Teorema para Calcular el área de un cuadrilátero

Transcripción

1 Teoema paa alcula el áea de un cuadiláteo ilton Favio onaie eña El siguiente polema pulicado el 1 de Feeo del 2018, en la evista Tiangulos ai 1, nos pemitiá mosta algunos esultados inteesantes. olema 867 Tiangulosai Sea L el simético de especto de en el lado de un tiángulo, cuya cicunfeencia inscita es tangente a, y en los puntos S, T y espectivamente. La pependicula a po T inteseca a la ecta S en el punto. es un punto en el segmento L uicado de modo que S iseca a. alcule el coseno del ángulo en función de las áeas de las egiones L y. opuesto po ilton F. onaie eña Llegaemos a la solución del polema encontando unos esultados pevios soe egiones tiangulaes y cuadangulaes. imeo nos asamos en un eco astante conocido: El luga geomético de todos los puntos que foman los tiángulos y con dos segmentos y contenidos difeentes lados de un ángulo, tal que se cumpla que la suma de las áeas de las egiones y es constante, es una ecta. Esto se puede demosta, tasladando los segmentos y asta el vétice O del ángulo, de modo que y se uiquen en O; y se convietan en y espectivamente; así la suma de las egiones tiangulaes en estudio, seá igual al áea de una egión cuadangula O, se notaá que al move el punto la egión O se mantiene constante, po lo que sólo 1 diigida y editada po Ricado aoso ampos con diección en ttp://pesonal.us.es/aoso/tianguloscai/ 1

2 2 aia que consegui que la egión sea constante, y ello se consigue si se mueve en una ecta paalela a. O Figue 1: [ ] + [ ] es constante sólo si se mueve en una ecta. oa aplicamos el esultado anteio a un cuadiláteo de egión convexa, paa la ecta que pasa po los puntos medios de sus diagonales, ya que: [] + [] = [] + [] = []/2 lo cual significa que dica ecta satisface el teoema anteio. Figue 2: y puntos medios de las diagonales oa saemos que cualquie punto de la ecta en cuestión deeá cumpli

3 3 el mismo esultado de la suma de áeas constante (en este caso, la mitad de la egión cuadangula), si tomamos un punto, cote de dica ecta con uno de los lados del cuadiláteo, entonces [ ] + [ ] = [ ] = []/2. Este último esultado nos pemitiá estalece un teoema simple paa calcula el áea de cualquie egión cuadangula, peo antes daemos una eve definición que nos seviá paa evita enunciados engoosos en este atículo. ependicula de Supeficie Figue 3: [ ] = []/2 En una egión cuadangula la pependicula de supeficie es el segmento que se contuye pependicula a uno de sus lados, tazado desde el punto de intesección de la ecta que pasa po los puntos medios de sus diagonales y el lado opuesto a dico lado. En un paalelogamo las ectas que pasan po su cento nos pemiten constui las pependiculaes de supeficie, y en un tapecio la ase media. Teoema 1. El áea de cualquie egión cuadangula es igual al poducto de la longitud de uno de sus lados con la pependicula de supeficie tazada acia dico lado.

4 4 Figue 4: [] = o oto lado, aemos uso de un esultado que popuse en en un gupo Soegeometias el 20 de eneo del 2013, que lo enunciaé como Teoema: Teoema 2. ado un tiángulo, con, y T como puntos de tangencia de la cicunfeencia inscita con los lados,, y espectivamente. La ecta inteseca a las pependiculaes tazadas desde T acia los lados y en X y en Y, de modo que se cumple: T X = T Y y amos tienen po longitud, la longitud de la ltua del tiángulo (altua tazada desde ). emostación Ya que m T O = m T O = m T X y ya que m XT = m O = m HO, los tiángulos XT y HT seán conguentes, de donde XT seá igual que HT e igual a la ltua del tiángulo. e la misma foma se puea que T Y = ltua.

5 5 θ θ H Y X θ O α α T Figue 5: T X = T Y = ltua olemas 867 Tiangulosai Sea L el simético de especto de en el lado de un tiángulo, cuya cicunfeencia inscita es tangente a, y en los puntos S, T y espectivamente. La pependicula a po T inteseca a la ecta S en el punto. es un punto en el segmento L uicado de modo que S iseca a. alcule el coseno del ángulo en función de las áeas de las egiones L y. S T L θ H Figue 6: Si las egiones L y L tienen igual áea, m = 60

6 6 Solución El áea de la egión es igual a altua /2, eo del teoema 2 saemos que altua = T ; es deci, el dole del áea de la egión seá igual a T. el teoema 1 aoa podemos afima que el áea de la egión cuadangula L es igual a H, entonces: H T = [L] 2[] sin( T H) = [L] 2[] cos θ) = [L] 2[] on lo anteio se tiene el coseno del ángulo pedido en función de las áeas solicitadas. gegaemos que si [L] = [], entonces el cosenos del ángulo seá 1/2, es deci θ = 60 o.

7 7 Soe la foma pesentada paa calcula el áea de una egión cuadangula odemos ace analogías inteesantes, como las mostadas a continuación, que nos pemiten entende que esta foma de calcula el áea de una egión cuadangula contiene a todos los casos paticulaes que se suelen enseña en las secuelas secundaias de pe-gado: uadiláteo aalelogamo Tapecio Figue 7: ompaaciones Tamién es posile consegui esultados análogos a los que se veifican en un tiángulo y sus cicunfeencias inscitas y ex inscitas, paa ello se dee taaja en un cuadiláteo que sea cicunsciptile a una cicunfeecia, dico cuadiláteo tendá necesaiamente a sus cuato cicunfeencias ex- inscitas elativas a sus lados como se muesta en la figua 8.

8 8 a c d a c d 1 a + + = 1 1 c + 1 d 2 Figue 8: Teoema paa las pependiculaes de supeficie [] = Figue 9: uadiláteo de egión no convexa