PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO. , r a

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA CURSO: TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS PROFESOR: Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL Poblem Nº 1 PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO L distibución de un cg esféic está expesd po: ρ = ρ 1,, > ) Hlle l intensidd de cmpo eléctico E el potencil eléctico p b) Hlle l intensidd de cmpo eléctico E el potencil eléctico p Resolución Po ttse de un distibución esféic, h simetí en l figu, po lo tnto l esolución de este poblem puede hcese plicndo l le de Guss. ) Cálculo de E p ρ d S E Po le de Guss: Q E d S = ; Q = cg net enced po S.G. S π π 1 E(4 π ) = ρ 1 sen d dφ d = φ= = ρ ρ E = E = ; Supeficie Gussin (S.G.) P clcul utilimos l ecución: = E d Reemplndo E esolviendo luego l integl tenemos: ρ = d 15 ρ 15 = +... (1) C

2 L constnte C l hllo plicndo l condición de fonte (C.F.) siguiente: Si = ( = ) = Evlundo en l ecución (1) obtenemos que l constnte C es igul ceo: C = Luego: ρ 15 = ; p b) Cálculo de E p ρ Supeficie Gussin (S.G.) d S E Po le de Guss: Q E d S = ; Q = cg net enced po S.G. S π π 1 = = φ= = E(4 π ) ρ 1 sen d dφ d ρ ρ E = E ; 5 = 5 Hllo : Se cumple: = E d Entonces: ρ = d 5 ρ 6 4 = + C... () Si = : ( = ) ρ ρ 1 1 = = + C 15 6 ρ C = 4 Reemplndo l constnte C en l ecución () obtenemos: 4 ρ = + 4 6, p

3 Poblem Nº Se tiene un csquete semiesféico de dio, cgdo con densidd supeficil de cg constnte ubicdo tl como se muest en l figu. Clcule: ) L intensidd de cmpo eléctico en puntos sobe el eje. o b) L intensidd de cmpo eléctico en el punto o. x Resolución: P esolve este poblem se ecomiend clcul pimeo el potencil eléctico, poque es más fácil esolve un integl cuo denomindo tiene potenci uno, difeenci del exponente tes que tiene el denomindo de l integl del cmpo eléctico. De l figu mostd tenemos que: P(;; ) da=²sen d dφ (en coodends esféics) donde: = = dio de l semiesfe. Además, po le de cosenos se cumple: cos = + x o φ ' ' da

4 Cálculo del potencil eléctico en el punto P (; ; ) Sbemos que p un distibución de cg supeficil, el potencil eléctico se hll po: 1 da = 4π... (1) Reemplndo da en l ecución (1), tenemos: = 1 π π π sen d dφ ; donde: = 4 π cos φ = + = Resolviendo se obtiene: = ( + + ) Cálculo del cmpo eléctico E en el punto P (; ; ) Cundo se conoce el potencil eléctico, el cmpo eléctico se puede clcul utilindo gdiente de potencil. Es deci, se cumple que: E = -. Recod tmbién que: = x + + x (en coodends ctesins) Clculndo el gdiente del potencil plicndo E = - obtenemos: E = 1 + Cálculo del cmpo eléctico E en el punto O En el punto O (oigen de coodends): = (Ceo). Al evlu el cmpo eléctico E en = (pimeo h que levnt l indeteminción), obtenemos: E ( = ) = 4

5 Poblem Nº Demost que el cmpo eléctico en el punto (,, h), debido l ectángulo descito po x ; b b; = que pot un cg unifome de ( C/ m ) es: b E = ctg 1/ π h ( + b + h) Resolución De cuedo con el enuncido l figu coespondiente es: (;; h) ' - -b ' da b x L intensidd de cmpo eléctico E ecución: se detemin de mne diect utilindo l siguiente 1 da E = ( ) 4π... (1) De l figu: = h ; xx = + ; 1/ = ; da = dx d Reemplmos en (1): dx d E = ( h ) / k xx 4 π hdx d xdx d dx d E = 4 π / / x /

6 Debido l simetí de l figu ls dos últims integles son igules ceo, po lo tnto l ecución nteio qued: = b x= dx d /... () h + x + = b x= h E = 4 π ( ) Psndo coodends poles tenemos: b - x -b x= cos ; = sen ; x + = Los límites de ls integles seán: P : c o t g( b / ) b * tg = co tg( b/ ) P : sec * cos = = sec Luego, l ecución () equivle : Evlundo est integl obtenemos: co t g ( b / ) sec h d d E = 8 4 π ( + h ) = = / b E = co tg ( ) 1/ π h + b + h, lo cul queímos demost.