Cap 4: Potencial eléctrico

Transcripción

1 Cp 4: Potencil eléctico egundo Leiniz, el esultdo de ls intecciones ente ptículs se ve po el intemedi de un cmio de enegí, cuntificdo po el tjo W El tjo descie el efecto de un fuez en un intevlo del espcio- tiempo (desplzmiento de ): (3.1) W = F dl Cundo no hy pedid de enegí (fuez consevtiv): (3.2) W = U U = ( U U ) = ΔU El tjo es igul l negtivo del cmio de enegí potencil U Aplicndo l ley de l consevción de enegí: (3.3) K U = K U K K = ( U U ) El tjo de un fuez consevtiv es igul l vición de enegí cinétic K (3.4) W = ΔU = ( U U ) = K K = ΔK P l intección eléctic, l fuez de Coulom F = 0 E es consevtiv y tenemos p l enegí potencil U = 0 V donde V es el potencil eléctico l enegí potencil po unidd de cg 1

2 782 CAPÍTULO 23 Potencil eléctico 23.3 Cg positiv ue se desplz ) en l diección del cmpo eléctico E y ) en l diección opuest E. ) L cg positiv se desplz en diección de E: El cmpo eliz un tjo positivo soe l cg. U disminuye. y Ej. Enegí potencil eléctic en un cmpo eléctico unifome Dos plcs plels sepds F 5 0 E po un distnci d poducen un cmpo unifome E = E Po definición l fuez eléctic, F = 0 Eŷ, cundo y y l ptícul (positiv) Ose mueve po jo soe el eje y, soe un distnci d =, poducen un tjo igul l negtivo de l difeenci de enegí potencil: jo, en l mism diección ue E ; (3.5) W = F d l E Cundo y O es myo ue y (figu 23.3), l cg de pue positiv 0 se mueve hci el desplzmiento tiene El lug tjo en elizdo l mism po diección ue l fuez F 5 eléctic es el mismo p culuie 0 E, po lo ue el cmpo eliz tjo positivo y U disminuye. l fuez tyectoi de : [En pticul, si y 2 y 5 d como en l figu 23.2, l ecución (23.6) d W 5 0 Ed W = 0 E cos(0 5 2DU 5 0 Ed. en concodnci con l ecución (23.4).] Cundo y )dl = 0 E( ) es meno ue y (figu 23.3), l cg de pue positiv 0 se mueve hci i, en diección opuest E ; el desplzmiento se opone l fuez, el cmpo hce un tjo negtivo y U ument. i l cg de pue 0 es negtiv, l enegí potencil ument cundo se mueve fvo del cmpo y disminuye cundo se mueve en cont del cmpo (figu 23.4). e positiv o negtiv l cg de pue, se plic l siguiente egl genel: U ument si l cg de pue ( 0 se mueve ) = en l 0 Ediección ( opuest ) l fuez eléctic F 5 0 E (figus 23.3 y 23.4); U disminuye si 0 se mueve en l mism diección ue F 5 0 E (figus 23.3 y 23.4). Éste es el mismo compotmiento ue p l enegí potencil gvitcionl, l cul ument si un ms m se mueve hci i (en diección opuest l diección de l fuez gvittoi) y disminuye si m se mueve hci jo (en l mism diección ue l fuez gvittoi). Y esto coesponde un difeenci de enegí potencil (3.6) W = ΔU = U U Este esultdo implic ue U = 0 E y U = 0 E y de fom genel (3.7) U = 0 Ey V = U 0 = Ey y Cg puntul ue se mueve en un cmpo eléctico unifome y Que se mide = el efecto fecuenci. el Tmién de l es intección un elción ue euiee eléctic cieto esfuezo = el tjo p compendese del todo. Tómese el tiempo necesio p evis el páfo nteio y estudie con cuiddo ls figus Esto es l difeenci 23.3 y Hcelo de enegí le seá de gn potencil utilidd más delnte! (l enegí potencil en un punto sólo no tiene sentido físico) Enegí potencil eléctic de dos cgs puntules El movimiento ntul de l cg (tjo positivo) v en el sentido de un eléctico unifome. En elidd, este concepto se puede plic un cg puntul en disminución de l enegí potencil eléctic E 0 F 5 0 E g positiv 23.4 Un ue cg se negtiv ) L ue cg positiv ) L cg se desplz negtiv en se diección desplz de en E: l diección ) L de cg E: positiv ) L cg se desplz negtiv en se diección desplz opuest en diección E: opuest E: ) en se l desplz diección ) del en diección El cmpo eliz un tjo positivo soe l cg. El cmpo eliz un tjo negtivo soe l cg. eléctico E El cmpo eliz tjo negtivo soe l cg. El cmpo eliz tjo positivo soe l cg. del cmpo y ) en eléctico l E y U disminuye. y U ument. y ón opuest E U ument. y U disminuye. y ) en diección. opuest E. Compe con l figu E E F 5 E 0 E E F 5 0 E ) L cg positiv se desplz en diección opuest E: El cmpo eliz un tjo negtivo soe l cg. U ument. y E y F 5 0 E O CUIDADO Enegí potencil eléctic L elción ue hy ente el cmio en l enegí potencil eléctic y el movimiento en un cmpo eléctico es muy impotnte, y se utilizá con L ide de l enegí potencil eléctic no se estinge l cso especil de un cmpo culuie cmpo eléctico genedo po un distiución de cg estátic. Recuede, y d y y y y O O y y y y F 5 0 E O O F 5 0 E Cundo y es myo ue y (figu 23.3), l cg de pue positiv 0 se mueve hci jo, en l mism diección ue E ; el desplzmiento tiene lug en l mism diección ue l fuez F 5 0 E, po lo ue el cmpo eliz tjo positivo y U disminuye. [En pticul, si y 2 y 5 d como en l figu 23.2, l ecución (23.6) d W 5 0 Ed en concodnci con l ecución (23.4).] Cundo y es meno ue y (figu 23.3), l cg de pue positiv 0 se mueve hci i, en diección opuest E ; el desplzmiento se opone l fuez, el cmpo hce un tjo negtivo y U ument. i l cg de pue 0 es negtiv, l enegí potencil ument cundo se mueve fvo del cmpo y disminuye cundo se mueve en cont del cmpo (figu 23.4). e positiv o negtiv l cg de pue, se plic l siguiente egl genel: U ument si l cg de pue 0 se mueve en l diección opuest l fuez eléctic F 5 0 E (figus 23.3 y 23.4); U disminuye 2 si 0 se mueve en l mism diección ue F 5 0 E (figus 23.3 y 23.4). Éste es el mismo compotmiento ue p l enegí potencil gvitcionl, l cul ument si un ms m se mueve hci i (en diección opuest l diección de l fuez gvittoi) y disminuye si m se

3 Enegí potencil eléctic elciond dos cgs puntules L cg 0 se desplz de lo lgo de un líne dil desde E L cg de pue 0 se desplz de lo lgo de un tyectoi iti F E 23.6 El tjo 0 po el cmpo depende de l t sino sólo de ls 0 0 d f dl d E egund l ley de Coulom: (3.8) F = Como l fuez dil no es constnte (disminuye con el inveso del cuddo de l distnci) el tjo se clcul po un integl de líne: (3.9) W = F dl = F d = 0 d = olmente depende de los punto extemos el tjo coespondiente un fuez eléctic es un integl de líne ue no depende del cmino L ptícul se desplz de siguiendo dos cminos difeentes: (3.10) W = F dl = F cosϕ dl Peo cosφdl = d, l poyección de l fuez soe el cmino es no ceo solo en l diección dil (3.11) W = F dl = F d = 0 d 4πε 0 2 Esto es un compotmiento popio un fuez consevtiv, el tjo no depende del cmino, y existe un potencil tl ue: (3.12) W = ΔU Po lo tnto p un cmino cedo un fuez consevtiv d siempe: (3.13) W = F dl = ΔU = 0 3

4 L fuez como gdiente de un potencil Un intepetción euivlente p el tjo elciondo con un fuez consevtiv es de conside el gdiente de un potencil Po definición, el tjo est igul un difeenci de enegí potencil: (3.14) W = ΔU = U U L enegí potencil eléctic tiene l fom: (3.15) U = 1 0 Peo como l fuez de Coulom tiene l fom F = 1 0 vemos ue 2 (3.16) F = U = 1 0 = En genel p un fuez consevtiv: L fuez suge de un potencil L fuez es el negtivo del gdiente de l enegí potencil El tjo es independiente del cmino 4

5 Ej. Intección ente positón y ptícul α El positón e es l ntiptícul del electón: tiene l mism ms m e = kg y cg, peo positiv e = C Cundo el positón se encuent un distnci = m (1 Å) de un ptícul α (el núcleo de un átomo de He con cg 2e y ms m α = 2m p 2m n ) se lej un velocidd de m s 1 ; cul seá su velocidd cundo lleg 2 o l infinito P esolve este polem st plic el pincipio de enegí cinétic K U = K U K = ( K U ) U Po definición U = J y K = 1 2 m v 2 e J Flt solmente se l enegí potencil 2 U = 1 0 = 1 0 = U J Po lo tnto K = K U ( ) U J Usndo l definición de l enegí cinétic v = 2K m e m s Aplicndo l mism elción, l enegí potencil l infinito es U = 1 0 = 0 Po lo tnto K = ( K U ) J y l velocidd v = 2K m e m s 5

6 Difeentes intepetción de l enegí potencil de un sistem de cgs En cso ue tenemos más ue un cg, l enegí potencil eléctic es un sum lgeic de ls enegís potenciles individules: (3.17) U = N 1 2 N = N 0 i i=1 i Del oto ldo, l distiución de cgs mism tiene su popi enegí potencil: (3.18) U = 1 i j i< j ij L sum se extiende tods pes de cgs, no se pemite i = j (uto intección ue no fz sentido físicmente), y se cuent solmente l intección de cd pes sólo un vez ( i < j ) Esto llev dos intepetción posile p el tjo Considemos un ejemplo: Empezmos con dos cgs 1 = e x = 0 y 2 = e en x = y ueemos pone un tece cg 3 = e x = 2 Po definición el tjo ue se dee hce soe 3 po un fuez exten es igul l difeenci de enegí potencil de U U 2 ; peo po definición U = 0 ue nos dej ue el tjo es igul : W = U 2 = = e e 2 e = e2 8πε 0 El tjo W > 0 ue sugiee ue l fomción del sistem implic un umentción de enegí potencil igul un tjo cont l epulsión de ls cgs del sistem Del oto ldo, l enegí potencil del sistem fomdo de ls 3 cgs es: U = 1 i j = i< j ij = 1 e 2 e2 2 e2 = e2 8πε 0 L enegí potencil del sistem es más j ue l enegí potencil cundo ls ptes son sepds l infinito e dee ument l enegí del sistem, W > 0, p llev sus ptes l infinito l enegí potencil es igul l negtivo de l enegí de enlce del sistem 6

7 El potencil eléctico egundo l definición de l enegí potencil eléctic se define el potencil eléctico como: (3.19) V = U 0 Ls uniddes del potencil eléctico [ V ] = J = Volt (Alessndo Volt ) C Donde 1 volt = 1 J/C Po definición del tjo vemos ue: W (3.20) = ΔU = U U = V V = V Donde V es l difeenci de potencil eléctico ente y = voltje Cundo se conside un cg uniti positiv, el voltje en dos puntos es igul l tjo elizdo po l fuez eléctic (o el tjo ue se dee efectu cont l fuez eléctic p move un cg uniti positiv de ) e puede medi el voltje usndo un voltímeto (de µv pv (10 12 V )) P un cg puntul: (3.21) V = U = 1 0 P un sum de cgs: (3.22) V = 1 P un distiución continu de cgs: (3.23) V = 1 N i i=1 i d 7

8 Relción con cmpo eléctico Es más ntul detemin el potencil eléctico á pti del cmpo eléctico ue de l fuez de Coulom, usndo l elción F = 0 E (3.24) P E dl W = 1 F dl 0 0 = E dl = V V > 0 el potencil eléctico disminuye V > V Po definición l unidd del cmpo eléctico E = N C = V m P sistems tómicos y nuclees cundo un ptícul de cg se desplz desde un punto de potencil V un punto de potencil V, el cmio de enegí potencil ΔU es igul (3.25) U U = ( V V ) = V i l cg es uniti e = C, un difeenci de potencil V = 1volt (3.26) U U = J = 1 ev (electón volt) Aceledo linel Un potón con cg e = C se desplz soe un distnci d = 0.50m en líne ect dento del celedo El cmpo unifome dento del celedo es de E = V m l fuez coespondiente es F = E N en l mism diección ue el desplzmiento El tjo es igul W = Fd J Femi Ntionl cceleto puede lcnz hst 0.98 Tev (10 12 ev ) 1eV o en unidd de ev W J 7.5MeV Esto coesponde un difeenci de potencil V = W > > J C o V ( ) 8

9 Ejemplos de potencil: esfe conducto con cg 0 0 Usndo l ley de Guss encontmos ue el cmpo eléctico l inteio de l esfe es ceo R Al exteio de l esfe, el cmpo eléctico es igul E = 1 y en l 2 supeficie E = 1 R 2 Considendo el potencil eléctico l infinito como ceo, el potencil un distnci de l supeficie es ddo po l e. (3.21): E 5 0 O O E V 1 E 5 4pP R V 5 4pP 0 R 1 E 5 4pP 2 0 V 5 1 4pP 0 (3.27) V = 1 y en l supeficie (3.28) V = 1 R Al inteio de l esfe el cmpo est ceo Quiee deci ue no hy tjo soe un cg de pue se desplzndo l inteio de l esfe Implic ue el potencil eléctico dee se > constnte Po lo tnto, dee se igul l potencil eléctico l supeficie V = 1 R 9

10 Un consecuenci impotnte del ejemplo nteio es el potencil máximo de un conducto esféico en el ie Este potencil est limitdo po l ionizción de ls moléculs del ie ue se ton conducto (uptu dieléctic) con un cmpo E m V m Compndo el potencil l supeficie de un esfe conducto con el cmpo eléctico, el potencil máximo es igul : (3.29) V m = RE m P R = 1cm, esto coesponde 30000V; si se intent ument l cg soe el conducto, se povocí ionizción, el ie seí conducto y l cg se escpí P lcnz lto voltje se necesit ument R P un esfe de 2m, Vm lleg 6MV P ument ls cgs de los genedo de Vn de Gff se colocn en tnues lleno de gs como F6 (hexfluouo de zufe) ue tiene vlo myo de Em Cundo un conducto tiene un yo muy peueño, ojeto fildo o lme fin, peueñs cgs son suficientemente p ioniz el ie l coiente esultnte y su esplndo se llm coon P evit l coon en ls ntens dio l coon poduce estátic se pone un esfe metálic en el extemo de ls ntens Los pyos metálicos son otos ejemplos: pemiten de evcu el exceso de cg en l tmósfe, como ocue dunte ls toments En el extemo omo se cumul un cntidd sustncil de cg del signo contio. Cundo l cg tmosféic se descg tvés de elámpgos, tiende se tíd hci el pyos Un cle conducto ue conect el pyos con l tie pemite ue l cg duiid se disipe en fom inofensiv Un pyos con extemo gudo pemitií ue se cumul menos cg y po ello seí menos eficz El mástil metálico en l pte supeio del edificio Empie tte ctú como pyos 10

11 Ej. Plcs plels con cgs opuests y E 0 y d O x El potencil en l coodend y es l enegí potencil po unidd de cg ( ) = U ( y) V y 0 = 0Ey 0 = Ey > e h elegido ue U ( ) = 0, si no hí sido V ( y) V = Ey El potencil disminuye confome se mueve de l diección del cmpo eléctico de l plc supeio l plc infeio; po definición > V V = Ed E = V V d = V d Donde V es el potencil de l plc positiv con espeto l plc negtiv A pti de este esultdo podemos medi l densidd supeficil de cg, usndo el hecho ue E = σ ε 0 encontmos ue E = V d = σ σ = ε V 0 ε 0 d L densidd supeficil de cg en l plc positiv es diectmente popocionl l difeenci de potencil ente ls plcs 11

12 Ej. Líne de cg infinit o cilindo conducto ) E ) E R El cmpo eléctico un distnci de un líne ect de cg tiene l fom E = 1 λ 2πε 0 Po definición de l difeenci de potencil V V = E dl = E d = λ 2πε 0 d = λ ln 2πε 0 i se tom el punto l infinito con potencil ceo, V = λ 2πε 0 ln = Este esultdo es un consecuenci de un distiución de cg ue se extiende l infinito; peo como l definición de V = 0 es iti, escogimos ue V = 0 un punto 0 iti; po lo tnto V ( ) = λ ln 0 2πε 0 P un cilindo, se puede tom V = 0 l supeficie del cilindo y p > R V ( ) = λ ln R 2πε 0 En el inteio del cilindo, E = 0 y el potencil tiene el mismo vlo (ceo) ue en l supeficie 12

13 800 CAPÍTULO 23 Potencil eléctico Cundo ls cgs están en eposo, un supeficie conducto siempe es un supeficie euipotencil. Ls línes de cmpo son pependicules un ecciones tnsvesles de supeficies euipotenciles (línes zules) y línes de cmpo eléctics (línes ojs) p eglos de cgs upeficies puntules. Hy euipotenciles difeencis de igules ente supeficies dycentes. supeficie Compe conducto. estos digms con los de l figu 21.29, ue sólo muestn línes de cmpo eléctics. ) Un sol cg positiv ) Un dipolo eléctico c) Dos cgs igules positivs V V V V V V V V V V V V V 5 0 V V V V V V V Línes de cmpo eléctico upeficies euipotenciles = supeficie en 3D soe l cul el potencil eléctico es igul en todos los puntos Euipotenciles y co Cundo un ptícul se mueve soe un supeficie euipotencil el cmpo En todos los puntos de l supeficie eléctico no hce tjo de un conducto, el cmpo eléctico dee Línes de cmpo eléctico y supeficies se pependicul euipotenciles l supeficie. son i E siempe pependicules (celeción es ceo tuvie soe un componente el euipotencil, tngencil, ue explic ue el tjo es ceo) Cundo tods ls cgs están en eposo, l supeficie de un conducto siempe es un supeficie euipotencil Cundo tods ls cgs están en eposo, el cmpo eléctico justo fue de un conducto dee se pependicul l supeficie en cd punto, si no un tjo seé hecho po el cmpo (y hí un coiente) V V V V ecciones tnsvesles de supeficies euipotenciles E ecciones tnsvesles de ls supeficies euipotenciles se elizí un cntidd net de tjo soe un cg de pue l movel en un espi como l ue se ilust, lo ue es imposile poue l fuez eléctic es consevtiv. Un cmpo eléctico imposile i el cmpo eléctico inmeditmente fue de un conducto tuvie un componente tngencil E i, un cg podí movese en un espi con tjo neto elizdo. E ' E i E E 5 0 Vcío Conducto Cvidd en un conducto. i l cvidd no contiene cg, todos los puntos de tl cvidd están l mismo potencil, el cmpo eléctico es igul ceo en culuie lug de ell, y no hy cg en ningún lug soe su supeficie. A ección tnsvesl de un supeficie euipotencil tvés de P B P Conducto upeficie gussin (en sección tnsvesl) upeficie de l cvidd poue el cmpo efectú un g de pue en un desplzm puntul en l figu o e ue en ests egiones ls líne logí diect con l fuez de l un mp topogáfico donde l s, en ls zons en ue el cm sepds; en l figu negtiv o l deech de l p s cgs en l figu 23.24c intesecn en el cento de l fi sucede. De hecho, se tt de CUIDADO E no necesit s supeficie euipotencil dd, el go, en genel l mgnitud de un supeficie euipotencil. Po V V 230 V en l figu 23.24, l m ue es ente ls dos cgs. En l E 5 0 en el punto medio ente l distinto de ceo. El siguiente es un enuncido Cundo tods ls cgs es es un supeficie euipotenc l un supeficie euipoten cundo tods ls cgs est conducto dee se pepend se ue E 5 0 en todos los l gs se moveín. En pticul componente de E tngente gencil de E tmién es igu fue sí, un cg podí e pcilmente fue (figu 23 net de tjo elizdo so cmpos electostáticos, po lo peficie dee se igul ceo e l l supeficie en cd pun Po último, ho es posi pondiente en l sección 22.5 conducto contiene un cvid e cg net en ningún lug está dento de un cj condu punto de ls pedes inteioe em, pimeo se demuest cil. En l figu 23.27, l s euipotencil, como se c tuvie un potencil difeen tencil B difeente ue incluy Aho considee un supe ls dos supeficies euipoten ciles, se se ue el cmpo hci B, o ien, en todos los supeficie euipotencil esté el flujo tvés de est supefi fim ue l cg enced tdice nuest suposición ini potencil en P no puede se d Entonces, tod l egión d ue esto se veddeo, el cm 13

14 A ección tnsvesl de un supeficie euipotencil tvés de P B P Conducto upeficie gussin (en sección tnsvesl) upeficie de l cvidd En un situción electostátic: i un conducto contiene un cvidd en cuyo inteio donde no hy cg, entonces no puede he cg net en ningún lug de l supeficie de l cvidd e puede toc con seguidd culuie punto de ls pedes inteioes de l cj sin sufi un descg Esto es poue todos los puntos en l cvidd están l mismo potencil Demostción: 1) L supeficie conducto A de l cvidd = supeficie euipotencil 2) upong el punto P un potencil difeente; soe un supeficie euipotencil B difeente (incluyendo l punto P ) 3) Considee un supeficie gussin ente A y B 4) En vitud de l elción ente E y ls euipotenciles, el cmpo en cd punto ente ls euipotenciles se diige de A hci B, o vice- ves (depende de cuál supeficie esté un potencil myo) 5) El flujo tvés de est supeficie gussin es difeente de ceo 6) Peo l ley de Guss fim ue l cg enced po l supeficie gussin no puede se ceo 7) Esto contdice l suposición inicil de ue en l cvidd no hy cg 8) Po lo tnto, el potencil en P no puede se difeente del ue hy en l ped de l cvidd 14

15 Gdiente de potencil y cmpo eléctico Po definición del tjo: (3.30) V V = E d l i V V x, y,z ( ) un función escl, entonces: (3.31) V V = dv = dv Donde dv (un difeencil totl) es el cmio infinitesiml de potencil ue compñ d l (3.32) dv = E dl Po lo tnto: (3.33) dv = E d l En componentes ctesins: (3.34) E d l = E x dx E y dy E z dz y po definición de l difeencil totl: (3.35) dv = V V V dx dy x y z dz De mne ue identificmos ue: (3.36) E x = V x,e = V y y,e = V z z En fom vectoil: (3.37) E = V x î V y ĵ V z ˆk = V El cmpo eléctico es el gdiente del potencil eléctico Po definición, entonces, en cd punto l diección de E es uell en l ue V disminuye con más pidez Esto es l supeficie de euipotencil ue ps po el punto 15

16 Ej. Cmpo de un cg puntul El potencil de un cg puntul es V = 1 donde = x2 y 2 z 2 Aplicndo l definición E = V x î V y ĵ V z ˆk Deivmos po x, V x = x 1 = 1 x 2 y 2 z 2 x ( x 2 y 2 z 2 ) = x De l mism mne, encontmos ue: V y = Po definición entonces: E = V x y y V 3 z = î V y ĵ V z ˆk = z 3 = x î y 3 ĵ z ˆk 3 3 = = 2 xî yĵ z ˆk = 2 ˆ 16