6. PROBLEMAS DE MARKETING

Transcripción

1 6. PROBLEMAS DE MARKETING PROBLEMA 1 (POSICIONAMIENTO DEL PRODUCTO) Se ha realizao una encuesta sobre un grupo e consumiores e vino tinto e mesa para que, sobre una escala e 0 a 10, califiquen a las iferentes marcas que se comercializan en el mercao en base a los criterios precio y grao e alcohol. El sistema e puntuación se ha establecio e forma que las calificaciones sean inversamente proporcionales a los precios, es ecir, a un precio elevao (bajo) corresponerá una puntuación baja (alta). Con respecto al seguno criterio, las calificaciones varían en el mismo sentio que lo hace la grauación alcohólica. Los resultaos promeios e la encuesta se recogen en la tabla 1. Puntuaciones Marca Precio Grao e alcohol A 8 8 B 4 7 C 7 6 D 5 6 E 9 4 TABLA 1 Bajo el supuesto e que la marca ieal tenga una calificación e 7 para caa criterio, eterminar: 1. Posición relativa e caa marca con respecto á la ieal. Orenación e la participación en el mercao en base a la proximia a esta marca ieal. SOLUCIÓN: Una cuestión e relevante importancia para la construcción e la estrategia comercial e un proucto lo constituye la forma en que éste es juzgao por los consumiores con respecto a otros prouctos competiores. La utilización el espacio eucliiano para representar las actitues e los consumiores supone un instrumento e gran valía en la eterminación el posicionamiento e prouctos. En este espacio eucliiano, caa atributo que el consumior utiliza para juzgar a las iferentes marcas constituye un eje. De esta forma, es posible obtener para caa marca, y sobre el conjunto e criterios o atributos utiliza un conjunto e valoraciones o calificaciones que eterminan las coorenaas sobre el espacio n-imensional constituio por los n atributos utilizaos. El empleo el concepto e istancia eucliiana nos permite poner e manifiesto similitues o iferencias con que los consumiores aprecian los prouctos marcas que enjuician. En la figura 1 representamos un espacio e os imensiones constituio por senos atributos imaginarios, que permiten posicionar los prouctos X1 y X. 1

2 X1 x X x 1 x 1 x 11 Eje1 Figura 1 Eje Como sabemos por geometría analítica, la istancia entre las marcas X1 y X viene efinia por la siguiente expresión: x x x x Sin embargo, la representación gráfica e la figura 1 no nos informa e las preferencias el consumior sobre las istintas marcas el proucto consierao. Ahora bien, en la meia en que poamos representar la marca ieal, las istancias e las otras a ésta nos eterminaría tales preferencias. En el caso que nos ocupa, se trata e eterminar las preferencias el consumior sobre cinco marcas e vino e mesa que han sio juzgaas por una muestra e consumiores, e acuero con los criterios precio y grauación alcohólica. Los resultaos promeios e la encuesta se muestran en la tabla 1. La representación gráfica e estos juicios se muestra en la figura. Grao e alcohol 8 A 7 B D C 6 4 E Precio Figura

3 En nuestro caso conocemos la situación e la marca ieal, cuyas coorenaas son (7, 7). Si situamos el origen e coorenaas en este punto, las nuevas coorenaas e las otras marcas serán ahora (X1 7, X 7), sieno X1 y X las puntuaciones sobre los ejes precio y grauación alcohólica, respectivamente. En la tabla se recogen estas nuevas coorenaas. Coorenaas absolutas Coorenaas con respecto a la marca ieal Precio Grao e Precio Grao e Marcas alcohol alcohol A B C D E Ieal TABLA En la figura 3 representamos la posición relativa e caa marca con respecto a la ieal. B A D C Precio E Figura 3 Grauación alcohólica Aplicano ahora la fórmula e la istancia matemática, expresaa anteriormente, poemos calcular, no sólo la istancia e caa marca a la ieal, sino, también, las istancias entre aquéllas. Recoremos que: sieno: ij : Distancia entre marca i y j. x x x x 1 i1 j1 i j 3

4 X ij : Coorenaa e la marca i con respecto al eje k, (k = 1, ). X jk : Coorenaa e la marca j con respecto al eje k, (k = 1, ). Aplicano esta fórmula al caso que nos ocupa obtenemos: AB AC AD AE A Ieal , , , , , 414 También se obtienen así las siguientes istancias: BC CD DE BD CE D Ieal BE C Ieal E Ieal B Ieal Toas las istancias se recogen en la tabla 3. Distancias entre marcas A B C D E Ieal A X 4,13,3 3,60 4,13 1,414 B X 3,16 1,414 5,83 3 C X,8 1 D X 4.47,3 E X 3,60 Ieal X TABLA 3 Si consieramos que la participación que caa marca tiene en el mercao es función e la istancia a que ésta se encuentra e la posición ieal, la orenación e las marcas por su grao e participación en el mercao, e mayor a menor, será el siguiente: C-A-D-B-E Y si suponemos que la tasa e participación es inversamente proporcional a istancias al punto ieal, la parte e mercao ominaa por caa marca será, el siguiente: C: 1/1 = 1 A: 1/1,414 = 0,7 D: 1/,3 = 0,43 B: 1/3 = 0,33 D: 1/3,6 = 0,7 El total será. 1+0,7+0,43+0,33+0,7 =,73 Por lo tanto el peso e caa marca con respecto a,73 será: 4

5 C: 1/,73 = 0,3663 A: 0,7/,73 = 0,56 D: 0,43/,73 = 0,1575 B: 0,33/,73 = 0,108 D: 0,7/,73 = 0,098 Que meio en tanto por ciento tenemos: C = 36,63%, A = 5,60%, D =15,75%, B = 1,08% y E = 9,8% PROBLEMA (CICLO DE VIDA DEL PRODUCTO) Determinar el ciclo e via e un cierto proucto tenieno en cuenta los siguientes supuestos: 1. La emana el mismo evoluciona según la siguiente función: y t e 0, 9 t one t es el tiempo.. En el períoo aparece un proucto competior cuya emana evoluciona según la misma función anterior. 3. Consierar que el proucto competior aparece en el tercer períoo e via el proucto en cuestión. SOLUCIÓN: El ciclo e via e un proucto se efine como la evolución temporal e su emana. Para estimarlo, bastará con eterminar la función temporal e aquélla, y arle valores al tiempo para así calcular las uniaes emanaas en caa perioo. En nuestro caso, la función e emana el proucto en cuestión es una logística, que se concreta en la siguiente expresión: y t a 1 b e e c t 0, 9 t Nótese que en este caso, el punto e saturación el mercao viene ao por el numeraor e esta expresión. Como sabemos, la representación e la función logística supone una curva en forma e S, cuyo punto e inflexión se prouce, en nuestro caso, en la abscisa siguiente: Ln b t i c o sea como a=5000, b=0, c=0,9 tenemos: t i = 0,9-1 x In 0 = 1,11 x,99 = 3.3 perioos Por tanto, para poner e manifiesto la evolución temporal e la emana. calcularemos las uniaes emanaas en caa períoo, y ello para los iferentes supuestos consieraos: 5

6 1. No existen prouctos competiores Perioos Demana (en uniaes e proucto) /(1+0)=38, /(1+0 e (-0,9) )=547, /(1+0 e (-1,8) )=1.161,19 3 Punto e inflexión 5000/(1+0 e (-,7) )=.133, /(1+0 e (-3,6) )=3.33, /(1+0 e (-4,5) )=4.091, /(1+0 e (-5,4) )=4.587,15 TABLA 4 Puesto que las convergencias e la emana hacia el punto e saturación el mercao (5.000) es muy rápia, solamente hemos calculao las uniaes para los seis primeros períoos. La representación gráfica e la evolución e la emana, es ecir, el ciclo e via el proucto en este supuesto, es el e la figura 4.. Aparición e un competior en el períoo En el caso e que aparezca un proucto competior en el períoo, y su función e emana sea la misma que la el proucto consierao, para calcular el ciclo e via e este último será necesario estimar las uniaes emanaas e ambos prouctos y restarlas en caa períoo consierao. En la tabla 5 se muestran estos cálculos. En la figura 5 se recoge el nuevo ciclo e via el proucto. 3. Aparición e un competior en el períoo 3 Por último, si el proucto competior aparece con un retraso e tres períoos respecto al innovaor, el ciclo e via e este último se calcula e forma análoga a la expuesta en el punto anterior. En la tabla 6 se muestran estos cálculos t Figura 4 6

7 Períoos q (emana el proucto consierao sin competencia q (emana el competior) q-q 0 38, , , , ,19 38,09 93, ,01 547, , , ,19.07, ,31.133, , ,5 3.33, , TABLA q 3000 q q-q t Figura 5 Leyena: q: ciclo el prouctor innovaor en ausencia e competencia. q': ciclo el proucto competior. q q : ciclo el innovaor cuano la competencia aparece en el perioo. Perioos q (emana e! q (emana el q - q innovaor) competior) 0 38, , , , , , ,01 38, , ,31 547, , , ,19.930, ,15.133,01.454, TABLA 6 7

8 En la figura 6 se representa el ciclo e via el proucto innovaor en este supuesto q 3000 q q-q Leyena : t Figura 6 q: ciclo el proucto innovaor sin competencia. q : ciclo el proucto competior que aparece en el períoo 3. q-q : ciclo el proucto innovaor consierano la competencia. En la figura 7, y a moo e resumen, representamos los ciclos e via el reucto innovaor corresponientes a los istintos supuestos sobre el períoo e aparición el proucto competior. Con el parámetro representamos el retaro en la aparición el competior con respecto al innovaor. Observamos que en ausencia e competencia ( = ), el ciclo e via el innovaor tiene una fase e crecimiento muy prolongaa, alcanzánose la fase e maurez en niveles próximos a la saturación e mercao, lo cual es muy lógico. Cuano la competencia aparece, la fase e crecimiento es más corta, presentánose antes e la fase e maurez, la cual alcanza un nivel más alto para =3 que para =. En resumen, en la meia en que se retrasa la aparición el proucto competior, la fase e crecimiento será más uraera en el tiempo, mientras que la e maurez se proucirá en niveles más elevaos e emana. 8

9 4000 = ( = = t Figura 7 PROBLEMA 3 (Multiples prouctos) La empresa Osuna, S. A., va a realizar una inversión e u.m. en un programa e marketing-mix para promover la emana e los tres moelos que componen una e sus líneas e prouctos. Se sabe que se obtiene un beneficio e 4 y 5 u.m., respectivamente, por caa unia monetaria invertia en los moelos 1 y. Asimismo, si la inversión realizaa en el moelo 3 está comprenia entre y u.m., el beneficio por u.m. invertia es e 6 u.m., y si la inversión supera las u.m., el beneficio unitario será entonces e 3 u.m. Por otra parte, la experiencia aconseja que la inversión mínima e marketing-mix a realizar en caa moelo ebe ser, respectivamente, e 3.000, y u.m. Tenieno en cuenta toa la información anterior, istribuir el montante total el programa e marketing-mix entre los tres moelos e la línea e prouctos consieraa, e tal forma que se maximice el beneficio total para esta línea. RESOLUCIÓN: Este caso trata el problema e la istribución e los esfuerzos e marketing mix entre los iferentes prouctos que componen la gama e la empresa, y ello, bajo los siguientes supuestos: Limitación e recursos. Falta e continuia y sustituibilia completas en los insumos e los factores e marketing y en la respuesta el mercao ante estas acciones. En estas coniciones, la aplicación e la Programación Lineal parece un métoo apropiao para plantear y resolver este problema. 9

10 En nuestro caso, se trata e istribuir u.m. corresponientes a la valoración e los esfuerzos e marketing-mix, entre tres prouctos que tienen unos beneficios unitarios e 4 y 5 u.m. por unia monetaria invertia para los os primeros, y 6 ó 3 u.m. para el tercero según el nivel e inversión que se é. Por tanto, se tratará e realizar una istribución e las u.m. e forma que se maximice el beneficio total. Entonces, la función objetivo ebe ser la siguiente: Máx Z = 4X1 + 5X + 6X3A + 3X3B sieno: Z: Beneficio total obtenio con la istribución e los esfuerzos e marketingmix. X1: Nivel e la inversión e marketing-mix corresponiente al proucto 1. X: Nivel e la inversión e marketing-mix corresponiente al proucto. X3A Nivel e la inversión e marketing-mix corresponiente al proucto 3, cuano aquélla es inferior a u.m. (véase la figura 3.1). X3B: Nivel e la inversión e marketing-mix corresponiente al proucto 3, cuano aquella supera las u.m. (véase figura 3.1). Beneficios ( tg ( =3 (1 tg (1 = u.m. invertias en proucto 3 Figura 3.1 La función anterior está sometia a las siguientes restricciones: a) Restricción presupuestaria: La suma e las inversiones e marketing-mix en los tres prouctos no puee superar el límite presupuestario, establecio en u.m. Es ecir: X1 + X + X3A + X3B b) Restricciones e inversión mínima: Para mantener la competitivia e los prouctos en cuestión, la inversión mínima a realizar en caa uno e ellos no 10

11 ebe ser inferior a 3.000, y u.m. respectivamente. Matemáticamente este grupo e restricciones se formula el siguiente moo: X X X3A + X3B c) Restricciones ligaas a iscontinuia en los renimientos (véase la figura 3.1): Esta restricción hace referencia al renimiento variable que puee tener el proucto según el nivel e inversión realizao en el mismo. Así, si la inversión está comprenia entre y u.m., el renimiento unitario será e 6 u.m. Las restricción a establecer en este caso son, entonces, las siguientes: X3A X3B Si tenemos en cuenta estas os ecuaciones, la restricción X3A + X3B es reunante. ) Restricciones e no negativia: Se trata, en este caso, e la imposibilia e que las variables Xi tomen valores negativos. Es ecir: Xi 0 ; (i = 1,, 3 (A,B)) Resumieno, el programa lineal resultante es el siguiente: Máx Z = 4X1 + 5X + 6X3A + 3X3B X1 + X + X3A + X3B X X X3A X3B Xi 0 ; (i = 1,, 3 (A,B)) Aplicano la técnica el símplex a este programa, obtenemos la siguiente solución : X1 = u.m. X = u.m. X3A = u.m. X3B = 0 u.m. Es ecir, la istribución e las u.m. en que se valoran los esfuerzos e marketing-mix se realiza e la siguiente forma: u.m. al proucto 1,

12 u.m. al proucto y u.m. al 3. El nivel e beneficios obtenio con esta solución es: Z = (4 x 3.000) + (5 x 8.000) + (6 x 4.000) = u.m. Como señala Ph. Kotler, las ventajas que la aplicación e la Programación Lineal supone, entre otras, en este tipo e problema son las siguientes: Permite asignaciones óptimas. Proporciona información, meiante el cálculo e la solución ual, sobre el coste e los recursos y e las restricciones políticas. Es posible aplicar un análisis e sensibilia3 e la solución óptima frente a estimaciones alternativas e los renimientos unitarios e los esfuerzos e marketing. PROBLEMA 4 (Multiples prouctos) La empresa Coria, S. A., comercializa los prouctos A y B. Actualmente su gerencia se enfrenta al problema e planificar las activiaes e proucción y comercialización e ichos prouctos. Las coniciones en que estos bienes se proucen y comercializan vienen expuestas en la tabla 4.1. Tenieno en cuenta que para abastecer la emana el mercao es necesario proucir como mínimo, y uniaes e los prouctos A y B respectivamente, se esea saber: 1. El número e uniaes a proucir e caa proucto en oren a maximizar el margen bruto total. Coniciones e proucción y comercialización Factores e Coste unitario Suministro Consumo por unia e proucción y el insumo máximo proucto e marketing posible por consumios períoo Proucto A Proucto B Horas e 550 u.m h 0,5 h 1 h mano e obra Kg e materia u.m. 1,000 kg 0,5 0,7 prima U.m. e 1 u.m publicia u.m. Uniaes e 3 u.m ,5 promoción u.m. Precio venta.500 u.m TABLA 4.1. El consumo e publicia y promoción e caa proucto. 3. La cantia e recursos, prouctivos o e marketing, que quean ociosos. RESOLUCIÓN: En este caso nos enfrentamos al problema e eterminar qué cantia ebe ser proucia e caa uno e los múltiples prouctos que componen la gama 1

13 e la empresa. Para ello hemos e tener en cuenta, no sólo las coniciones impuestas por el epartamento e proucción, sino también aquellos otros conicionantes impuestos por el epartamento e marketing. Esto es así porque no se trata tan sólo e cumplimentar un plan e proucción sino también e atener y promover la emana e los mercaos. Este problema supone una ilustración e la problemática escrita en el apartao anterior, en el cual consieramos el caso e os prouctos cuya proucción requiere os tipos e inputs, los prouctivos y los e comercialización. Los atos referentes a estos inputs se encuentran en la tabla 4.1. A partir e ellos poemos eterminar los costes variables unitarios y los márgenes unitarios brutos. Estos cálculos se presentan en la tabla 6.. Se trata, entonces, e eterminar la cantia a proucir e caa uno e los prouctos consieraos con objeto e maximizar el margen bruto total, pero te nieno en cuenta las restricciones impuestas por las limitaciones e los inputs, ya sean e carácter prouctivo o comercial Este tipo e problema puee plantearse utilizano el moelo e la Programación Lineal. En nuestro caso, y consierano los atos proporcionaos por la tabla 4., la función objetivo es la siguiente: Máx Z = 1.464,5 XA XB (1) = () x (3) Coste por unia e proucto (1) Inputs (3) Consumo A () Coste B () Coste A B por unitario unitario proucto Horas e 550 u.m. 0,5 h 1 h 75 u.m. 550 u.m. mano e obra Kg e u.m. 0,5 kg 0,7 kg 750 u.m u.m. materia prima u. m. e publicia 1 u.m. 3 u.m. u.m. 3 u.m. u.m. u. m. e promoción 3 u.m.,5 7,5 u.m. 6 u.m. Coste 1.035, u.m. variable unitario u.m. Precio e.500 u.m u.m. venta Margen bruto unitario sieno: TABLA ,5 u.m u.m. 13

14 Z: Margen bruto total obtenio con los prouctos A y B. XA: Cantia a proucir el proucto A. XB: Cantia a proucir el proucto B. Las restricciones a las que está sometia la función anterior son las siguientes: 1. Restricciones impuestas por los inputs e carácter prouctivo: Nos referimos a los consumos e mano e obra y e materia prima. Hemos e tener en cuenta que la utilización e estos factores no ebe superar las isponibiliaes máximas que contamos para caa uno e ellos. Es ecir: para el input mano e obra: 0,5XA + XB para el input materia prima: 0,5XA + 0,7XB Restricciones impuestas por los inputs comerciales: Nos referimos al consumo e publicia y promoción, no ebieno superar las isponibiliaes con que contamos para caa uno e estos inputs. Matemáticamente estas restricciones toman la siguiente forma: para el input publicia: 3XA + XB para el input promoción:,5xa + XB Restricciones impuestas por el mercao: Se precisa un nivel mínimo e proucción para atener la emana el mercao: XA XB Restricciones e no negativia: Las cantiaes a proucir e caa proucto han e ser no negativas: XA, XB 0 Resumieno, el programa lineal resultante es el siguiente: Máx Z = 1.464,5 XA XB 0,5XA + XB ,5XA + 0,7XB

15 3XA + XB ,5XA + XB XA XB XA, XB 0 Utilizano variables e holgura, tenemos: Máx Z = 1.464,5 XA XB 0,5XA + XB +h1 = ,5XA + 0,7XB +h = XA + XB +h3 = ,5XA + XB +h4 = XA +X1 -h5 = XB +x -h6 = La solución e este programa lineal puee calcularse aplicano la técnica el símplex. Los valores óptimos son los siguientes: XA = 8.50 uniaes XB = uniaes h1 = 0 h = h3 = u.rn. h4 = u.rn. h5 = 7.50 h6 = 0 Es ecir, hay que proucir 8.50 uniaes el proucto A y el B, obtenieno con ello el beneficio siguiente: Z = (1.464,5 x 8.50) + (1.39 x 1.500) = u.ni. Los valores positivos e las variables e holgura hacen referencia a la cantia e recursos que quea ociosa. Es ecir: el valor e h inica que la cantia e materia prima no consumia es e kg; el valor e h3 inica que la cantia e publicia no utilizaa es e u.m. el valor e h4 señala, igualmente, que la cantia e promoción no consumia es e u.m.; el valor e h 5 inica que la restricción e proucir uniaes el proucto A, como mínimo, se ha superao en 7.50 uniaes; por último, al ser h1 y h6 iguales a cero, inican que la mano e obra se consume en su totalia y que la restricción respecto al número mínimo e uniaes a proucir el proucto B se cumple exactamente. 15

16 Por tanto, el consumo e los inputs ha sio el siguiente: mano e obra: (0,5 x 8.50) + (1 x 1.500) = horas materia prima: (0,5 x 8.50) + (0,7 x 1.500) = kg publicia: (3 x 8.50) + ( x 1.500) = u.rn. promoción: (,5 x 8.50) + ( x 1.500) = u.m. PROBLEMA 5 (Nuevos prouctos) La empresa Montiel, S. A., está estuiano actualmente el próximo lanzamiento e un nuevo proucto. Para ello esea planificar y programar el conjunto e activiaes que el proyecto mencionao requiere. Las activiaes que se consieran necesarias para llevar a feliz término icho proyecto y las relaciones e epenencia y secuenciación entre ellas, son las que se muestran en la tabla 5.1. Relaciones e epenencia entre las activiaes Número Activia Activia Activia siguiente preceente 1 Estuio el - II, III mercao II Puesta a punto el 1 IV proucto III Estuio e la re 1 IV e istribución IV Estuio financiero II, III V, VI V Ejecución e la IV VII campaña e publicia y promoción VI Proucción IV VII VII Lanzamiento V, VI - efinitivo TABLA 5.1 Dao que el proucto es totalmente nuevo y no existen anteceentes, los expertos han estimao los tiempos e uración e las activiaes anteriores, exponiénolos en la tabla

17 En base a toa la información anterior, se esea eterminar. 1. El grato PERT representativo el proyecto.. El tiempo mínimo e realización e icho proyecto. 3. El camino crítico y las holguras e las activiaes. 4. La probabilia e acabar el proyecto en un número e semanas menor o igual que 15. íem, menor o igual que El número e ías que han e transcurrir para tener una probabilia e acabar el 95 por 100, así como el 75 por 100. Tiempos e uración e las activiaes en semanas Activia Tiempo optimista Tiempo más Tiempo pesimista probable II 3 4 III 1 3 IV 0,5 1,5 5,5 V 1 3 VI VII 0,5 1 1,5 TABLA 5. RESOLUCIÓN: La aplicación el métoo PERT6 para planificar y programar el lanzamiento e nuevos prouctos no es algo noveoso. En este problema ilustraremos cómo se realiza tal aplicación. 1. Construcción el grafo PERT Tenieno en cuenta las relaciones e epenencia y secuenciación entre las activiaes necesarias para llevar a cabo el lanzamiento, el grafo PERT representativo e este proyecto es el que se muestra en la figura 5.1. II I F1 V F III IV VI VII Figura

18 . Tiempo mínimo e realización el proyecto Dao que esconocemos el valor exacto el tiempo e uración e caa activia, y contamos con tres estimaciones sobre el mismo, suponremos que tales uraciones temporales se ajustan a la istribución BETA, con lo cual poemos calcular la esperanza matemática el tiempo e uración e caa activia y su esviación típica meiante las siguientes expresiones: E( t i t ) 4t 0 m p 6 t ( t i t ) p 6 t 0 sieno: E(t i ): Esperanza matemática el tiempo e uración e la activia i. (t i ): Desviación típica. t 0 : Tiempo optimista. t m : Tiempo más probable. t p : Tiempo pesimista. En la tabla 5.3 mostramos los resultaos obtenios en la eterminación e las E(t i ) y las (t i ). (Estimaciones temporales) Activia t 0 t m t p E(t i ) (t i ) /3 II /3 III 1 3 1/3 IV 0,5 1,5 5,5 5/6 V 1 3 1/3 VI /3 VII 0,5 1 1,5 1 1/6 TABLA 5.3 Poemos consierar que los E(t i ) son los tiempos e uración e las respectivas activiaes y así, calcular los tiempos Early y Last e los nuos el grafo. Estos tiempos se calculan meiante las siguientes expresiones: T E (j) = máx (T E (i) + ij ) T L (i) = mín (T L (j) - ij ) 18

19 T E (i) T E (j) ij T L (j) Figura 5. T L (i) sieno: T E (j) : Tiempo Early el nuo j. T L (i): Tiempo Last el nuo i. ij : Duración e la activia situaa entre los nuos i y j. En la tabla 5.4 mostramos los cálculos e los tiempos Early y Last e las activiaes el proyecto, e acuero con las fórmulas anteriores. (Tiempos Early y Last) Activia Nuo Nuo ij T E (j) T L (i) inicial (í) final (j) Nuo inicial Nuo final Nuo inicial Nuo final I II III F IV V VI F VII TABLA 5.4 En base a los atos proporcionaos por esta tabla, poemos afirmar que la ejecución el proyecto tenrá una uración e 17 semanas. En la figura 5.3 representamos el grafo PERT II I F1 V F III IV VI VII Activia el camino crítico Figura

20 3. Camino crítico y holguras Se efine como camino critico e un grafo PERT, el que tiene la máxima uración. Esta formao por aquellas activiaes (que se enominan críticas) cuya holgura total es nula. Las expresiones que nos eterminan las holguras e las activiaes son: T E (i) T E (j) ij T L (j) Figura 5.4 T L (i) H T = T L (j) T E (i) ij H L = T E (j) T E (i) ij H I = T E (j) - T L (j) ij sieno: H T: Holgura total e la activia situaa entre los nuos i y j. H L : Holgura libre e la activia situaa entre los nuos i y j. H I : Holgura inepeniente e la activia situaa entre los nuos i y j. En la tabla 7.5 mostramos los cálculos e estas holguras para las iferentes activiaes. Como ya afirmamos anteriormente, el camino crítico está formao por aquellas activiaes cuyas holguras totales son nulas. Por tanto, en nuestro caso, el camino crítico esta compuesto por las siguientes activiaes: I, II, F1, IV, VI y VII. En la figura 7.3, y en trazo grueso, se muestra este camino crítico. Activia Nuo Nuo ij T E T L Holguras inicial final Nuo Nuo Nuo Nuo H T H L H I inicial final inicial final II III FI IV V VI FZ VII TABLA 5.5 0

21 4. Probabilia e acabar el proyecto en un tiempo menor o igual que 15 y 0 semanas respectivamente. La uración el camino crítico T viene aa por la suma e las uraciones e las activiaes que lo componen, y, si los tiempos e uración e estas activiaes son variables aleatorias, T también lo es. En virtu el Teorema Central el Límite se puee amitir que, para eterminaas coniciones, T es una variable aleatoria que sigue una istribución normal con meia E(T) y esviación típica (T), sieno E(T) = E(tc1) + E(tc) + + E(tck) (T) = (tc1)+ (tc) + + (tck) one: E(T): Esperanza matemática e la variable T. (T): Variancia e la variable T. E(tci): Esperanza matemática e la activia crítica i, (i = 1,,..., k; el camino crítico está formao por k activiaes). (tci): Variancia e la activia crítica L En nuestro caso, tenremos: E(T) = E(t1) + E(t) + E(tF1) + E(t4) + E(t6} + E(t7) = =17 (T) = (tc1)+ (tc) + (tf1) + (t4) + (tc6) + (t7)= =(/3) +(1/3) +(0)+(5/6) +(1/6) = 73/18 por lo tanto: (T) =,01 Luego T sigue una istribución normal N(17,,01). Tenieno esto en cuenta, poemos calcular la probabilia e acabar en menos e 15 y en menos e 0 semanas. Para ello será necesario tipificar la variable T: T E( T) z o bien, ( T) T ( T) Z E( T ) one Z es la variable tipificaa. En nuestro caso hemos e calcular: P[T 15] P[T 0] En el primer caso: 1

22 15 17 P[T 15] = P[ ( T) Z E( T) 15] = P Z,01 = P[Z 0,995] =0,1611 Es ecir hay un 16,11 por 100 e probabiliaes e acabar en 15 semanas o menos. En el seguno caso: 0 17 P[T 0] = P[ ( T) Z E( T) 0] = P Z,01 = P[Z 1,49] == 0,9318 Es ecir hay un 93,18 por 100 e probabiliaes e acabar el proyecto en 0 semanas o menos. 5. Número e ías que han e transcurrir para tener una probabilia el 95 y el 75 por 100 e acabar Tenieno en cuenta el punto anterior, en este caso hemos e calcular: 17 P Z T 0,95,01 17 P Z T 0,75,01 Para ambos niveles e probabilia, las tablas e la normal proporcionan los valores e abscisas Z = 1,75 y Z = 0,68 respectivamente. Por consiguiente: 1,75 = (T 17) /,01 para una probabilia el 95% 0,68 = (T 17) /,01 para una probabilia el 75% T(0,95) = 0,51 semanas T(0,75) = 18,36 semanas PROBLEMA 6 (precios e venta) La empresa Bonanza, S. A., pretene fijar los precios más aecuaos a los prouctos A y B, que ella comercializa, en oren a atener los siguientes objetivos:

23 1. Alcanzar un nivel e ingresos e e u.m.. Conseguir una tasa e participación en el mercao e un 60 por 100 para el proucto A y un 65 por 100 para el proucto B. Para ello, se estima que los precios e ambos prouctos han e ser inferiores a los e sus respectivos competiores A' y B. Esta iferencia ebe ser: entre A y A' no inferior a un 5 por 100 sobre el precio e A y entre B y B' no inferior al 4 por 100 sobre el precio e B. En relación con estos objetivos hay que tener en cuenta lo siguiente: a) El oren e prioria manifestao por la irección Bonanza sitúa como primer objetivo el e participación, queano en seguno lugar el objetivo e ingresos. b) En el caso e existir esviaciones sobre los niveles e los objetivos éstas han e ser, en la meia e lo posible, por exceso. Es ecir, se permite un nivel mayor e ingresos y una iferencia mayor con los precios e los prouctos competiores. Otros atos: Coste variable unitario el proucto A = 70 u.m. Coste variable unitario el proucto B = 90 u.m. Demana estimaa el proucto A = uniaes. Demana estimaa el proucto B = uniaes. Precio e venta el proucto A = 10 u.m. Precio e venta el proucto B = 160 u.m. RESOLUCIÓN: Este problema puee ser resuelto aplicano el moelo e la programación por objetivos (P.P.O). Para ello, es necesario especificar las ecuaciones matemáticas que efinirán los objetivos e la empresa y la función a optimizar, así como las restricciones que pueen afectar a la consecución e tales objetivos. En cuanto a los objetivos, tenremos: 1. Objetivo e ingresos: El nivel e ingresos conseguio con los prouctos A y B ha e ser, como mínimo, e e u.m., es ecir: PA QA + PB QB sieno: PA: Precio e venta el proucto A. PB: Precio e venta el proucto B. QA: Demana el proucto A. QB: Demana el proucto B. y, sustituyeno QA y QB por sus valores respectivos: 3

24 0.000 PA PB simplificano: PA + 3PB 700 Introucieno las variables Y i + e Y i - que mien, respectivamente, el exceso y el efecto sobre el nivel e ingresos previsto, la ecuación que efine este objetivo quea efinitivamente e la siguiente forma: PA + 3PB + Y Y 1 - = 700 (1). Objetivo e participación: Para alcanzar este objetivo es necesario que se mantengan las iferencias inicaas con los precios e los prouctos competiores. Es ecir: PA + 0,05PA PA => PA 0,95PA PB + 0,04PB PB => PB 0,96PB y tenieno en cuenta los valores e PA y PB'. PA 0,95 x 10 ; PA 114 PB 0,96 x 160 ; PB 153,6 Introucieno, en ambos casos, las variables que mien las esviaciones Y i + e Y i - (i =, 3), obtenemos las siguientes ecuaciones, que son efinitorias el objetivo e participación: PA + Y + - Y - = 114 () PB + Y Y - 3 = 153,6 (3) 3. Función objetivo: Tenieno en cuenta el oren e prioria establecio para los objetivos, así como las inicaciones sobre las esviaciones con respecto a los niveles e tales objetivos, la función a optimizar es: Mín F = N Y M Y + + M Y 3 + (4) sieno M» N. Luego, el programa efinitivo quea e la siguiente forma: - Mín F = N Y 1 + M Y M Y 3 (4) PA + 3PB + Y Y - 1 = 700 (1) PA + Y + - Y - = 114 () PB + Y Y - 3 = 153,6 (3) M» N. PA, PB 0 Y i+ Y - i = 0 Y + i, Y - i 0 4

25 Este programa lineal puee ser resuelto aplicano la técnica el Símplex, obteniénose la siguiente solución: Y 1 - = 11, Y 1 + = 0 Y - = 0 Y + = 0 Y 3 - = 0 Y 3 + = 0 PA = 114 u.m. PB = 153,6 u.m. Por tanto, en el objetivo 1 corresponiente al nivel e ingresos, se ha proucio una esviación por efecto con respecto al nivel establecio para el mismo: , = 688,8 Es ecir, el nivel e ingresos conseguio ha sio e u.m. En cuanto al objetivo, el corresponiente al nivel e participación, éste se cumple exactamente, ya que los precios establecios mantienen la iferencia mínima exigia con los prouctos competiores. 5