (hábilmente elegidos) f se puede evaluar donde se desee se eligen los puntos para que la cuadratura sea lo mejor posible y, después, se calculan y INTEGRACIÓN NUMÉRICA 9

8 Según los extremos: cuadraturas cerradas cuadraturas abiertas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 10

9 Orden de una cuadratura Definición: se dice que una cuadratura es de orden q si integra exactamente polinomios de grado q Si la cuadratura se obtiene integrando el polinomio interpolador (con n+1 puntos), entonces la cuadratura es de orden n, o superior. Si el error es de la forma entonces la cuadratura es de orden q INTEGRACIÓN NUMÉRICA 11

10 Cuadraturas de Newton-Cotes INTEGRACIÓN NUMÉRICA 12

11 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes Puntos arbitrarios Sólo hay que calcular los pesos y el error Cuadraturas tabuladas para puntos equiespaciados. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 13

12 Cambio de variable Los puntos de integración α=0,1,,n Polinomios y resto de Lagrange corresponden a INTEGRACIÓN NUMÉRICA 14

13 Cuadraturas cerradas de Newton-Cotes con puntos equiespaciados Pesos de integración Error INTEGRACIÓN NUMÉRICA 15

14 Fórmula del trapecio (n=1) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 16

15 Fórmula del trapecio (n=1) teorema del valor medio integral INTEGRACIÓN NUMÉRICA 17

16 Fórmula de Simpson (n=2) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 18

17 Fórmula de Simpson (n=2) n=2 par à orden 3 (mayor de lo esperado) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 19

18 Error de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes Si n es impar (orden n) Si n es par (orden n+1) Demostración en Ralston & Rabinowitz, A first course in numerical analysis, McGraw-Hill, 2ª edición, 1978 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 20

19 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes (Trapecio) (Simpson) (2ª Simpson) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 23

20 Fórmulas abiertas de Newton-Cotes La misma idea con x 0 = a+h y x n = b-h INTEGRACIÓN NUMÉRICA 24

21 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 25

22 Cuadraturas compuestas INTEGRACIÓN NUMÉRICA 26

23 Idea Se divide el intervalo [a,b] en m subintervalos y se aplica una cuadratura numérica (de Newton-Cotes, de Gauss, ) con n+1 puntos en cada subintervalo. I 1 I m INTEGRACIÓN NUMÉRICA 27

24 Ejemplo: fórmula compuesta del trapecio En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula del trapecio (n=1). m=4, n=1 I 1 I 2 I 3 I 4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 28

25 Es decir, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 29

26 Si los puntos son equiespaciados, con distancia, la fórmula se escribe como donde el error es o, equivalentemente, m 0 (si f 2) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 30

27 Ejemplo: fórmula compuesta de Simpson En cada uno de los m subintervalos se utiliza la fórmula de Simpson (n=2). m=2, n=2 I 1 I 2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 31

28 Es decir, Si los puntos son equiespaciados, con INTEGRACIÓN NUMÉRICA 32

29 El error es o, equivalentemente, Como en cualquier fórmula compuesta, el error tiende a cero cuando se aumenta el número de puntos: (si f 4) está acotada) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 33

30 Cuadraturas de Gauss INTEGRACIÓN NUMÉRICA 34

31 Cuadraturas de Gauss Newton-Cotes: Ø Predetermined (equally spaced) integration points {x 0, x n } Ø n+1 d.o.f (w i ) à order n (Special case: for even n à order n+1) Gauss quadrature: we must ask Ø Can we chose the integration points {x 0, x n } to have a higher order? 2n+2 d.o.f (w i, x i )à order 2n+1? Ø What order can be reached? INTEGRACIÓN NUMÉRICA 35

32 Points and weights of the quadrature can be calculated by imposing the Gauss quadrature to verify b a n i=0 p(z)dz = w i p(z i ) for (nonlinear system with 2n+2 unknowns and 2n+2 equations) Quadrature has order 2n+1 a, b INTEGRACIÓN NUMÉRICA 36

33 Exercises: 1) Requiring exact integration for p 0 (x) =1, p 1 (x) =x, find the weights and Gauss points of this quadrature: [n=0, order 1] 2) Requiring exact integration for p 0 (x) =1, p 1 (x) =x, p 2 (x) =x2, p 3 (x) =x3 find the weights and Gauss points of the above quadrature in this case. [n=1, order 3] INTEGRACIÓN NUMÉRICA 37

34 Gauss-Legendre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 50

35 Cuadratura de Gauss-Legendre INTEGRACIÓN NUMÉRICA 51

36 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 52

37 Ejemplo de aplicación: Gauss-Legendre Con el cambio de variable de [-1,1] a [a,b] se escribe la integral como INTEGRACIÓN NUMÉRICA 53

38 Aplicando la cuadratura de Gauss-Legendre o, utilizando la definición de f(z), El error es INTEGRACIÓN NUMÉRICA 54

39 Gauss-Hermite n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 55

40 Gauss-Laguerre n=0 (orden 1) n=1 (orden 3) n=2 (orden 5) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 56

41 Convergencia INTEGRACIÓN NUMÉRICA 67

42 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 68

43 Newton-Cotes: Gauss-Legendre: Compuesta del trapecio: Compuesta de Simpson: Compuesta de Gauss-Legendre: INTEGRACIÓN NUMÉRICA 69

44 Ejemplo Newton-Cotes Gauss-Legendre Compuesta Trapecio Compuesta Simpson Compuesta Gauss-Legendre n=1 Compuesta Gauss-Legendre n=2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA 70

45 Convergencia NO tiene asegurada la convergencia: Fórmulas simples de Newton-Cotes para puntos equiespaciados (aumentando n) SI tiene convergencia asegurada: Cuadraturas simples de Gauss (aumentando n) Cuadraturas compuestas (aumentando m) INTEGRACIÓN NUMÉRICA 71

46 Double integration Consider the double integral The integration domain is represented y a set or points (grid) having coordinates (x i,j, y i,j ) where 0 i n and 0 j m. Numerical double integration can be applied by analogy with analytical double integration, i.e. first integrate with respect to x, then integrate with respect to y. Exercise: Compute the double integral using the optimum number of Gauss points in order to obtain the exact result. INTEGRACIÓN NUMÉRICA 72

47 FIN Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)