UNIDAD IV Poliedros SESIÓN 19 Poliedros Radiales: Prismas

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1 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS UNI IV Poliedos SSIÓN 9 Poliedos Radiales: Pismas Joge Luis aldeón Salcedo

2 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS 4. oncepto y clasificación de sólidos geométicos Un sólido geomético es una egión del espacio limitada po cietas supeficies que pueden se planas o cuas. ependiendo de las caacteísticas que pesentan esas supeficies, es posible ealiza una clasificación como la que se muesta en la Tabla #. TL # : lasificación de los Sólidos Geométicos de acuedo a la supeficie que los define. POLIROS IRRGULRS RGULRS O PLTÓNIOS S RGULR RTOS S IRRGULR PRISMS S RGULR OLIUOS S IRRGULR S RGULR RTS S IRRGULR PIRÁMIS S RGULR OLIUS S IRRGULR OMINIONS Y PRTS OTROS POOLIROS Tetaedo, Hexaedo, Octaedo, odecaedo, Icosaedo. SRROLLLS ONOS URPOS RONOS SÓLIOS OMPUSTOS RGLOS O SIMPL URVTUR LOS ILINROS onoide, ilindoide, Hipeboloide de una oja, etc. OL RVOLUIÓN sfea, Too, lipsoide de Reolución, etc. URVTUR NO RVOLUIÓN RSULTO L OMINIÓN SÓLIOS ISTINT NTURLZ. La deteminación de los distintos elementos que componen un sólido geomético y el tazado de su poyección constituyen la síntesis de todos los temas estudiados peiamente en este libo. s entonces obligatoio el buen dominio de los conocimientos teóicos y de los pocedimientos instumentales peliminaes, paa loga el coecto empleo de las eamientas con las que se cuenta paa obtene buenos esultados en la esolución de los poblemas que an de se abodados. Los Poliedos son cuepos cuya supeficie limitante está compuesta exclusiamente po planos (supeficie po iédica), l los cuales confoman un númeo deteminado de ca as. su ez, los segmentos de ecta geneados po la intesección de caas adyacentes constituyen las aistas del poliedo. stas aistas conegen en un númeo no infeio a 3 en puntos denominados étices del poliedo. Joge Luis aldeón Salcedo

3 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS 4.2 Poyección cilíndica otogonal de un Poliedo La poyección de cualquie poliedo sobe un plano siempe es un polígono, cuyos étices son el esultado de la intesección ente los ayos poyectantes tangentes al sólido que pasan po sus étices y el plano de poyección consideado. ico polígono constituye, a su ez, la poyección de la Línea de ontono paente del poliedo en el plano de poyección; esta línea poligonal ceada puede no se plana sino alabeada, es isible en la poyección y es la fontea ente las caas isibles y las no isibles del sólido. H G ualquie étice de un poliedo se poyecta dento de la poyección de la línea de contono apaente coespondiente. Po ota pate, esta línea no es la misma en la poyección oizontal y en la etical, po lo que la isibilidad debe se analizada sepaadamente. ig. 4.: Poyección ilíndica Otogonal n la ig. 4. se muesta la poyección de de un Poliedo. un cubo GH sobe el plano oizontal. La poyección del poliedo es el polígono G H, poyección oizontal de la poligonal alabeada GH, que es la línea de contono apaente en la poyección oizontal consideada. omo puede obsease en la figua, las caas GH, y G se encuentan po encima de la línea de contono apaente, po lo que las aistas comunes a esas caas se epesentan con línea continua en la poyección. Po el contaio, las caas estantes se allan po debajo de la mencionada línea, lo que justifica el tazado de las poyecciones de las aistas, y H con línea de tazos, pues son aistas inisibles en la poyección. 4.3 Pismas Los poliedos iegulaes pesentan caas y aistas de difeentes tamaños. Pueden se clasificados en pismas y piámides, en función de la supeficie poliédica que los limita. l P sma, i es un poliedo limitado po una supeficie pismática, la cual se compone de planos cuyas intesecciones ente sí son paalelas. ada una de esas intesecciones es la ecta común a dos planos como máximo. fin de limita el espacio dento de la supeficie pismática, ésta es cotada po dos planos paalelos y, dando luga a dos polígonos iguales llamados bases y en la ig los cuales pueden se egulaes o no. Las demás caas del pisma son denominadas caas lateales, que son las caas de la supeficie pismática, cuyo númeo es igual al númeo de étices que tienen los polígonos que confoman las bases y constituyen, en cualquie caso, paalelogamos. H G PH Joge Luis aldeón Salcedo

4 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS J O SS O PLNOS S SUP. PRISMÁTI R LTRL ig. 4.2: Pisma simismo, las aistas esultantes de la intesección ente las caas lateales del sólido eciben el nombe de aistas lateales, siendo aistas básicas las esultantes de la intesección ente la supeficie pismática y los planos que contienen a las bases, es deci, los lados de los polígonos base. La ecta que pasa po los centos O y O de cada una de las dos bases del pisma se denomina eje del sólido, y es paalela a sus aistas lateales. Si este eje - y po consiguiente las aistas lateales es pependicula a los planos de base, el pisma seá ecto; si es oblicuo a dicos planos, el sólido se denomina oblicuo. La meno distancia ente los planos de base se conoce como ltua del pisma (H), y esulta se igual al segmento O O si se tata de pismas ectos. Los siguientes tópicos efeentes a pismas se enfocan exclusiamente en aquellos cuya base es un polígono egula y en los que el eje es pependicula a los planos base, es deci, pismas ectos de base egula Secciones Notables de Pismas Rectos de ase Regula Las secciones más impotantes desde el punto de ista geomético en cualquie pisma ecto de base egula son las Secciones Sencillas (ig. 4.3) y las Secciones Pincipales (ig. 4.4). Las Secciones Sencillas de un pisma son el esultado de la intesección ente planos paalelos al eje del sólido y el popio sólido. Su foma es de paalelogamos con dos lados Joge Luis aldeón Salcedo

5 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS opuestos de longitud igual a la del segmento del eje OO. Las secciones sencillas seán ectangulaes si el sólido es ecto. K K M M O O ig. 4.3: Secciones sencillas de Pisma Recto con ase Regula. L L Las Secciones Pincipales de un pisma contienen las dimensiones más eleantes del poliedo: la altua y la diagonal de base o altua de base, dependiendo del númeo de étices que ésta tenga. Resultan al secciona este poliedo mediante planos que poseen las siguientes caacteísticas:. ontienen al eje del sólido. 2. ontienen a uno de los étices básicos. e lo anteio se infiee que las secciones pincipales son paalelogamos ectángulos si el pisma es ecto con dos lados opuestos de longitud igual a la del segmento OO, en tanto que los otos dos lados tienen una longitud igual a la diagonal de base, paa el caso de pismas con un númeo de étices básicos pa (ig. 4.4-a), o a la altua de base, si se tata de pismas con un númeo de étices básicos impa (ig. 4.4-b). l númeo de secciones sencillas en un pisma es indeteminado; po el contaio, el númeo de secciones pincipales es igual al númeo de étices básicos que posee el poliedo. s eidente que, si el pisma consideado es un pisma ecto, cada uno de los planos de sección sencilla y de sección pincipal es pependicula a los planos de base. O M O O ig. 4.4-a O ig. 4.4-b M ig. 4.4: Sección Pincipal de un Pisma Recto con ase Regula. Joge Luis aldeón Salcedo

6 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS Poyección cilíndica otogonal de un Pisma Recto de ase Regula. Las caacteísticas de la poyección de la línea de contono apaente de un pisma ecto de base egula sobe un deteminado plano de poyección, dependen de la posición elatia ente este plano y el eje del poliedo. sí, si el eje es paalelo al plano de poyección, el pisma se poyecta como un ectángulo de altua igual a la altua del pisma (ig. 4.5-a); si el eje es pependicula al plano de poyección, el pisma se poyecta como un polígono igual a la base (ig. 4.5-b); finalmente, si el eje es oblicuo al plano de poyección, el esultado es un polígono genealmente iegula con un númeo de lados mayo a cuato (ig. 4.5-c). Si en el pime caso el ectángulo coesponde a una sección pincipal, la posición del pisma en elación con el plano de poyección se considea una posición notable, ya que la sección pincipal es un polígono que contiene dos dimensiones fundamentales del pisma: la altua y una diagonal de caa o una altua de caa, dependiendo del númeo de étices básicos que posee. PH ig. 4.5-a PH = = = PH ig. 4.5-b ig. 4.5-c ig. 4.5: Poyección cilíndica otogonal de un Pisma Recto de ase Regula. Joge Luis aldeón Salcedo

7 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS simismo, el segundo caso constituye ota posición notable del pisma con especto al plano de poyección, dado que la poyección coespondiente epesenta el edadeo tamaño de las bases del poliedo. omo egla geneal puede establecese que si se conoce la sección pincipal de un pisma, o una de las bases y la magnitud de la altua del poliedo, éste queda completamente deteminado. π LT 0 P P π R R d R a R ig. 4.6-a onsidéese el siguiente ejemplo (ig. 4.6): se quiee constui las poyecciones diédicas de un pisma ecto de base egula exagonal, conocidos los étices y y el punto P, éste último sobe el plano que contiene a la sección pincipal, y sabiendo que las aistas básicas tienen una longitud a. Se tomaá la solución de meno cota paa el étice. Los puntos conocidos en un pincipio pemiten defini el plano de una de las secciones pincipales. Su constucción seá la clae paa la esolución de este poblema. Joge Luis aldeón Salcedo

8 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS π 0 LT P P π ig. 4.6-b l pime paso consiste en alla una poyección en la que el plano π, definido po los puntos, y P y que contiene a la sección pincipal. apaezca en edadeo tamaño. sto se a ealizado aplicando un abatimiento en tono a la taza oizontal π. continuación, se a constuido un exágono auxilia de lado igual a la longitud a de las aistas básicas del pisma, obteniéndose así la longitud d de la diagonal de base (ig. 4.6-a). Luego se constuye una semicicunfeencia de diámeto igual a la longitud R R, sobe la cual se encuenta R po se el aco capaz de noenta gados. xisten dos soluciones paa ese aco; se a tomado la de meno cota. Haciendo cento en R y con adio igual a la diagonal de base d, se taza un aco que cota al anteio en R, luego, aplicando paalelismo ente ectas, se detemina el punto R (ig. 4.6-a). Seguidamente, se allan las poyecciones diédicas de los étices y, paa luego constui el plano de base infeio, el cual es pependicula a las aistas lateales y y contiene a los puntos y. Mediante un abatimiento de los puntos y del plano en tono a su taza oizontal, se a logado constui el edadeo tamaño de la base infeio, a pati del cual se obtienen las poyecciones diédicas de dica base. n ista de que se tata de un pisma ecto de base exagonal egula, existe paalelismo ente las aistas lateales y ente las aistas básicas opuestas, po lo que se a apoecado esa elación en la constucción de la caa supeio (ig. 4.6-b). inalmente, es necesaio analiza las pates isibles y las no isibles en cada una de las dos poyecciones diédicas. Siendo el étice de meno cota, es un punto inisible en la Joge Luis aldeón Salcedo

9 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS poyección oizontal, po tanto, la aistas conegentes en ese étice son inisibles en dica poyección, a menos que sean pate de la línea de contono apaente. e igual manea, se deteminan las aistas no isibles en poyección etical; siendo el étice de meno uelo, las aistas conegentes en este étice seán inisibles, a menos que fomen pate de la línea de contono apaente (ig. 4.6-c). π LT P P π ig. 4.6-c JRIIOS PROPUSTOS. etemine la doble poyección otogonal de un pisma ecto de base exagonal egula sabiendo que sobe la ecta e se encuenta el eje del sólido y que es un étice básico. La altua del poliedo es de 60mm. Visibilidad. e [ ( 40,4,53),2( 70,9,28) ] ( 50,08,9) 2. etemine la doble poyección otogonal de un pisma ecto de base tiangula equilátea sabiendo que sobe la ecta m se encuenta la aista lateal del sólido y que el punto M es el punto medio del eje OO. Visibilidad. M [ ( 30,97,63),2( 70,74,30 ] ( 77,40,58) m ) Joge Luis aldeón Salcedo

10 SISTMS RPRSNTIÓN 0 POLIROS 3. etemine las poyecciones diédicas de un pisma e4cto de base cuadada, sabiendo que X es un punto peteneciente a la aista. efina la isibilidad del sólido. X ( 64,32,00) ( 40,36,5) ( 94,42,65) Joge Luis aldeón Salcedo