L 1 al origen de coordenadas mide 10 unidades, determine su ecuación.

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1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL Examen de la Segunda Evaluación II Término febrero/009 Nombre: Paralelo: Examen: Lecciones: Proyecto: Deberes: Otros: Total: TEMA No. 1 (10 PUNTOS) La recta L 1 es paralela a la recta L y está ubicada a la derecha de L. Si la distancia de L 1 al origen de coordenadas mide 10 unidades, determine su ecuación. f x cos x L Solución L contiene los puntos 0, f 0 y a, 0, donde f f a cos a a cos 0 y Por lo tanto, m 0 m 1 0 L L1. Entonces, la ecuación de L 1 hasta el momento sería: y x c o x y c 0. Pero, 0 0 c d L 1,Origen c 10 c Y L 1 : x y 10 0, (porque L 1 está a la derecha de L ) 1..- Rúbrica Desenfocado Determina la Utiliza la fórmula de la Planteamiento y distancia de un punto cálculos correctos a una recta y los datos para determinar c pendiente de L 1 y la iguala a la pendiente de L Página 1

2 TEMA No. (10 PUNTOS) Sea la elipse con ecuación 16x 5y x 150y Determine la ecuación de la parábola que: Es cóncava hacia arriba. Su foco está ubicado en el centro de la elipse. Su lado recto es el segmento que une los focos de la elipse..1.- Solución 16x 5y x 150y x x y y x x y y x y x y x 1 y Entonces, el centro de la elipse es d F 1,F c 6 4 p p Pero, y k 1 x h 4 p F 1, V 1, p 1, La ecuación de la parábola sería: Si y 1 x 1 6 Por lo tanto,..- Rúbrica 1, y además a 5,b 4 c Desenfocado Factoriza para encontrar el Plantea la ecuación canónica de la Planteamiento y cálculos correctos centro de la elipse y la distancia focal parábola y trata de determinar h, k y p Página

3 TEMA No. (0 PUNTOS) Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justificando su respuesta. a) La ecuación r r cos rsen O, y radio r describe una circunferencia con centro.a.1.- Solución En coordenadas cartesianas: r r cos rsen x y x y x 4x y 6y 4 x x y y x y Centro, y r.a..- Rúbrica Desenfocado Trata de factorizar para Logra factorizar pero se equivoca en Califica y justifica correctamente justificar la calificación correcta cálculos b) La gráfica de la ecuación r sen tan es simétrica respecto al eje polar..b.1.- Solución Para verificar simetría: sen tan r r sen tan r.b..- Rúbrica Desenfocado Intenta graficar o utilizar Recuerda el criterio de simetría, pero se Plantea y calcula correctamente criterios de simetría equivoca en cálculos Página

4 c) Toda función continua en.c.1.- Solución a,b, es diferenciable en a,b. La proposición es falsa, ya que no es condición suficiente la continuidad, para que sea diferenciable. Posible contraejemplo:.c..- Rúbrica 1 f x x en, no es diferenciable en x = 0. Regular Satisfactorio Bueno Desenfocado o mal Califica bien pero no justifica con un Califica y justifica bien contraejemplo contraejemplo correcto d) Si la posición de un automóvil que se desplaza sobre una recta horizontal en el instante t, está dada por s t t 8t 5t 1 (t expresado en minutos). Los instantes en que el vehículo está inmóvil son t = min y t = 5 min..d.1.- Solución s t t 8t 5t 1 ds v t t dt 16 5 Si el automóvil está inmóvil, se cumple que v 0 Los t son las raíces de t t t 1, min 1 min t 16t 5 0.d..- Rúbrica inst ds. dt Desenfocado, Trata de Plantea que v = 0 e Calcula y justifica vacío o califica determinar la intenta determinar bien incorrecta ecuación de la los tiempos velocidad Página 4

5 e) d y dx 1 y, cuando x y 1..e.1.- Solución x y 1 x yy' 0 x y' y x x Dx y' Dx Dx y y y xy' y'' y x y x y x y y x y 1 y'' y y y y.e..- Rúbrica Desenfocado, vacío o no sabe derivar y correcta y correcta Simplificación y cálculo correctos f) Sea f una función de variable real continua en 0, y diferenciable en 0 f ' x, x 0, y f 0 1, entonces f 8..f.1.- Solución f tiene las condiciones para aplicar el teorema del valor medio de derivadas. 0 c,, tal que f ' c pero f ' x, x incluido c 7 f 1 f ' c f f f 0 0,. Si Página 5

6 .f..- Rúbrica Vacío, desenfocado, o calificación Intenta utilizar teorema del valor medio u Utiliza el teorema pero se equivoca en los cálculos o en la Calificación, planteamiento y cálculo correctos incorrecta otros criterios válidos relación de orden TEMA No. 4 (10 PUNTOS) Obtenga la expresión simplificada de x 5 y ', si y 5 x Solución y x x x 5 ln y ln 5 x ln y ln x ln x 5 1 x 5 x 10x 5 15 x 4 x x x x x y' x x 10x 0 y x 5 5 x 4 x x 15 x x y' x 10x 0 y' / 15 x 5 x 4 / 4..- Rúbrica Vacío, desenfocado o no sabe derivar Aplica correctamente las técnicas de derivación Se equivoca al simplificar en las expresiones algebraicas Derivación y manipulación algebraica correctas Página 6

7 TEMA No. 5 (10 PUNTOS) Determine en qué puntos de la curva definida por a) La derivada es cero b) La derivada no existe x a t cos t y a t sen t ; t 0, Solución dy dx a a cos t 1 sen t cos t 1 sen t dy a) 0 cos t 0 y t, cos t 0 dx dy No existen puntos donde 0 dx b) dy no existe dx 1sent 0 sent 1 t a,a 1 la derivada no existe 5..- Rúbrica No sabe derivar, desenfocado o vacío Sabe como calcular la derivada en forma paramétrica pero se equivoca al derivar Derivadas correctas pero no concluye o calcula bien Determinación correcta que no existe punto donde la primera derivada es cero y el punto donde la primera derivada no existe TEMA No. 6 (10 PUNTOS) Respecto a la figura adjunta, si se conoce que: a) Demuestre que xt b) Calcule lim xt t0. t cos t sen t t sen t. FD ED t E F A(x, 0) D(1, 0) Página 7

8 6.1.- Solución E F sent t A x,0 Atención: Dado que en el examen, se cometió el error de denotar como segmento a ED y no como arco, se asignarán los 5 puntos a favor del estudiante. t cos,0 D 1,0 a) sent t cos t x 1x 1xsen t t cos t x sent xsen t t cos t xt xt xsen t t cos t sent x t sent t cos t sen t t cos t sent x t sent b) t cos t lim t sen t sent lim t0 t0 t0 t cos t lim t sen t sent t0 t0 cos t sen t lim tsent cos t 1 cos t t cos t sent cos t cos t cos t tsen t lim 6..- Rúbrica Vacío o desenfocado Calcula el límite e intentar determinar el valor de x Establece relaciones para despejar el valor de x Encuentra x y determina el límite Página 8

9 TEMA No. 7 (0 PUNTOS) Sea la gráfica de la función y = f (x). Califique cada proposición como verdadera o falsa, justifique su respuesta. a) f es decreciente en (, 4). b) f (x) > 0, x( 1, 1). c) f es una recta de pendiente m=1 en el intervalo (1, ). d) f (1), f () y f (4) no existen Solución a) Falsa, f crece en (, ) porque f es positiva. b) Verdadera, ya que f (x) = c) Falsa, ya que f (x) = d) Verdadera, ya que en estos valores de x se presenta un cambio brusco en la 7..- Rúbrica pendiente y la derivada de f como límite bilateral no existe. Cada literal tiene un valor de 5 puntos. Desenfocado o cálculos incorrectos Intenta justificar la calificación Justificación correcta pero numéricamente incorrecto Califica y justifica correctamente Página 9