ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

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1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AÑO: 207 PERÍODO: PRIMER TÉRMINO MATERIA: Cálculo de una variable PROFESOR: EVALUACIÓN: PRIMERA FECHA: 26/junio/207 Eamen: Lecciones: Deberes: Total: S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A ) (5 PUNTOS) Identifique el tipo de indeterminación y luego calcule: 0 cos sen 2 Se evalúa la tendencia para identificar el tipo de indeterminación: 3 4 cos sen < 3 4 cos sen < Se realiza el trabajo algebraico correspondiente: 3 4 cos sen < 3 4 cos sen < 0 < cos + cos 3 4 cos < sen < + cos sen < 3 4 sen < + cos cos identifica el tipo de indeterminación, racionaliza, aplica límites conocidos y el teorema de sustitución. No logra identificar el tipo de indeterminación y tampoco resuelve el límite. Identifica el tipo de indeterminación, pero no identifica que debe racionalizar o racionaliza mal. Identifica el tipo de indeterminación, racionaliza, pero no resuelve el límite. Identifica la indeterminación, racionaliza y resuelve el límite Elaborado Página de 3

2 2) (4 PUNTOS) Utilizando la definición de límite, demuestre que: B Al aplicar la definición, se debe demostrar que: ξ > 0 δ > 0 0 < + 3 < δ 2 < 4 4 < ξ Análisis preinar: 2 < < 8 2 < < ξ Sea δ + 3 < Pero: Demostración formal: Sea ξ > 0, elegimos δ min, ξ 4 ξ 4 ξ > 0 δ > < δ < 4 δ 2 < 9 < 4 2 < 8 < ξ 2 < 4 4 < ξ ξ 4 sabe la definición de límites y determina el valor de δ que permite establecer la implicación lógica. No conoce la definición de límites. Conoce la definición de límites e intenta encontrar el valor de δ. Determina el valor de δ, pero no sabe concatenar. Plantea la definición, determina el valor de δ y demuestra la implicación lógica correspondiente Elaborado Página 2 de 3

3 3) (4 PUNTOS) Calcule: V 2 cos + 4 Ya que R se tiene que: cos entonces se puede emplear el TEOREMA DEL EMPAREDADO para calcular el límite solicitado. Sea la función: h Para > 0 se tiene que h > 0 y al multiplicar por encontramos que: h h cos h Por otro lado: Pero: < + 4 < h 0 < < < + 4 < + 4 < + 4 < h h 0 Por y las hipótesis del teorema se satisfacen y en conclusión: h cos cos 0 Para < 0 se tiene que h < 0 y al multiplicar por encontramos que: h h cos h y además que: 3 BV h 3 BV h 0 Por y nuevamente se satisfacen las hipótesis del teorema y en conclusión: h cos 3 BV 3 BV cos 0 De y se concluye que: 3 V < + 4 cos 0 Elaborado Página 3 de 3

4 conoce del acotamiento de la función coseno, el teorema del emparedado y sabe calcular límites al infinito. No conoce que la función coseno es acotada, ni Acota la función coseno o calcula el límite al Acota la función coseno, calcula el límite al infinito de la función racional, pero Aplica el teorema del emparedado y concluye. calcula límites al infinito, ni tampoco el teorema del emparedado. infinito de la función racional. tiene dificultad en aplicar las hipótesis del teorema del emparedado ) (0 PUNTOS) Obtenga d si: a) y 2 2Z3 + sen 3 Aplicando la propiedad de la derivada de una suma de funciones: ]^ ]3 ] ]3 < <3Z_ + ] ]3 sen_ Calculamos ] ]3 < <3Z_ empleando derivada logarítmica, la regla de la cadena y la derivada del producto de funciones. Sea f < <3Z_, aplicando logaritmo natural y propiedades se tiene: ln f ln < Derivamos ambos lados y despejamos la derivada: d d ln f d d ln < f df d d d ln < + d d ln < df d f < ln < ] ] <3 <3Z_ 3 c Bd + 2 ln 2 Elaborado Página 4 de 3

5 Calculamos ] ]3 sen_ empleando derivada de una función polinomial y la regla de la cadena. ] ]3 sen_ 3sen < ] ]3 sen 3sen< cos Sustituyendo y en : ]^ ] <3 <3 Z _ 3 c Bd + 2 ln 2 + 3sen 2 cos sabe derivar la suma y el producto de funciones, derivación logarítmica, derivación de una función trigonométrica y la regla de la cadena. No distribuye la derivada en la suma de funciones o no conoce sobre técnicas de derivación. Solamente deriva la función trigonométrica. Aplica la derivada de la suma, deriva bien la función trigonométrica pero tiene alguna dificultad en la derivación logarítmica. Deriva la epresión dada b) r 5 + 3sen θ Para determinar ]^ ]3 teniendo en cuenta que: a partir de r f θ 5 + 3sen θ, se emplea derivación polar r cos θ sen θ cos θ y r sen θ sen θ sen θ Ahora, por definición: d dθ d dθ d dθ d dθ sen θ sen θ sen θ cos θ 3 cos θ sen θ sen θ cos θ d 3 cos θ cos θ sen θ sen θ 3 sen θ cos θ + 5 cos θ + 3 sen θ cos θ d 3 cos < θ 5 sen θ 3 sen < θ Elaborado Página 5 de 3

6 d 6 sen θ cos θ + 5 cos θ 3 cos < θ sen < θ 5 sen θ 3 sen 2θ + 5 cos θ d 3 cos 2θ 5 sen θ sabe derivar una ecuación polar y funciones trigonométricas. No conoce sobre derivación polar. Obtiene la epresión para una derivación polar, pero no deriva bien. Tiene alguna dificultad para derivar la epresión de o de y, o no conoce sobre identidades trigonométricas. Sabe la técnica de derivación polar y simplifica la epresión resultante ) (5 PUNTOS) Determine la ecuación de la recta normal a la curva paramétrica t t 2 + y t t 3, en t t Determinamos el punto P 4 4, y 4 que pertenece a la curva cuando t 2 : P 4 4, y 4 t, y t op< t< +, t _ + 2t op< 2 < +, 2 _ , 2 Por otro lado, la pendiente de la recta normal viene dada por: m q d m T d t2 En donde, mn mt 2 por derivación paramétrica, la derivada ]^ ]3 epresión: d d se calcula por medio de la siguiente Entonces: d d t_ + 2t d t< + 3t< + 2 2t Elaborado Página 6 de 3

7 Por tanto: 3 2 < d op< Reemplazando este último resultado en, se obtiene: m q 2 m u Basado en la epresión punto pendiente de una recta, se determina que la ecuación de la recta normal solicitada es: y sabe derivar una curva paramétrica, funciones polinomiales y sabe obtener la ecuación de la recta normal a partir de la pendiente de la recta tangente. No obtiene la ordenada, ni la pendiente de la recta tangente. Obtiene la ordenada y la pendiente de la recta tangente. Obtiene la ordenada, pero no puede derivar para obtener la pendiente de la recta tangente. Obtiene la ordenada, la pendiente de la recta tangente, la pendiente de la recta normal y su ecuación ) (4 PUNTOS) Calcule f B 8 donde f 3 + ln. Por el teorema de derivada de la función inversa, en el punto y 4 8 se tiene que: f Bd 8 f 4 donde 4 es tal que: y 4 f 4 4 _ + ln 4 Por simple inspección se deduce que 4 2, ya que: 2 _ + ln ln Por otro lado: f d d _ + ln 3 < + Elaborado Página 7 de 3

8 Entonces: f Bd 8 f 3z p< 3 < z p< 3 2 < aplica el teorema de la derivada de las funciones inversibles. No logra realizar la derivada de la función original, ni la de su inversa. Deriva la función original, pero no determina el punto a Aplica el teorema de la derivada de las funciones inversibles y determina el Deriva bien la función inversa y epresa el valor solicitado. evaluar. punto, pero se equivoca al evaluar ) (5 PUNTOS) Obtenga una epresión matemática para: d n 3 d n 2 Sea: f 3 2 Bd Se obtienen las primeras derivadas para observar el patrón: f 3 2 B< B< f < B_ 2 2 < B_ f _ 2 < B{ 2 2 _ B{ f { 2 _ B 2 2 { B... Se concluye entonces que: f } } 2 } 3 n! 2 B }Zd d } 3 d } 2 3 } 2 } n! 2 }Zd Elaborado Página 8 de 3

9 sabe derivar funciones polinomiales; y, puede generalizar una epresión para la n-ésima derivada. No logra realizar la primera derivada de la función. Epresa la regla de la cadena para la primera derivada, pero se equivoca en la siguiente derivación. Deriva por lo menos hasta la cuarta/quinta derivada para establecer la generalización. Deriva y establece una epresión para la n-ésima derivada ) (5 PUNTOS) Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y y y en el punto P 0, 3. Se trata de una ecuación dada en forma implícita, la cual debe derivarse. d y< + < < + y 2 y < + < y < + < < d + 4y< y < + < 2y d + 2 d + 4y y< + < + d + y + d + y d y< + < < + 4y < y < + < + 4y y < + < y d 4y y < + < y y < + < < + 4y < y < + < + 4y y < + < y y < + < y < + < + 4y < + d 4y y< + < y y < + < < + 5y < + Se determina la pendiente: m d 4,_ < < Basado en la epresión punto pendiente de una recta, se determina que la ecuación de la recta tangente solicitada es: y Elaborado Página 9 de 3

10 sabe derivar funciones polinomiales, la regla de la cadena y puede obtener la ecuación de la recta tangente. No obtiene la pendiente de la recta tangente. Obtiene la pendiente de la recta tangente. Deriva en forma implícita, pero se equivoca al evaluar. Obtiene la pendiente de la recta tangente y su ecuación De los siguientes ejercicios, SELECCIONE SOLAMENTE UNO y resuélvalo. 9) (8 PUNTOS) La altura de un triángulo disminuye a razón de 2 cm min mientras que el área del mismo disminuye a razón de 3 cm2. A qué velocidad cambia la base del triángulo cuando min la altura es igual a 20 cm y el área es de 50 cm 2. Sean el área A, la longitud de la base b y la longitud de la altura del triángulo h, en el instante t. Esto se puede representar gráficamente así: h A bh 2 b En los datos del problema se especifica que tanto la longitud de la altura h como el área A de la superficie del triángulo disminuyen, por lo tanto se consideran signos negativos para ambas variaciones respecto al tiempo: ] ]o 2 } y ]ˆ ]o 3 c } La función del área y las variables de las cuales depende serán derivadas respecto al tiempo: da 2 2 da dh b + h db b dh + h db Elaborado Página 0 de 3

11 db 2 da b dh h Se indica que h 20 cm y A 50 cm <, por lo que: b 2A h cm La razón de cambio de la longitud de la base del triángulo se calcula con: db,,ˆ p d,<4,d db ,,ˆ p d,<4,d db,,ˆ p d,<4,d 4.2 cm min Por cada minuto transcurrido, la longitud de la base del triángulo aumenta.2 cm. plantea y resuelve un problema de razón de cambio. No logra interpretar la situación geométrica especificada. Plantea la relación del área de la superficie del triángulo en función de las longitudes de la base y la altura, pero no deriva bien. Plantea la relación del área de la superficie del triángulo en función de las longitudes de la base y la altura y la deriva bien, pero no asocia bien los signos o no simplifica bien. Plantea y resuelve el problema de razón de cambio Elaborado Página de 3

12 0) (8 PUNTOS) Una fábrica de zapatos tiene costos mensuales por alquiler, servicios básicos y salarios de $ y un costo de producción que está dado por la epresión: C q q2 5q Si la empresa tiene la capacidad de producir 00 zapatos por quincena, determine: a) El costo total de producción mensual de la empresa. b) Si en un mes determinado aparece un nuevo cliente solicitando le fabrique 200 pares para él, fuera de lo que se produce en la fábrica, determina la variación del costo de producción de la fábrica para poder producir este pedido del cliente. c) Cree usted que sea necesarios incrementar el precio del zapato para este cliente o se le debe mantener el mismo precio como a cualquier otro? Justifique su respuesta. a) Conociendo que el costo total es la suma del costo fijo con el costo de producción: C u q C + C q C u q q< 40 5q + 20 Y que en el mes (que tiene 2 quincenas) se producen 200 pares de zapatos: C u < C u < C u C u $ b) Si un cliente requiere 200 pares más de lo que la empresa produce mensualmente, determinamos la variación del costo de producción para fabricar el pedido el cliente. dc dq 2q 40 5 dc dq q 20 5 dc dq p< $ par c) Dado que se incrementa el costo de producción, también se le debería incrementar el precio de venta en 5 $ par. Elaborado Página 2 de 3

13 plantea y resuelve un problema de razón de cambio. No logra interpretar la situación económica especificada. Determina el costo total de producción, pero no deriva bien. Determina bien el costo total de producción, deriva bien, pero no evalúa. Plantea y resuelve el problema de razón de cambio Elaborado Página 3 de 3