Unidad 2 - Lección 2.5

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Adolfo Piñeiro Arroyo
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1 Unia - Lección.5 La Regla e la Caena 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 1 e 18

2 Activiaes.5 Referencia: Section 11.5: The Chain Rule. Estuie Ejemplos el 1 al 8. Ejercicios e práctica 1 ; 9-9,,, 5, 7, 55, 60. Calculus Help.com Tutorials Lesson 5: The Chain Rule Khan Acaemy - Vea el vieo "Introucción a la Regla e la Caena" Vea el vieo "Definición y ejemplo e la Regla e la Caena" Vea el vieo "La Regla e la Caena para la erivaa e ^x" Vea el vieo "Regla e la Caena visualizano las gráficas e las funciones. Ejemplo" Vea el vieo "Regla e la Caena utilizano información visual. Ejemplo" Veo el vieo "Regla e la Caena con triple composición" E-MathLab.com: Ejercicios e prática interactivos. Regla e la Caena. 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa e 18

3 Cómo calcularía la primera erivaa? y y Observe que: x y x 5 x 1. Use las reglas básicas e iferenciación para erivar las funciones a la izquiera.. Las funciones a la erecha son funciones compuestas. Para evaluar la función tiene que evaluar primero la expresión o función interna (u). La variable e x NO está sóla. y x u u x 5 x 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa e 18

4 La Regla e la Caena f g ( f g)' f '( g) g' y y u u 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa e 18

5 y La Regla e la Caena u u x Si es función e y es función e, entonces, Por ejemplo: y y x x y u y u y u y u y y u x 1 y u u y u x 1 x 1 (x 1) x 1 6x x 1 x 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 5 e 18

6 Ejemplo 1 Calcule la primera erivaa e las siguientes funciones: y x y x 5 1) ) y x x u x 5 y 5 x 5 x 5 x x 6x 5 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 6 e 18

7 Ejemplo Calcule la primera erivaa e las siguientes funciones: 1) ) y x u x y x x 1 1 y 1 1 x 1 x x ó x x y x x 1 x 1 x 1 ó x x x 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 7 e 18

8 Ejercicio #1 Calcule: 1. 1 x 1 x x 1 x 1 1 x 1 x ó 1 (1 xx ) 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 8 e 18

9 La Regla e la Potencia General Si n es cualquier número real, u = g(x) es erivable, entonces: ( u ) nu n n1 u Ejemplos: a) ( x 5) 6x (x 5) x (x 5) b) ( x 8x ) 5 5( x 8x) 5( x 8x ). ( 8x 8) 8( x 1) 0( x 1)( x 8x ) 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 9 e 18

10 Calcule: 1.. ( x x 1) ( x x Ejercicio # ) 5 ( x ( x x 1) x 1) 5( x ( x (x 1) x) ( x x 1) 5( x x) ( 1x ) 5( x x) (6x 1) 10( x x) 6x 1 x) 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 10 e 18

11 Ejemplo Determine el Costo Marginal al proucir uniaes e un proucto si la función costo en millones e ólares es: Solución: 5 n 1 n 1 n 1 5 n n 1 n 1 n n 1 (n 1) ( n 1) ( n 1) (n 1) n 1 5 n n n 1 (n 1) n 1 (n 1) ( n 1) 5 n 1 (n 1) n 1 5 n 1 (n 1) 15( n 1) (n 1) Regla e la Caena 6 Regla el Cociente C n n n 1 C( n) n 1 El Costo Marginal al proucir uniaes es 15( 1) (() 1) $ millones $,00 Cuano se proucen uniaes, costará $,00 por proucir 1 unia aicional /11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 11 e 18

12 Calcule y x 1 x x x 1 Ejercicio # cuano x = 5.6 si y = x+ x x 1 t x x 1 (x 1) (x ) (x ) (x 1) (x 1) (x ) (x 1) x x 1 x 1 x 1 (x 1) (x ) (x 1) x 1 (x 1) x 1 x Regla e la Caena Regla el Cociente ((5.6) ) ((5.6) 1) x /11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 1 e 18

13 Regla e la Caena PROBLEMAS APLICADOS 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 1 e 18

14 Ejemplo Una compañía etermina que el ingreso (revenue) en miles por proucir q uniaes e un proucto está ao por R q = 900q q+9. Al proucir 81 uniaes, cuál sería el ingreso aicional que harían si proucen una unia aicional? Ingreso marginal cuano q = 81? q 900 q + 9 = q q(1) (q + 9) = 8100 (q + 9) R ቤ = q q= ((81) + 9) = 1 El ingreso marginal al proucir 81 uniaes será e $1,000 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 1 e 18

15 La Regla la Caena? Si y = u u Si u = x 5x entonces entonces Por la Regla e la Caena y = y u u y u u = 6u 1 = 1x 5 = (6u 1) ( 1x 5) = (6( x 5x) 1) ( 1x 5) Que será y? Si u = t ln t entonces y t = y u u t u = (6u 1) ( t + t ) = t t = (6( t ln t) 1) ( t + t ) t Que será y t? 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 15 e 18

16 Ejemplo Ingreso marginal El ingreso (revenue) R en cientos e ólares e la venta e x uniaes e un proucto es R = + x. El número e uniaes x venias espués e t semanas e un anuncio es x = t Encuentre la razón e cambio (instantáneo) el ingreso cuano ha pasao semanas e interprételo. Solución: La razón e cambio el ingreso es Por la RC: R t = R t R t R = x + x = x + t = t = 10t 9/11/017 R t = ( x + ) ( 10t ) = ( ( t ) +) ( 10t ) Prof. José G. Roríguez Ahumaa 16 e 18

17 Aemás, si t = Ejemplo (cont.) R t t= = ( ( ) +) ( 10() ) = [ ] cientos e ólares $,65 Al transcurrir cuatro semanas, el ingreso aumentará por aproximaamente $,65 por caa semana aicional e anuncio. 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 17 e 18

18 Ejercicios el Texto 9/11/017 Prof. José G. Roríguez Ahumaa 18 e 18

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