Tema 2. Sistemas conservativos

Transcripción

1 Te. Sistes conservtivos Prier prte: Dináic de l prtícul en un rect studios el oviiento de un prtícul puntul de s lo lrgo de un rect bjo l cción del potencil V (. L fuerz que ctú sobre l prtícul es F = con lo que l ª ley de Newton se epres = L energí totl del siste se define coo l su de l energí cinétic y l energí potencil (o sipleente potencil, en l for y se conserv constnte 1 = + V dt d dt Los sistes conservtivos de un grdo de libertd son integrbles. A prtir de l ecución de l energí, y en virtud de su conservción, l solución es epresble edinte un integrl. Pr l solución que stisfce l condición inicil, = en t =, l integrl del oviiento es = t ( ± ( V ( l signo debe estr de cuerdo con l dirección del oviiento. Será positivo pr un velocidd inicil positiv y negtivo pr un velocidd inicil negtiv. Coo conclusión, l solución qued fijd conocidos los dtos iniciles (, y el vlor de l energí del siste 1 = + V ( n principio, l únic dificultd nos l plnte l resolución de est integrl. Cundo el potencil se un función coplicd de, dich integrl no será fácil de evlur. n tles csos, y en todos en generl, es conveniente nticipr el tipo de oviiento de for culittiv. Pr ello utilizos los lldos digrs de energí, que eplicos continución. = (

2 V con puntos de equilibrio. Los puntos de equilibrio corresponden puntos donde se nul l prier derivd del potencil. n ese cso, l fuerz sobre l prtícul es nul, lo que perite que l prtícul se nteng indefinidente en reposo. Cundo se desplz del punto de equilibrio, el oviiento subsiguiente dependerá del vlor de l energí. Nuestro objetivo es describir culittivente l relción eistente entre el vlor de l energí y los distintos tipos de oviiento. Pr ello, dibujos el perfil de un potencil rbitrrio con distintos puntos de equilibrio. l cso que ás nos interes corresponde un potencil ( V( V b V 1 V c b c n prier lugr dibujos un líne horizontl que correspond l nivel de energí. L distnci verticl entre el nivel de energí y l gráfic de V ( 1 corresponde l cntidd, siepre yor o igul que cero. Por tnto, el oviiento se produce en l región donde l energí es yor que el potencil. s l lld región peritid. Los puntos de retroceso son quellos que stisfcen = V (. Seprn l región peritid de l región prohibid, y ellos lleg l prtícul con velocidd nul, invirtiendo el sentido de su oviiento. Un vez deliitd l región de oviiento, estudios el coportiento en su interior, principlente en l vecindd de los áios y ínios del potencil. Al cercrnos un ínio, l pendiente del potencil es negtiv <, con lo cul l fuerz ejercid sobre l prtícul es positiv. l potencil celer l prtícul hci el ínio. Cundo nos lejos del ínio, l pendiente es positiv y l fuerz ejercid es negtiv. l potencil fren l prtícul desde el ínio. Por tnto, l prtícul se

3 ve obligd oscilr respecto de los puntos ínios del potencil. Los puntos ínios son puntos de equilibrio estble. Opuestente, en l vecindd de un punto áio, el potencil fren l prtícul que se cerc l áio, y celer l prtícul que se lej de él. Por tnto, l prtícul se ve epulsd de los puntos áios del potencil. Son puntos de equilibrio inestble. Cundo eisten vrios puntos de equilibrio en su tryectori, l prtícul uent su velocidd l cercrse un ínio, por donde ps con su velocidd ái, y disinuye su velocidd l cercrse un áio, por donde ps con su velocidd íni. Y en culquier cso, l prtícul invierte su oviiento l llegr un punto de retroceso. De l integrl del oviiento, obteneos el período de l oscilción entre dos puntos de retroceso ( 1, T = 1 ( V ( Cundo uno de los puntos de retroceso se encuentre en el infinito, uno de los dtos tener en cuent es l velocidd con que lleg l prtícul l infinito. Por definición, dich velocidd es v = ( V ( Podeos tener tres csos, un velocidd nul en el infinito, un velocidd finit o un velocidd infinit. Gráficente corresponden l perfil de potencil V( v = V( 1 v V( 1 v

4 Probles Resueltos.1 Un prtícul de s se ueve lo lrgo del eje en un cpo de 1 fuerz que deriv del potencil V =. Deterinr el oviiento en torno l punto de equilibrio, y clculr el período de oscilción. V tiene un ínio en =. ste es el punto de equilibrio estble. De l conservción de l energí 1 1 = + despejos l velocidd de l prtícul = dt donde rbitrriente heos escogido el signo positivo de l ríz (oviiento hci l derech. Integrndo l potencil ( t = = rcsin + C 1 ó = sin t + φ oviiento rónico siple de frecuenci ω = y plitud A = Pr hllr el período del oviiento, buscos los puntos de retorno que stisfcen = V ( con l solución = ± Y que el tiepo epledo pr ir de un punto de retroceso l otro es independiente del sentido del oviiento, el período qued deterindo por l integrl

5 T = = dt = rcsin dt = = π equivlente l relción conocid entre el período y l frecuenci pr un oviiento rónico siple π T = ω. Un prtícul de s se ueve lo lrgo del eje bjo un fuerz de trcción hci el origen O dd por F = i. Si l prtícul prte del reposo en l posición =, deterinr el tiepo que trd en llegr l origen. A prtir de l epresión F = i clculos el potencil por integrción V = F = F con el resultdo V = = + C legios l constnte de ner que el potencil se nulo en el infinito, V ( = lo tnto, C =.. Por Y que l fuerz que ctú sobre l prtícul deriv de un potencil, l energí se conserv siendo l su de l energí cinétic y l energí potencil 1 = n el oento inicil, l prtícul está en reposo en l posición =, por lo que el vlor de l energí es = A prtir de l integrl de oviiento, el tiepo de cíd l origen está ddo por

6 t = V ( donde el signo enos indic que l velocidd es negtiv, y que el oviiento está dirigido hci el eje negtivo. Desrrollndo l integrl, con el vlor ddo pr l energí totl t = = 1 1 = π π =.3 Verificr que un prtícul de s siepre efectú oscilciones V. rónics respecto de los puntos de equilibrio estbles del potencil ( Se stisfce un punto de equilibrio estble pr el potencil V ( V ( = ( > 3. Por tnto, se V Colocos l prtícul en un punto, cercno y estudios su oviiento. Si l distnci l punto de equilibrio,, es pequeñ, podeos desrrollr el potencil en el punto, en serie lrededor de, en l for 1 V V + V + V y y que ( ( ( ( ( ( es un ínio de V ( V, este desrrollo se reduce 1 V + V ( ( ( ( Con este resultdo, l fuerz que ctú sobre l prtícul en un punto cercno l punto de equilibrio es F = = V ( ( y l ecución de oviiento correspondiente se escribe d = V ( ( dt

7 Definios l distnci l punto de equilibrio, según l vrible s =, su ecución de oviiento d s V ( + s = dt corresponde un oviiento rónico siple de frecuenci V ( ω = Por tnto, l ley de oviiento es = + Acos( ω t +φ L prtícul oscil en torno l punto de equilibrio con un frecuenci ω y plitud A. Dich plitud debe ser pequeñ pr que l oscilción se rónic. Cundo no es pequeñ, los térinos de orden tres y superior en el desrrollo en serie y no pueden desprecirse, y l oscilción resultnte es nrónic. Proble Propuesto.4 Un prtícul se ueve en el potencil V ( = ( 6. Hllr los puntos de equilibrio y deterinr su estbilidd. studir el oviiento de l prtícul según los vlores de l energí totl. Discutir ls regiones ccesibles y prohibids l prtícul.