Lección 2.1. La Derivada y las Reglas básicas de la Diferenciación. 02/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 30
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- Rosario Peña Camacho
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1 Lección. La Derivaa y las Reglas básicas e la Dierenciación 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
2 Objetivos Interpretar la erivaa e una unción como la peniente e la tangente e una curva en un punto y como una razón e cambio instantáneo. Ientiicar la gráica e la unción erivaa e una unción. Ientiicar puntos en la gráica e una unción en one no eiste la erivaa. Usar las reglas e ierenciación para calcular la erivaa e unciónes constantes y potencias. Usar las reglas e ierenciación para calcular la erivaa e una suma o ierencia e unciones. Calcular la erivaa e una unción eponencial y logarítmica. Determinar la erivaa e la unción trigonométricas básicas: sin, cos, tan, sec, csc y cot. 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
3 Deinición La erivaa e una unción en un número enotaa por '( a, es ( a ( a '( a lim 0 si este límite eiste. En ese caso, se ice que la unción es ierenciable en a Si ( entonces la erivaa e en '( ( ( lim 0 [( ] [( ] lim 0 [ 4 ] lim 0 4 ( 4 lim lim La erivaa e la unción en = es 4 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
4 Interpretación Geométrica e la Derivaa La erivaa en es la peniente e la recta tangente a una curva en : Tome puntos: P=(,(, Q=(+, (+ Su peniente: m ( ( ( m ( '( lim 0 ( ( ( 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 4 e 0
5 Ejemplo Encuentre una ecuación e la recta tangente a la gráica e la unción en = ( '( Solución: La erivaa e en = es la peniente e la recta tangente en el punto (, -. Como (=, la peniente e la tangente es. y (- = ( y + = - 6 y = - 7 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
6 Ejemplo Si ( = - encuentre ( y úsela para allar la ecuación e la recta tangente a la unción en el punto (, -. Solución: '( lim 0 ( ( lim 0 ( ( ( ( ( lim 0 ( lim lim ( La ecuación e la tangente es: y + = -6( - y = /07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 6 e 0
7 Razones e cambio Si ( es una unción, la razón e cambio promeio e entre los valores a y b se eine como: y ( b ( a b a Razón e cambio promeio: Cambio e istancia cubierta ( versus cambio en el tiempo e llegar e un punto a otro. Cambio en el precio e oerta (p versus el cambio en la cantia e artículos (q proucios. Cambio en la ganancia por la venta e un artículo versus el cambio el precio e venta. 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 7 e 0
8 Interpretación e la Derivaa como razón e cambio La razón e cambio instantánea e un unción cuano = a, está ao por: lim ba ( b b a ( a siempre que este límite eista. ( lim 0 ( La razón e cambio instantánea e un unción cuano = a es la erivaa e la unción en a. Esto es, (a. 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 8 e 0
9 Ejemplo Encuentre la razón e cambio instantáneo e la unción ( en = Solución: '( '( lim 0 lim 0 ( ( ( ( [9 6 lim 0 [( lim 0 ] [4] lim 0 ( ] [ (] lim( 0 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 9 e 0
10 La Derivaa como unción ( sin cos ( sin 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 0 e 0
11 Ejemplo 4 Pro. José G. Roríguez Aumaa 0/07/0 Encuentre la unción (, si ( =. ( ( lim '( 0 0 ( ( lim 0 ( ( lim 0 lim 0 lim ( ' e 0
12 Cuáno eja una unción ser ierenciable? Gráica tiene: iscontinuia. una tangente vertical. Observe: Función es continua en P. Pero no es ierenciable en P 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
13 Cuáno eja una unción ser ierenciable? Gráica termine en una esquina o pico. 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
14 Reglas e ierenciación Si ( = k, one k es cualquier número real, entonces (=0 Si ( =, entonces ( = 0 Si ( = π, entonces ( = 0 Si ( = n para cualquier número real ierente e 0, entonces ( = n n-. Si ( = 8, entonces ( = 8 7 Si ( = -, entonces ( = - -4 Si ( = kg(, entonces ( = kg ( Si ( = 6, entonces ( = (6 = 8 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 4 e 0
15 Determine ( si Solución: Ejemplo ( ( '( ( ( 0 0 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
16 Determine ( si Solución: Ejemplo 6 ( ( '( ( ( 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 6 e 0
17 Determine la erivaa: Ejercicios #. F( = 4. F( =. F( = 9 4. F( = -4 F( 4 F( F( 0 9 F(. F( = F( F'( F( 8 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 7 e 0
18 Reglas e ierenciación: Aición y Sustracción Si ( = u( + v( entonces: ( = u ( + v ( Si ( = u( - v( entonces: ( = u ( - v ( 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 8 e 0
19 Encuentre la erivaa e: Solución: Ejemplo 7 8 ( Pro. José G. Roríguez Aumaa 0/07/0 8 ( ( 8( ( ' 4 ( ' 4 '( 9 e 0
20 Notación e la erivaa Primera erivaa: '( y' y D Primera erivaa en a '( a y' a y a D a 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 0 e 0
21 Determine: a Ejemplo 8 b a b /07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
22 Derivaas e la unciones eponenciales ( a a ln a Ejemplos: ( ln ln 4 ( e 4 e ln e ln 4 e ln ln ln 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
23 Calcule: Ejemplo 9 e e e ln 8 ( ln 8 ln 8 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
24 Ejemplo 0 Encuentre la ecuación e la recta tangente a y = (e + por el punto (0, Solución: ( e e e 0 La ecuación e la tangente por (0, es: y = ( -0 y = + y e peniente e la tangente en (0, (0 e a 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 4 e 0
25 Ejercicio # ln 4 4 ( 6 ln e 4 e 4 ln 4 e 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa e 0
26 Derivaas e la unciones logarítmicas (log a ln a (ln Ejemplos: (log (log (log ln ln ln0 (ln ln e 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 6 e 0
27 Derivaas e unciones trigonométricas (sin cos (csc csc cot (cos sin (sec sec tan (tan sec (cot csc 0/07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 7 e 0
28 Calcule: Ejemplo (sin cos tan Solución: (sin cos tan sin cos tan cos sin sec cos sin sec Aproime a la iez milésima: (sin cos tan cos. sin. sec /07/0 Pro. José G. Roríguez Aumaa 8 e 0
29 .. 0/07/0 4 log log 4 Ejercicio # csc cot ln ln ln ln 4 ln ln0 ( csc ln 4 4 ln0 csc Pro. José G. Roríguez Aumaa ( csc cot csc cot 9 e 0
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f p) 2 3x f q) f r) 4 x f s) x 6 f t) f u) x 3x f v) x 7x x x 9x
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