SELECTIVIDAD SEPTIEMBRE 2003 MATEMÁTICAS II
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- Gonzalo Murillo Olivera
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1 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncion.og/matematicas SELECTIVIDAD SEPTIEMBRE 00 MATEMÁTICAS II EJERCICIO A 0 m PROBLEMA 1. Considea las matices: A = y B = (m + 1) a) Paa qué valoes eales de m es A invesible?. Calcula la matiz A 1. b) En la anteio matiz A con m = 0, obtene la matiz eal cuadada X de oden que satisface la igualdad B AX = AB. a) A seá invesible paa aquellos valoes de m que hagan A 0. 0 m Calculamos: det(a) = A = = m 4m +. Resolvemos la ecuación: m 4m + = 0 m = y m = (m + 1) 1 t Po tanto A seá invesible si m y m 1 A 1 = Adj(A ) = A = Adj m 0 1 = m 4 1 (m + 1) 1 1 m + m + m m 4 15 =. 1 5m m m + m m m = m b) Si B AX = AB AX = B AB X = A 1.( B AB) = A 1.(I A).B Si m = 0 A = 1 0 1, I A = 1 1 1, A -1 1 = / 0 1 X = = 6 4 / / 1 0 0, PROBLEMA. En una gan padea se tiene que valla una zona de 400 m, que debe tene foma de ectángulo. Cada meto de valla cuesta 100 euos. Si es la medida en metos de uno de sus lados, se pide: a) Obtene azonadamente la función f tal que f() sea el coste de la valla, indicando ente qué valoes puede vaia. 1/6
2 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncion.og/matematicas b) Deduci azonadamente el valo de paa el que la función f() alcanza el valo mínimo. a) Como el áea del ectángulo es: y = 400 y 400 y =. La función f que da el coste de la valla seá el peímeto del ectángulo po f() =( + y)100 = ( +. )100 = 00 +, con ]0, + [. b) Paa halla dónde la función f alcanza el valo mínimo, calculaemos sus etemos elativos, paa lo cual esolvemos la ecuación f '() = 0: f '() = 00 = 0 = ± 400 = ± 0. Descatamos 0 ]0, + [ Calculamos f ''() = f ''(0) > 0 paa = 0 la función alcanza el valo mínimo. PROBLEMA. Las notas de Filosofía y de Liteatua de los 7 alumnos de una clase, listadas po columnas, son: Filosofía Liteatua a) Calcula el valo medio y la desviación típica de las notas de Filosofía y de las notas de Liteatua. b) Obtene el coeficiente de coelación ente las notas de Filosofía y de Liteatua, eplicando su significado. c) Al pescindi de la última columna el coeficiente de coelación es 0,9. Eplica detalladamente po qué es mayo que el obtenido en el apatado b). a) Filosofía i Liteatua y i i y i i.y i Σ i =41 Σy i =46 Σ i =6 Σy i =18 Σ i.y i =79 i 41 i 6 = = = 5,86; σ = = 5,86 =, 658 σ = 1,807 yi 46 yi 18 y = = = 6,57; σy = y = 6,57 =, 449 σ y = 1,498 /6
3 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncion.og/matematicas b).y 79 σ i i y 1,569 σ y = y = 5,86 6, 57 = 1,569 = = = 0,501 σ σ 1,807 1,498 y la coelación lineal ente las dos vaiables es positiva y débil ya que no es un valo póimo a 1. c) Y Como se apecia en la gáfica, el punto ojo (8,5) queda alejado del esto de la nube de puntos, entonces al pescindi de él, la coelación lineal ente los estantes puntos aumenta. PROBLEMA 4. En el espacio R, se considean el punto P = (,,) y la ecta intesección de los planos de ecuaciones: + y 4z = 0 y + y z = 1. Se pide detemina: a) La distancia d del punto P a la ecta. b) Los puntos M y N de la ecta que cumplan que su distancia al punto P es 5 d. c) El áea del tiángulo de vétices P, M y N. PP v a) La distancia pedida viene dada po: d =. v i j k + y - 4z = 0 Como v = 1 4 = (,, 1) y P =(, 1,0) + y - z = 1 1 i j k PP v = 0 = (, 6,6) PP v = 9; v = 1 d =. = + λ b) Si epesamos la ecta en foma paamética y = 1 λ z = λ de la foma M( + λ, 1 λ, λ) la d(m,p) = = = 9λ + 18λ + 18 = 9(λ + λ + ) = λ + λ + ; igualando: c) Como el tiángulo es isósceles, tomando como base: P 5 d(m,n) = MN = ( 8,8,4) = 1 po Pitágoas: 5 M h N X /6 PP =(0,, ); cualquie punto de la ecta seá ( + λ ) + ( 1 λ ) + ( λ ) = λ + λ + = 5 λ + λ+ = 5 λ + λ = 0 λ = 1, y λ = M=(5,, 1) y N=(,5,). h= ( 5) 6 = 6 45 = Áea = 1. = 18 u.
4 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncion.og/matematicas EJERCICIO B 1 0 PROBLEMA 1. Se considean las matices cuadadas eales de oden, P = y Q =. 0 Calcula: a) La matiz P 1. b) La matiz eal cuadada X de oden, tal que P 1 X P = Q. c) La matiz (P Q P 1 ). a) Calculamos P = 1 = 1 0 P 1 = 1 1 Adj(P ) = Adj = = P 1 1. b) Si P 1 X P = Q, multiplicando a la izquieda po P, y a la deecha po P 1 : PP 1 XP P 1 = PQ P 1 X = PQ P = = c) (P Q P 1 ) = = PROBLEMA. a) Repesenta la supeficie S limitada ente el eje OX y la cuva y= 4, cuando. Obtene, azonadamente, mediante una integal el áea de la supeficie S. b) Halla el volumen del cuepo geneado al da un gio completo alededo del eje OX la supeficie S consideada en el apatado anteio, indicando cómo se ha obtenido el volumen. Y 0 X S y= 4 Y 0 X S y= 4 a) Como la supeficie S limitada po la paábola y el eje OX queda po debajo de dicho eje, la integal definida nos daá el áea negativa paa que nos de positiva, pondemos un " " delante, y como la supeficie tiene simetía especto del eje OY : S = ( 4).d = 0. 4 = u. 0 b) El volumen de un cuepo de evolución geneado al gia alededo del eje OX una supeficie plana limitada po una cuva y =f() y el eje OX viene dada b a po: V = [ f ()]. d po la simetía citada anteiomente el volumen pedido 5 4 seá: V= ( 4).d = ( ).d = = = u. 15 PROBLEMA. El peso medio de un gupo de 500 estudiantes es 68,5 kilos y la desviación típica, 10 kilos. 4/6
5 Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncion.og/matematicas Suponiendo que los pesos siguen una distibución nomal, se pide: a) Cuántos estudiantes pesan ente 48 y 71 kilos?. b) Cuántos estudiantes pesan más de 91 kilos? c) Se eligen 5 alumnos al aza. Cuál es la pobabilidad de que eactamente de ellos pesen más de 75 kilos?. a) Si tenemos una distibución nomal de media µ = 68,5 y σ = 10 P(48<X<71)= = 48 68, ,5 P < Z < = P(,05 < Z < 0,5) = P(Z < 0,5) P(Z >,05) = =P(Z < 0,5) 1 + P(Z <,05) = 0, ,9798 = 0,5787 de 500 estudiantes habán: 500 0,5787 = 89,5 89 estudiantes ,5 b) La P(X > 91) = P Z > = P(Z >,5) = 1 P(Z <,5) = 1 0,9878 = =0,01 de estudiantes habán: 500 0,01 = 6,1 6 estudiantes. c) Si se eligen 5 alumnos al aza, estamos ante una binomial con n = 5, p = P(un alumno pese más de ,5 kilos) = P(X > 75) = P Z > = P(Z > 0,65) = 10 = 1 P(Z < 0,65) = 1 0,74 = 0,578, y q = 1 p = 1 0,578 = 0,74 5 P(X' = ) = p q = =10 (0,578) (0,74) = 0,717. PROBLEMA 4. Sean y ' los planos del espacio R, deteminados del modo siguiente: El plano pasa po los puntos (0,,1), (, 1,1) y (1, 1,5) y el plano ' pasa po los puntos (,0,), (,1,1) y (5,4, ). Se pide calcula: a) Una ecuación paamética de la ecta intesección de los planos y '. b) El ángulo α que foman los planos y '. c) La ecuación del plano que contiene a la ecta y foma un ángulo de 90 gados con el plano. 0 y z 1 a) 0 = 0 +y + z 5 = 0; 1 4 y 0 z ' = 0 ' y + z = 0; la ecta en foma implícita es: y + z = 5, esolviendo el sistema obtenemos la foma paamética de : y + z = = λ y = λ z = 1+ λ. 5/6
6 b) I.E.S. L Assumpció Depatament de Matemàtiques Ieslaasuncion.og/matematicas n n (,,1) (0,1,1) ' cosα = = n. n ' (,,1). (0,1,1) = 9. = 1 = α = 45 o. β Si β v n β c) El vecto nomal del plano α es: Si β n n β i j k n = v n = 1 = ( 6,,6) (, 1, ) β 1 β y z+d = 0 ; peo como el punto P (0,, 1) β D = 0 D =1 β y z + 1 = 0. 6/6
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