Reglas de derivación
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- Pascual Ojeda Ávila
- hace 6 años
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1 1 CAPÍTULO 6 Reglas e erivación 6.6 erivación imlícita 1 Hasta aquí la alabra erivaa ha sio asociaa a funciones efinias exlícitamente meiante una iguala e la forma y f.x/, one una e las variables.y/ aarece exlícitamente efinia como función e otra variable.x/. En esta situación [aa la función y f.x/], al mencionar la alabra erivaa entenemos que se está hacieno referencia a la erivaa [ y f 0.x/ ] e la variable (eeniente) y con resecto a la variable (ineeniente) x. Pero no siemre se efine a una función en forma exlícita como en y f.x/. Puee ocurrir que la variable y sea función e la variable x, efinia imlícitamente en una ecuación e la forma g.x; y/ 0, one estén relacionaas ichas variables. Veamos algunos ejemlos: 1. x C y x C y 3 6xy x C y C 4/ 16x Si tenemos una ecuación en la que aarecen las variables x & y, aemás e constantes y e oeraciones entre ellas, nos oemos reguntar si y es función e x. Es claro que si oemos esejar la y, ejánola sola en un miembro, habremos contestao afirmativamente a la regunta, y ecimos que tenemos esta y exresaa exlícitamente como función e x y que en la iguala original se tenía esa y efinia imlícitamente como función e x. Más aún, nos oemos seguir reguntano si la función y (exresaa imlícitamente) es erivable y en este caso, cómo oríamos calcular su erivaa irectamente e la iguala original? La erivaa uee calcularse or el métoo e erivación imlícita, que consiste en suoner que 1. canek.azc.uam.mx: 1/ 5/ 014
2 Nombre el libro y es una función erivable e x y erivar ambos miembros e la ecuación con resecto a x, obtenieno términos que contengan la erivaa y 0 ara finalmente esejar la erivaa y 0 que quea en términos e x & y. Ejemlo Calcular y en la ecuación x C y 1. H Suonemos que y es una función erivable e x. Luego, erivano con resecto a x ambos miembros e la ecuación, x C y ( ) y 1 ) x C y 0 : (Obsérvese que ara erivar y hemos usao la regla e la otencia y ecimos que su erivaa es y y 0 or la regla e la caena.) Entonces y y 0 x ) y 0 x y one y 0 : Comrobación. Si esejamos y e x C y 1, obtenemos que: y 1 x ) j y j 1 x ) y 1 x : Entonces y no es función e x, ues a un valor e x. 1; 1/ le corresonen os valores e y, ero si ensamos que y 1 x ara x. 1; 1/ (one y 6 0), tenemos y.1 x / 1 ) y 0 x 1 x x y : y y 1 x y x x Análogamente ara y 1 x, x. 1; 1/: y.1 x / 1 ) y 0 x 1 x x 1 x x y :
3 3 6.6 erivación imlícita 3 y x x y 1 x y Nota. La comrobación que hemos roorcionao en este rimer ejemlo no es algo que siemre uea hacerse, ya que, generalmente, en la ecuación aa en ocasiones no se uee esejar una e las variables en función e la otra. Ejemlo 6.6. Hallar la ecuación e la recta tangente a la curva efinia or x 3 C y 3 6xy (la hoja e escartes) en el unto.3; 3/. H El unto (3; 3) sí ertenece a la curva efinia or x 3 C y 3 6xy, ues sus coorenaas, x 3 & y 3, satisfacen la ecuación: 3 3 C C Suonemos que en la ecuación x 3 Cy 3 6xy efine imlícitamente a y.x/; entonces, calculamos y erivano imlícitamente con resecto a x..x3 C y 3 /.6xy/I.x3 / C.y3 / 6.xy/: Alicano las reglas e la otencia y la el roucto: 3x C 3y y ( 6 x y C y ) : (Nótese que 1.) 3x C 3y y ( 6 x y ) C y I 3x C 3y y 6x y C 6y:
4 4 4 Nombre el libro iviieno entre tres esejamos y y y x C y y x y y.y x/ y y x y C y: x I x I y y x y x : (Nótese que la erivaa está en función e x & y, y existe sólo si y x 0.) Evaluamos la erivaa en el unto.3; 3/ e la gráfica e la función imlícitamente efinia: y 0.3; 3/.3/ 3 3.3/ : La ecuación e la recta tangente en el unto.3; 3/ con eniente 1 es y 3 x 3 1 ) y 3 x C 3 ) y x C 6: Ejemlo Suonieno que en la siguiente ecuación se efina imlícitamente y.x/, calcular en el unto.; / la ecuación e la recta tangente a la curva.x C y C 4/ 16x 36 : H En efecto, el unto.; / ertenece a la curva ues sus coorenaas x & y satisfacen la ecuación ya que Œ C. / C 4 16./.4 C C 4/ : Calculemos la eniente e la recta tangente obtenieno imlícitamente la erivaa e la función La erivaa y 0 existe si y 0. [.x C y C 4/ 16x ].36/ ) ).x C y C 4/.x C yy 0 / 3x 0 ) ) 4.x C y C 4/.x C yy 0 / 3x ) ) x C yy 0 3x 4.x C y C 4/ ) ) y 0 1 ( 8x y x C y C 4 ) x :
5 5 6.6 erivación imlícita 5 En articular, en el unto.; /, la eniente vale y 0.; / 1 ( la ecuación e la recta tangente es ) 1 ( ) I y.x / ) y 5 ) y 5 x C C 5 5 x C 7 ) 5 5.x 7/ : Ejemlo eterminar los untos e la curva en los que la recta tangente es horizontal. x C y 4x C 4y H Suonemos que en la ecuación x C y 4x C 4y se tiene efinia imlícitamente la función y.x/ y calculamos y erivano imlícitamente con resecto a x..x C y /.4x C 4y/ ) ) x C y y 4 C 4y ) ) y y 4 y 4 x ) ).y 4/ y 4 x ) ) y 4 x y 4 x y, si y : La recta tangente es horizontal one la erivaa es cero. Es ecir, si: x y 0 ) x 0 ) x : Sustituyeno la x en la ecuación que efine imlícitamente a la función: C y 4 C 4y ) y 4y 4 0 ) { C ; ) y 4 16 C : Los untos solicitaos son.; / y.; C /.
6 6 6 Nombre el libro Ejemlo Utilizano erivación imlícita calcular y 00 en función e x y e y, en la ecuación x 4 C y 4 16 : H Suonemos que y.x/ y calculamos y erivano imlícitamente con resecto a x..x4 / C.y4 /.16/ I 4x 3 C 4y 3 y 0 I 4y 3 y y y 0 e nuevo erivamos con resecto a x ara calcular y 00 : y 00 y 0. x 3 y 3/ y 3 3x x 3 3y y y 6 4x3 I 4x3 4y 3 ara y 0 I x3 y 3 : y3 x3 x 3 y3.y 3 / 3x y 3 3x 3 y y y 6 : Ahora utilizano y 0 x3 se obtiene: y3 y 00 x 3 3x y 3 3x 3 y. y 3/ 3x y 3 C 3x 6 y 1 y 6 y 6 (multilicano y iviieno or y) y.3x y 3 C 3x 6 y 1 / y y 6 3x y 4 C 3x 6 y 7 : Ejemlo Obtener la ecuación e la recta tangente a la curva en el unto.; /. 8 x C y C xy3 x 4 1
7 7 6.6 erivación imlícita 7 H Efectivamente el unto.; / ertenece a la curva, ues sus coorenaas x y satisfacen la ecuación 8 C C./ C 4 C C : 8 Si suonemos que y es función e x, entonces oemos calcular su erivaa meiante erivación imlícita obtenemos Œ8.x C y / 1 C xy 3 x 4 1I 8. 1/.x C y /.x C y / C.xy3 / x4 0 ; 8.x C yy 0 /.x C y / C y 3 C x 3y y 0 4x 3 0 ) ) 16x 16yy 0 C.x C y /.y 3 C 3xy y 0 4x 3 / 0 ) ) y 0 Œ 16y C 3xy.x C y / 16x.x C y /.y 3 4x 3 / ) ) y 0 16x.x C y /.y 3 4x 3 / 16y C 3xy.x C y / : Por lo tanto la eniente e la recta tangente en el unto.; / es y 0.; / 3.4 C 4/.8 3/ 3 C 4.4 C 4/ Luego la ecuación e la recta tangente es / 3 C C 4.64/ 3 C : y x / ) y x C ) y x C ) y x 4 47 : Ejemlo Encontrar las ecuaciones e las rectas tangente y normal a la curva 5 y C xy 6 en el unto.4; 1/. H Efectivamente el unto.4; 1/ ertenece a la curva, ues utilizano x 4 & y 1 se comrueba la ientia 5 1 C C 4 1 C 4 6: Para hallar la eniente e la recta tangente, suonemos que y es una función erivable e x; en-
8 8 8 Nombre el libro tonces, erivano imlícitamente con resecto a x obtenemos: La eniente en el unto.4; 1/ es.5 y/ 1 C.xy / 6 ) ) 1 [.5 y/ 1.0 y 0 / C y C x ] y 0 ) y 0.4; 1/ y 0 ) 5 y C y C xyy 0 0 ) ( ) 1 ) 5 y C xy y 0 y ) ) y C 4 1 or lo tanto, la ecuación e la recta tangente es y : 1 5 y C xy C ; y x 4/ ) y x C C 1 ) y 4 31 x C : La eniente e la recta normal es 31 4 y su ecuación es y x 4/ ) y 31 4 x 30: Ejercicios Soluciones en la ágina aa la curva efinia or y 3 C 3y x 4 3x. a. Obtener la ecuación e su recta tangente en el unto. ; 1/. b. Calcular las abscisas e los untos sobre la curva con rectas tangentes horizontales.. aa la curva.x C y / 5.x y /. a. Obtener y y 0. b. Obtener la ecuación e la recta tangente a la curva en el unto P.3; 1/. 3. eterminar la ecuación e la recta tangente a la curva 4y 3x y 3 4x 1 en el unto. 1; 1/.
9 9 6.6 erivación imlícita 9 4. etermine la ecuación e la recta tangente a la curva 5x y C 8x 4 y 3.y 5 C x 3 / 1 en el unto.1; 1/. 5. Obtenga las ecuaciones e las rectas tangente y normal a la curva efinia imlícitamente or.xy C 9/.y C / 4=3 en el unto.0; 5/. 6. Encuentre la eniente e la recta tangente en el unto P.1; 1/ e la Lemniscata e Bernoulli.x C y / 4xy : 7. Encuentre toos los untos e la curva x y C xy, one la recta tangente es horizontal. 8. Encuentre y en la ecuación y.x 1/ C 3.y 3 1/ etermine la ecuación e la recta tangente a la gráfica e la función efinia imlícitamente or 3x x y C y 3 3 en el unto.1; 1/. 10. Obtener la ecuación e la recta normal a la curva 3x y 3 C x y 4 C x en el unto. 1; 1/. 11. Obtener la ecuación e la recta tangente a la curva x 3 y C 3xy 3 5 en el unto.1; 1/. 1. Obtener la ecuación e la recta tangente a la curva x y.y C 1/.4 y / en el unto.0; /. 13. Muestre que las rectas tangentes a la elise x xy C y 3 en los untos.1; 1/ &. 1; 1/ son aralelas. 14. Encontrar la ecuación e la recta tangente a la curva efinia or 3x C 5y 3x y 11 en el unto.1; /. 15. etermine las ecuaciones e las rectas tangente y normal a la curva efinia or la ecuación en el unto.1; 0/. 3x 5 y C 1 C x C xy Encontrar la ecuación e la recta tangente a x 3y 3 C y xy 1 5 en el unto.0; 1/. 17. Encontrar en el unto. ; / la ecuación e la recta tangente a la curva x 4 C y Sea y f.x/ efinia imlícitamente or x 4 C 3x y C y 3 5. Obtener la ecuación e la recta tangente a la gráfica e esa función en el unto. 1; 1/.
10 10 10 Nombre el libro Ejercicios erivación imlícita, ágina 8 1. a. y 0 9 x 31 9 ; 3 3 b. 3 untos: x 1, x 0 & x 3.. a. Œ.x C y / x [ 5 4.x C y / ] y [ 4.x C y / C 5 ]; b. la recta tangente es: y 9 13 x C y 14 5 x y 13 x C y 5 65 x C 5 es la ecuación e la tangente; y x C 5 es la ecuación e la normal No tiene tangentes horizontales. 8. y 0 xy.1 x /.x 1/ C 18y.y 3 1/. 9. y 8 5 x C y 4 9 x C y 9 11 x C y. 13. Tienen la misma eniente igual a y 9 4 x La tangente: x 1 y la normal: y y 11 x C y 8 3 x C y 5 3 x C 8 3.
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