A B. Teniendo en cuenta que el lado de un pentágono regular es la sección aurea de su diagonal, se tiene la siguiente construcción:

Transcripción

1 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. D E O G AF/2 A B F Pate pimea: Dibujo del pentágono. Teniendo en cuenta que el lado de un pentágono egula es la sección auea de su diagonal, se tiene la siguiente constucción: 1. Se dibuja la diagonal AF hoizontal. 2. Po el punto F se dibuja una línea pependicula al segmento AF, de longitud la mitad de este segmento, es deci, OF = AF/2. 3. on cento en O se dibuja un aco de adio OF, que cota a la línea AO en el punto G. 4. on cento en A se dibuja un aco de adio AG, que cota al segmento AF en el punto B. Ya tenemos el lado AB de nuesto pentágono. 5. on cento en A y B se dibujan dos acos de adio la diagonal, es deci el segmento AF, que se cotan en el vétice D del pentágono. 6. on cento en A y B se dibujan dos acos de adio el lado AB, que cotan a los anteioes acos en los vétices E y espectivamente, completando así el pentágono ABDE. Hoja 1/4

2 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. D T 4 T 3 M d O'' M c E T 1 T 2 O' A B Pate segunda: dibujo de las cicunfeencias tangentes. omo las cicunfeencias son de igual adio y tangentes dos a dos ente si y además a los lados del pentágono; el poblema se educe a dibuja la cicunfeencia que es tangente al cuadiláteo MdDMcO', quinta pate del pentágono, siendo M d y Mc los puntos medios de los lados ED y D y O' el cento del pentágono, luego el poceso el siguiente: 1. Se deteminan los puntos medios M d y Mc. 2. omo el cento, po la simetía está en la línea DO', que esulta que es la bisectiz del ángulo D, también tiene que esta en la bisectiz del ángulo M d, po lo tanto 3. Se dibuja la bisectiz del ángulo DM do', que cota a la línea DO' en el cento buscado O''. 4. Desde este cento se dibujan líneas pependiculaes a los lados del cuadiláteo, obteniendo los puntos de tangencia T1,, T4. 5. Se dibujan todas las altuas del pentágono. 6. Se dibujan las dos cicunfeencias, la de los centos de adio O'O'' y cento O' y la de los puntos de tangencia de cento, también O' y adio el segmento O'T 1, po ejemplo. Pocediendo ahoa al dibujo del esto de las cicunfeencias tangentes. Hoja 2/4

3 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. L' L W Ñ π x G H P R T N L 3 L 4 Q L 3 L 2 L S Apatado teceo: obtención del pentágono equivalente a las cinco cicunfeencias. Este apatado lo vamos a dividi en dos: cuadatua de las cinco cicunfeencias y obtención del pentágono pedido. uadatua de las cinco cicunfeencias. 1. Se ealiza, de manea paecida a como se ha hecho en ejecicios anteioes, la cuadatua de una de las cicunfeencias, obteniendo el lado. 2. Ahoa po duplicaciones sucesivas, obtenemos: el lado L 2, diagonal del cuadado de lado L1, cuya áea es el doble que la del lado L1. 3. El lado L3, diagonal del cuadado de lado L 2, cuya áea es el doble que la del lado L A este último lado, L3, se le aplica el teoema de Pitágoas, con el lado, obteniendo el lado L4 del cuadado equivalente a las cinco cicunfeencias. Hoja 3/4

4 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. F' M'' E' A' D' O''' ap L'' M' B' I' ' G' H' L 5 Obtención del pentágono. En este caso hay que utiliza el pocedimiento de semejanza, aunque de momento solo conocemos el lado L4 del cuadado equivalente a las cinco cicunfeencias. Paa pode aplica la semejanza hay que detemina el cuadado equivalente a un pentágono cualquiea de lado L'', pocediendo así: P/2 = semipeímeto ap=apotema 1. Se dibuja un pentágono A'B''D'E' de lado L''. 2. Se polonga el lado A'B', llevando sobe él el lado y la mitad de este, obteniendo así el segmento F'G'. 3. A este segmento se le suma la apotema, ap, obteniendo el segmento F'H'. 4. Se dibuja la semicicunfeencia de diámeto F'H'. 5. Po el punto G' se dibuja la línea pependicula al segmento F'H', cotando a la semicicunfeencia en el punto I'; el segmento G'I' es el lado L 5 buscado. D'' N'' Esto último ha sido la aplicación gafica, de la media popocional ente el áea del pentágono egula, P x ap / 2 (peímeto x apotema/2), y el lado, L5 obtenido. L 4 E'' L 5 A'' M L'' B'' '' 1. Ahoa se aplica la semejanza, dibujando un tiángulo ectángulo A''M de catetos L'' y L5. 2. Se lleva sobe el cateto A''M, a pati del punto A'' el lado L4, del cuadado equivalente de las cinco cicunfeencias, obteniendo el segmento A''N. 3. Po el punto N se dibuja una línea paalela a la hipotenusa M, que cota a la polongación del cateto A'' en el punto B'', siendo el segmento A''B'' el lado L''' del pentágono buscado. L''' Hoja 4/4

5 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. D E O G AF/2 A B F Pate pimea: Dibujo del pentágono. Teniendo en cuenta que el lado de un pentágono egula es la sección auea de su diagonal, se tiene la siguiente constucción: 1. Se dibuja la diagonal AF hoizontal. 2. Po el punto F se dibuja una línea pependicula al segmento AF, de longitud la mitad de este segmento, es deci, OF = AF/2. 3. on cento en O se dibuja un aco de adio OF, que cota a la línea AO en el punto G. 4. on cento en A se dibuja un aco de adio AG, que cota al segmento AF en el punto B. Ya tenemos el lado AB de nuesto pentágono. 5. on cento en A y B se dibujan dos acos de adio la diagonal, es deci el segmento AF, que se cotan en el vétice D del pentágono. 6. on cento en A y B se dibujan dos acos de adio el lado AB, que cotan a los anteioes acos en los vétices E y espectivamente, completando así el pentágono ABDE. Hoja 1/4

6 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. D T 4 T 3 M d O'' M c E T 1 T 2 O' A B Pate segunda: dibujo de las cicunfeencias tangentes. omo las cicunfeencias son de igual adio y tangentes dos a dos ente si y además a los lados del pentágono; el poblema se educe a dibuja la cicunfeencia que es tangente al cuadiláteo MdDMcO', quinta pate del pentágono, siendo M d y Mc los puntos medios de los lados ED y D y O' el cento del pentágono, luego el poceso el siguiente: 1. Se deteminan los puntos medios M d y Mc. 2. omo el cento, po la simetía está en la línea DO', que esulta que es la bisectiz del ángulo D, también tiene que esta en la bisectiz del ángulo M d, po lo tanto 3. Se dibuja la bisectiz del ángulo DM do', que cota a la línea DO' en el cento buscado O''. 4. Desde este cento se dibujan líneas pependiculaes a los lados del cuadiláteo, obteniendo los puntos de tangencia T1,, T4. 5. Se dibujan todas las altuas del pentágono. 6. Se dibujan las dos cicunfeencias, la de los centos de adio O'O'' y cento O' y la de los puntos de tangencia de cento, también O' y adio el segmento O'T 1, po ejemplo. Pocediendo ahoa al dibujo del esto de las cicunfeencias tangentes. Hoja 2/4

7 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. L' L W Ñ π x G H P R T N L 3 L 4 Q L 3 L 2 L S Apatado teceo: obtención del pentágono equivalente a las cinco cicunfeencias. Este apatado lo vamos a dividi en dos: cuadatua de las cinco cicunfeencias y obtención del pentágono pedido. uadatua de las cinco cicunfeencias. 1. Se ealiza, de manea paecida a como se ha hecho en ejecicios anteioes, la cuadatua de una de las cicunfeencias, obteniendo el lado. 2. Ahoa po duplicaciones sucesivas, obtenemos: el lado L 2, diagonal del cuadado de lado L1, cuya áea es el doble que la del lado L1. 3. El lado L3, diagonal del cuadado de lado L 2, cuya áea es el doble que la del lado L A este último lado, L3, se le aplica el teoema de Pitágoas, con el lado, obteniendo el lado L4 del cuadado equivalente a las cinco cicunfeencias. Hoja 3/4

8 1. Dibuja el pentágono egula de diagonal 120 mm. F' M'' E' A' D' O''' ap L'' M' B' I' ' G' H' L 5 Obtención del pentágono. En este caso hay que utiliza el pocedimiento de semejanza, aunque de momento solo conocemos el lado L4 del cuadado equivalente a las cinco cicunfeencias. Paa pode aplica la semejanza hay que detemina el cuadado equivalente a un pentágono cualquiea de lado L'', pocediendo así: P/2 = semipeímeto ap=apotema 1. Se dibuja un pentágono A'B''D'E' de lado L''. 2. Se polonga el lado A'B', llevando sobe él el lado y la mitad de este, obteniendo así el segmento F'G'. 3. A este segmento se le suma la apotema, ap, obteniendo el segmento F'H'. 4. Se dibuja la semicicunfeencia de diámeto F'H'. 5. Po el punto G' se dibuja la línea pependicula al segmento F'H', cotando a la semicicunfeencia en el punto I'; el segmento G'I' es el lado L 5 buscado. D'' N'' Esto último ha sido la aplicación gafica, de la media popocional ente el áea del pentágono egula, P x ap / 2 (peímeto x apotema/2), y el lado, L5 obtenido. L 4 E'' L 5 A'' M L'' B'' '' 1. Ahoa se aplica la semejanza, dibujando un tiángulo ectángulo A''M de catetos L'' y L5. 2. Se lleva sobe el cateto A''M, a pati del punto A'' el lado L4, del cuadado equivalente de las cinco cicunfeencias, obteniendo el segmento A''N. 3. Po el punto N se dibuja una línea paalela a la hipotenusa M, que cota a la polongación del cateto A'' en el punto B'', siendo el segmento A''B'' el lado L''' del pentágono buscado. L''' Hoja 4/4