UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M CURSO: SEMESTRE: Vacaciones de Junio CÓDIGO DEL CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: 3er. Parcial FECHA DE REALIZACIÓN: 16 de noviembre de 2018 RESOLVIÓ Y DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Rodolfo Guzmán Cermeño

2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA Viernes 22 / 06 /2018 TEMA 1. (20 puntos) TERCER EXAMEN PARCIAL TEMARIO A3 Dada la función: g(x) = 3 sen ( π 3 x + π 2 ) 1 a) Determine el valor de la amplitud y la traslación vertical. b) Calcule el periodo de la función y determine el valor el ángulo de desplazamiento de fase. c) Grafique la función. TEMA 2. (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 2[log 25 (x)] 2 = log 25 (x 3 ) b) 5 x x = 126 TEMA 3. (20 puntos) La aspirina se elimina del organismo de acuerdo a un modelo exponencial. Un comprimido (1 pastilla) de 500 mg se reduce a 171 mg después de cuatro horas y para que el medicamento surta efecto, debe haber un mínimo de 100 mg en el cuerpo. a) Si Juan toma dos comprimidos a las 12:00 horas, a qué hora dejará de surtir efecto el medicamento? b) Cuál es la vida media de la aspirina? TEMA 4. (20 puntos) Un globo aerostático está suspendido en el aire pero sujetado con dos cables que se anclan a la ladera de una colina cuyo ángulo de inclinación es 30. El primer cable de 12 metros de longitud, se ancla a un punto A, que se encuentra a la izquierda del globo y ladera arriba. Los cables están perfectamente tensos y unidos al globo en un punto común C. Si la distancia sobre la colina entre los puntos de anclaje es de 20 m, determine: a) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto A, use ley de cosenos; b) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto B, use ley de senos; c) La distancia más corta del globo (en el punto C) a la colina. TEMA 5. (20 puntos) Dada la función: Determine: 5x 2 10x x 3 2x 2 9x + 18 a) Las coordenadas del agujero, si tuviera. b) La ecuación de la asíntota horizontal. c) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. d) Grafique la función.

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN Índice Tema Tema Tema Tema Tema

4 Tema 1 TEMA 1. (20 puntos) Dada la función: g(x) = 3 sen ( π 3 x + π 2 ) 1 a) Determine el valor de la amplitud y la traslación vertical. b) Calcule el periodo de la función y determine el valor el ángulo de desplazamiento de fase. c) Grafique la función. Inciso a) 1. La amplitud está dada por el coeficiente de la función senoidal. g(x) = 3 sen ( π 3 x + π 2 ) 1 2. La amplitud es tres. a = 3 3. Identificamos la traslación vertical en la función. g(x) = 3 sen ( π 3 x + π 2 ) 1 4. La traslación vertical es una unidad hacia abajo. k = 1 amplitud = 3 Traslación vertical = 1 Inciso b) 4

5 1. g(x) = 3 sen ( π 3 x + π 2 ) 1 2. Aplicar factor común a la variable. g(x) = 3 sen [ π 3 (x )] 1 3. El periodo es igual a dos pi dividido el coeficiente de la variable. periodo = 2π π 3 = 6 4. Identificar el ángulo de fase en la función. g(x) = 3 sen [ π 3 (x )] 1 5. El ángulo de fase es el negativo del valor. ángulo de fase = 3 2 periodo = 6 ángulo de desplazamiento de fase = 3 2 Inciso c) 1. Utilizar los valores de amplitud, traslación vertical, periodo y ángulo de desplazamiento de fase para graficar la función. 5

6 6

7 Tema 2 TEMA 2. (20 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 2[log 25 (x)] 2 = log 25 (x 3 ) b) 5 x x = 126. Inciso a) 1. 2[log 25 (x)] 2 = log 25 (x 3 ) 2. Ley de logaritmos. 2[log 25 (x)] 2 = 3 log 25 (x) 3. Sustituir. 2[y] 2 = 3 y 4. Encontrar el valor de y. 2y 2 3y = 0 5. Encontrar el valor de y. y(2y 3) = 0 6. Encontrar el valor de y. y = 0 2y 3 = 0 7. Encontrar el valor de y. y = 0 y = 3/2 8. Regresar sustitución. log 25 (x) = 0 log 25 (x) = 3/2 9. Despejar x. x = 25 0 x = 25 3/2 10. Despejar x. x = 1 x = ± Comprobaciones 12. x = 1 es válido. 2[log 25 (1)] 2 = log 25 (1 3 ) 0 = 0 7

8 13. x = 125 es válido. 2[log 25 (125)] 2 = log 25 (125 3 ) 9/2 = 9/2 14. x = 125 NO es válido. 2[log 25 ( 125)] 2 = log 25 ( ) = x = {1, 125} Inciso b) 1. 5 x x = Ley de exponentes. 3. Sustituir. (5 x ) = 126 5x (y) y = Despejar y. 5y = 126y 5. Despejar y. 5y 2 126y + 25 = 0 6. Despejar y. 5(5y 2 126y + 25) = 0 7. Despejar y. (5y) 2 126(5y) = 0 8. Despejar y. (5y 125)(5y 1) = 0 9. Despejar y. 5y 125 = 0 5y 1 = Despejar y. y = 25 y = 1/5 8

9 11. Regresar sustitución. 5 x = 25 5 x = 1/5 12. Despejar x. 5 x = x = Despejar x. x = 2 x = Comprobaciones 15. x = 2 es válido = = x = 1 es válido ( 1) = = 126 x = {2, 1} 9

10 Tema 3 TEMA 3. (20 puntos) La aspirina se elimina del organismo de acuerdo a un modelo exponencial. Un comprimido (1 pastilla) de 500 mg se reduce a 171 mg después de cuatro horas y para que el medicamento surta efecto, debe haber un mínimo de 100 mg en el cuerpo. a) Si Juan toma dos comprimidos a las 12:00 horas, a qué hora dejará de surtir efecto el medicamento? b) Cuál es la vida media de la aspirina? 1. Fórmula de un modelo exponencial. f(t) = f 0 e kt 2. Definir variable independiente. t = tiempo en horas 3. Definir variable dependiente. f = cantidad de aspirina en el cuerpo en mg 4. El comprimido ingerido es de 500 mg. f(0) = Sustituir función. f 0 e k(0) = Despejar f 0. f 0 = El comprimido se reduce a 171 mg después de 4 horas. f(4) = Sustituir función. (500)e k(4) = Despejar k. e 4k = 171/ Despejar k. 4k = ln(171/500) 11. Despejar k. k = ln(171/500) 4 10

11 12. Despejar k. k = Esta es la función con los valores de las constantes que se aplican a este problema en particular t f(t) = 500 e Inciso a) 14. Cuántas horas (x) tardará el medicamento en reducirse a 100 mg? Sustituir función. 500 e x = Despejar x. e x = 1/5 17. Despejar x x = ln 1/5 18. Despejar x. x Sumar las x horas a la hora de la ingesta del medicamento. hora = 12: horas = 18: 00 El medicamento dejará de surtir efecto a las 18: 00 horas. Inciso b) 20. Cuál es la vida media del medicamento? f 0 /2 11

12 21. Sustituir función. 500 e x = 500/2 22. Despejar x. e x = 1/2 23. Despejar x x = ln 1/2 24. Despejar x. x = ln 1/ Despejar x. x = Convertir a horas y minutos horas = 2: 35 horas La vida media de la aspirina es 2: 35 horas. 12

13 Tema 4 TEMA 4. (20 puntos) Un globo aerostático está suspendido en el aire pero sujetado con dos cables que se anclan a la ladera de una colina cuyo ángulo de inclinación es 30. El primer cable de 12 metros de longitud, se ancla a un punto A, que se encuentra a la izquierda del globo y ladera arriba. Los cables están perfectamente tensos y unidos al globo en un punto común C. Si la distancia sobre la colina entre los puntos de anclaje es de 20 m, determine: a) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto A, use ley de cosenos; b) El ángulo de elevación del cable anclado en el punto B, use ley de senos; c) La distancia más corta del globo (en el punto C) a la colina. Inciso a) 1. Diagrama del problema. 2. Ley de cosenos = (12)(20) Cos(θ) 3. Despejar θ. 4. Despejar θ. Cos(θ) = (12)(20) Cos(θ) =

14 5. Despejar θ. θ = Cos 1 ( ) 6. Despejar θ. θ = Agregar la pendiente de la colina = El ángulo de elevación del cable anclado en A es Inciso b) 8. Ley de senos. sin(α) 12 = sin(22.33) Despajar α. sin(α) = 12 sin(22.33) Despajar α. α = Sustraer pendiente de la colina = 2.87 El ángulo de elevación del cable anclado en B es Inciso c) 14

15 12. La distancia más corta entre la colina y el globo es perpendicular a la primera. 13. Trigonometría de un triángulo rectángulo. sin(22.33) = x Despejar x. x = 12 sin(22.33) 15. Despejar x. x = 4.56 La distancia más corta del globo a la colina es m. 15

16 Tema 5 Dada la función: Determine: 5x 2 10x x 3 2x 2 9x + 18 a) Las coordenadas del agujero, si tuviera. b) La ecuación de la asíntota horizontal. c) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. d) Grafique la función. Inciso a) 1. Se tiene la función. 5x 2 10x x 3 2x 2 9x Factorizar. 5x(x 2) (x 3 2x 2 ) + ( 9x + 18) 3. Factorizar. 5x(x 2) x 2 (x 2) 9(x 2) 4. Factorizar. 5x(x 2) (x 2)(x 2 9) 5. Factorizar. 5x(x 2) (x 2)(x 3)(x + 3) 6. Igualar numerador a cero. 0 = 5x(x 2) 7. Resolver ecuación. x = {0,2} 16

17 8. Los valores que hacen cero el numerador son raíces probables. x = {0,2} son raices probables 9. Igualar denominador a cero. 0 = (x 2)(x 3)(x + 3) 10. Resolver ecuación. x = {2, 3,3} 11. Los valores que hacen cero el denominador hacen inexistente la función. x = {2, 3,3} hacen la función inexistente 12. El agujero está donde haya una raíz probable que al mismo tiempo haga inexistente la función. x = 2 aquí está el agujero 13. Obtener una función equivalente eliminando factores. 5x (x 3)(x + 3) 14. Valuar en donde está el agujero para obtener su coordenada en y. f(2) = 5(2) [(2) 3][(2) + 3] 15. Obtener el valor. f(2) = Se ha obtenido la coordenada (x, y) del agujero. (2, 2) Es la coordenada del agujero (2, 2) Inciso b) 17

18 17. Tomar la función original. 5x 2 10x x 3 2x 2 9x Dividir el numerador y el denominador entre la potencia mayor de x x x x x 2 x Como la asíntota horizontal sucede cuando x tiende a infinito y todo número dividido entre un número que tiende a infinito es cero, volver cero todas las fracciones que tienen x en el denominador Simplificar La asíntota horizontal tiene esta ecuación. y = 0 y = 0 Inciso c) Tomar la función equivalente que está factorizada y simplificada. 5x (x 3)(x + 3) Igualar el denominador a cero. 0 = (x 3)(x + 3) Despejar x. 0 = (x 3) 0 = (x + 3) 18

19 Despejar x. x = 3 x = 3 Las asíntotas verticales se encuentran en todos los valores de x que hagan cero el denominador y no sean agujeros. x = 3 & x = 3 son asíntotas verticales x = 3 & x = 3 Inciso d) 12. Graficar raíces cero. 19

20 Graficar agujero. Graficar asíntotas verticales. Graficar asíntota horizontal. Tomar la función equivalente. 5x (x 3)(x + 3) 20

21 Usar una tabla de signos para identificar las áreas en las que la curva está sobre el eje x y las áreas en las que está debajo. (, 3) ( 3,0) (0,3) (3, ) 5x + + (x 3) + (x + 3) Trazar la curva. ~~Fin de la Clave~~ 21