COORDINACIÓN DE MATEMÁTICA I (MAT021) Soluciones Taller 7

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1 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICA I MAT0) Soluciones Taller 7 Primer semestre de 03 SEMANA 9: Lunes 06 viernes 0 de mayo EJERCICIOS. Determine los valores de a y b de manera que la función x +x si x < 0 f x) = ax + b si 0 x x x+ 4x+ 3 si < x sea continua en todo R. Desarrollo: Por álgebra de funciones continuas, f es continua en R {0, }. Para que sea continua en x = 0 se debe cumplir lím f x) = f 0) x 0 En un entorno de cero, la función esta definida de dos formas distintas, analizaremos el límite por límites laterales ) x lím f x) x 0 x 0 + x ) x + x + x 0 + x + x + ) x + x + x 0 x ) + x + x 0 = y lím x 0 luego, para que el límite exista x 0 f x) ax + b) = b + + = b

2 y para la continuidad en cero así ahora analizamos en x = = b = f 0) b = y lím x lím f x) x + x + x f x) ax + b) = a + b ) x x + 4x + 3 ) ) ) x x + 4x x + x + x + 4x + 3 4x x + x + ) ) x x 4x x + 4x + 9 x + x + ) ) x + ) x ) 4x x + 4 x ) x + x + ) ) x + ) 4x x + 4 x + x + = 9 8 así, para que el límite exista a + b = 9 8 y para la continuidad f ) = a + b = 9 8 se sigue a = 7 6. a + = 9 8. Sea f : R {,, 4} R R la función definida por ) f x) = x + x + x3 + x + x ) x ) x 3) x 4) x 4 x + a) Estudie la continuidad de f en su dominio. Desarrollo: f es continua en todo su dominio por álgebra de funciones continuas. b) Es posible definir f en, y 4 de modo que f sea continua en tales puntos? Desarrollo: En x = se tiene lím f x) x + x + x = + x + x3 + x 4 + x ) x ) x 3) x 4) )) x x + Taller Mat0

3 luego el límite no existe y la discontinuidad no es reparable. En x = 4 lím f x) x 4 + x 4 + = + x + x + x3 + + x ) x ) x 3) x 4) x 4 )) x x + luego el límite no existe y la discontinuidad no es reparable. En x = lím f x) x x + x = 4 x + x3 + x 4 + x ) x ) x 3) x 4) )) x x + el límite existe y la discontinuidad es reparable, tenemos que definir f ) = 4. c) Muestre que existe x 0 [, 3] tal que f x 0 ) = 0. Desarrollo: f es continua en el intervalo [, 3], f ) = = f 3) = = 3 luego la función cambia de signo en el intervalo, por el teorema del valor intermedio existe un x 0 [, 3] tal que f x 0 ) = 0. d) Demuestre que [ 3, ] f [, 3]). Desarrollo: De la parte anterior [ 3, ] f [, 3]) por el teorema del valor intermedio. 3. Muestre que la ecuación tiene 3 soluciones en [ 4, 4]. x 3 5x + = 0 Desarrollo: f : [ 4, 4] R, x f x) = x 3 5x + es una función continua f 4) = 4) 3 5 4) + = 3 f 3) = 3) 3 5 3) + = 9 f ) = ) 3 5 ) + = 3 f 4) = 4) 3 5 4) + = 5 por el teorema del valor intermedio hay raíces en los intervalos ] 4, 3[, ] 3, [,], 4[. Como el polinomio tiene grado 3 no hay más raíces. Taller Mat0 3

4 4. Las ecuaciones x 4x y + = 0 y 3y + 4x + y + 6 = 0 corresponden a parábolas, determinar vértice, foco, la ecuación de la recta directriz y finalmente graficar. Desarrollo: Completamos cuadrados x 4x y + = 0 x 4x y + = 0 x ) = y + x ) = y )) ) x ) = 4 y )) el vértice esta en, ) el foco en ), + ) =, y la directriz es y = = 3. Para la otra ecuación 3y + 4x + y + 6 = 0 3 y + 4y + 4 ) = 4x y + ) = 4x + 6 y + ) = 4 3 y + ) = 4 x 3 ) ) x 3 ) 3 Taller Mat0 4

5 el vértice esta en 3, ) como c = el foco es 3, ) = 7, ) y la directriz es x = 3 + = Hallar el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola x 9y + x + 36y 44 = 0. Desarrollo: Obtenemos la forma canónica completando cuadrados x + x + 9 y 4y + 4 ) = 0 x + ) 9 y ) = 0 x + ) 9 y ) = 9 así las asíntotas son las pendientes son m = ± 3 así x + ) y ) = 9 tan α = x + ) ± + = y 3 ) ) ) = 3 3) 3 4 α = arctan ) Hallar e identificar el lugar geométrico de todos los puntos x, y) tales que su distancia al punto 4, 5) es tres veces la distancia a la recta de ecuación x =. Desarrollo: x, y) pertenece al lugar geométrico si y solo si x 4) + y 5) = 3 x + Taller Mat0 5

6 desarrollando para identificar es una hipérbola. x 4) 9 x + ) + y 5) = 0 8x 44x 0 + y 5) = 0 8 x + x + ) y 5) = 0 8 x + ) + y 5) = 8 4 ) x + ) y 5) 8 ) = PROBLEMAS. Considere la función definida por tramos f : [0, 6] R definida por x + si 0 x 6 x si < x 4 f x) = 3 si 4 < x 5 x 5 si 5 < x 6 se define la función A f : [0, 6] R como A f x) = área bajo la gráfica de f y sobre el eje x en el intervalo [0, x] obtener una expresión para A f x) y mostrar que es una función continua. Taller Mat0 6

7 . Considere la gráfica de la función f : [, ] R definida por f x) = x ) x 4) y la recta x 4 + y 5 = muestre que hay un punto de la gráfica que esta a la mínima distancia de la recta. 3. Un vehículo avanza en linea recta durante una hora llegando y partiendo del reposo. Suponiendo que la velocidad dada por v t) es una función continua en el tiempo t, demostrar que para cada τ [0, ] existe un lapso de tiempo de duración τ tal que la velocidad inicial y final son iguales. 4. Muestre que la función f : R R, x f x) = x 3 + 3x + es biyectiva. 5. La circunferencia x + y x + y = 5 tiene dos tangentes paralelas a la recta 3x + 4y = determine sus ecuaciones. 6. Determine para los distintos valores de λ R la naturaleza de la cónica x λ xλ y λ + y + 4yλ 4yλ 3λ 3 + 4λ = 0 Taller Mat0 7