TEMA 2.- Campo gravitatorio

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1 Tema.- Campo gavitatoio TEMA.- Campo gavitatoio ÍNDICE GENERAL.- Intoducción históica. Leyes de Keple..- Ley de gavitación univesal de Newton. 3.- Fuezas centales. Compobación de la segunda ley de Keple. 4.- Campo gavitatoio Intensidad del campo gavitatoio ceado po una patícula. Líneas de campo. Pinci pio de supeposición Enegía potencial gavitatoia. Consevación de la enegía Potencial gavitatoio. Supeficies equipotenciales. Pincipio de supeposición Relación ente campo gavitatoio y potencial gavitatoio Campo gavitatoio teeste Movimiento obital. Satélites atificiales Velocidad de escape Velocidad obital. Satélites atificiales LEO, MEO y GEO La mateia oscua. 5.- El poblema de los tes cuepos. Caos deteminista. 6.- AMPLIACIÓN: Oigen y expansión del Univeso. Sepaación de galaxias. Vista del estecho de Gibalta desde la Estación Espacial Intenacional (ISS) Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 0

2 Apuntes de Física º Bachilleato Cuso INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. LEYES DE KEPLER. El se humano lleva obsevando el movimiento de los cuepos celestes desde que se encuenta sobe la Tiea. Así, a lo lago de la Histoia ha intentado en numeosas ocasiones da una explicación de dicho fe nómeno; hasta llega a Newton, han sido vaios los científicos y astónomos que han popuesto teoías paa justifica el compotamiento del Univeso. Mencionamos a continuación los más impotantes:. Ptolomeo de Alejandía (00-70 d.c.) Este científico giego defendió en su oba Almagesto la teoía geocéntica de Aistóteles, según la cual la Tiea se encontaba en el cento del Univeso y todos los demás planetas, el Sol y las estellas giaban alededo de ella. Sin embago, paa explica los movimientos iegulaes de algunos planetas, como Venus o Mate, ecuió a los epiciclos y defeentes, complejas combinaciones de movimientos ciculaes de dichos planetas. Con todo ello, las ideas de Ptolomeo pemanecieon casi 000 años inalteadas en el mundo occidental hasta la iupción de Copénico.. Nicolás Copénico ( ) Fue un monje polaco que en 530 publica un libo llamado Revoluciones, en el que ompe abietamente con el modelo aistotélico al postula que es la Tiea y los estantes planetas los que se mueven en óbitas ciculaes alededo del Sol (teoía heliocéntica, ve dibujo a la deecha). Esta idea causó un gan evuelo en la época, y de inmediato ganó adeptos y detactoes; de hecho, se le objetó que ea incapaz de explica la paalaje estela (desplazamiento apaente de las estellas que apaece debido a un cambio de posición de la Tiea). Tuvieon que tanscui casi 00 años hasta que la teoía heliocéntica fuea comúnmente aceptada, y casi 300 hasta que Bessel, en 843, logó calcula la pimea paalaje estela, lo cual demostó de manea definitiva la taslación de la Tiea alededo del Sol. Asimismo, Foucault, en 843, demostó la otación de la Tiea sobe sí misma colgando un péndulo de la cúpula del Panteón de País. 3. Tycho Bahe (546-60) Este científico danés puede considease como el pime astónomo popiamente dicho, pues dedicó muchos años de su vida a ealiza mediciones exactas (distancias, ángulos,...) sobe el movimiento de los planetas con la única ayuda de cálculos geométicos, popocionando de esta manea los datos que pemitiían afianza el modelo heliocéntico. 4. Galileo Galilei (564-64) A este físico italiano se le conoce po muchos descubimientos; uno de ellos fue el telescopio, mediante el cual descubió montañas en la Luna y los satélites de Júpite, hechos que chocaban fontalmente con las ideas de la época, según las cuales los cuepos celestes debían se pefectos. Galileo ea un copenicano convencido, y aunque no consiguió demosta las ideas heliocénticas, las defendió duante toda su vida. 5. Johannes Keple (57-630) Fue un astónomo y matemático alemán, discípulo de Tycho Bahe. Recogió todas las medidas que su maesto había tomado y a pati de ellas elaboó, en 609 en la oba Nueva Astonomía, una teoía cuantitativa empíica (basada, pues, en datos expeimentales) aceca del movimiento de los planetas alededo del Sol. Dicha teoía se esume en tes Salvado Molina Bugos ([email protected])

3 Tema.- Campo gavitatoio leyes, las leyes de Keple, que se explican po la existencia de una fueza única que existe ente dos ma sas cualesquiea; son las siguientes: ª ley, o ley de las óbitas: Todos los planetas desciben óbitas elípticas alededo del Sol, el cual está situado en uno de los focos de la elipse. Esta ley acaba con la idea aistotélica y comúnmente aceptada hasta entonces según la cual la tayectoia pefecta paa los cuepos celestes ea la cicula (ve figua a la izquieda). ª ley, o ley de las áeas: El adio vecto de un planeta bae áeas iguales en intevalos de tiempo iguales. Esta ley implica que los planetas no se mueven con velocidad constante, sino que lo hacen más ápido cuanto más ceca estén del Sol (peihelio), y vicevesa (se mueven más despacio en el afelio). Esta ley implica que la velocidad aeola (áea baida en un cieto tiempo) de los planetas pemanece constante: da cte dt 3ª ley, o ley de los peíodos (publicada en 69 en la oba Amonía del mundo): Los cuadados de los peíodos de evolución de los planetas alededo del Sol son diectamente popocionales a los cubos de los semiejes mayoes de las óbitas que desciben, es deci, T k 3 donde T es el peíodo de evolución del planeta, k es la constante de popocionalidad y es el se mieje mayo de la elipse. Vídeos aceca de las tes leyes de Keple: ( de ) ( de ).- LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON. A pati de los datos ecopilados po los astónomos (en especial po Bahe), de las ideas de Copénico y Galileo y, sobe todo, de las leyes de Keple (que no explican po qué se mueven los planetas), el físico inglés Isaac Newton (64-77) estableció en su oba Philosophiae Natualis Pincipia Mathematica (Pincipios matemáticos de la Filosofía Natual), además de las bases de la Física clásica, el fundamento del movimiento de los planetas alededo del Sol po efecto de fuezas gavitatoias atacti vas ente ambos. Este esultado geneal se conoce con el nombe de ley de Newton de gavitación univesal, la cual establece lo siguiente: Dos objetos cualesquiea del Univeso, de masas M y m, se ataen mutuamente con una fueza que es diectamente popocional al poducto de sus masas e Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla)

4 Apuntes de Física º Bachilleato Cuso invesamente popocional al cuadado de la distancia,, que existe ente sus centos de masa. Matemáticamente, la ley de Newton de gavitación univesal se expesa de la siguiente manea: Mm F G u donde G es la constante de gavitación univesal (G N m kg-). OBSERVACIONES A LA LEY DE NEWTON DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL:. La fueza de atacción gavitatoia es de caácte atactivo, de ahí el signo negativo que apaece en su definición.. El vecto u es un vecto unitaio cuya diección se encuenta en la línea que une ambas masas, y cuyo sentido está diigido hacia afuea. Como veemos en el apatado siguiente, decimos entonces que la fueza de atacción gavitatoia es una fueza cental. 3. La ley de Newton de gavitación univesal es válida paa cualquie paeja de objetos existente en el Univeso; de hecho, la constante de gavitación univesal es válida en todo el Univeso. Fue deteminada expeimentalmente po pimea vez po Heny Cavendish (73-80), quien en 798 deteminó con ayuda de una balanza de tosión (ve imagen a la izquieda) un valo de 6, N m kg-, pácticamente igual al actual. A pati de este valo calculó, también con gan pecisión, la masa de la Tiea y su densidad media. 4. El pequeño valo de la constante de gavitación tiene como consecuencia el valo extemadamente pequeño de la fueza de atacción gavitatoia ente dos objetos que se encuenten sobe la Tiea; sin embago, a escala planetaia esta fueza es de tal intensidad que da luga a las tayectoias elípticas de los planetas y explica pefectamente su movimiento. 5. El pincipal méito de Newton eside en afima que dicha ley, que explica el movimiento de los objetos celestes, es la misma que explica el poqué todos los objetos que se encuentan ceca de la Tiea se mueven veticalmente con la misma aceleación, llamada aceleación de la gavedad. En efecto, la aceleación de caída de cualquie objeto que se encuente ceca de la Tiea seá, de acuedo con la ª ley de Newton: a F GM u (N kg- ó m s-) m Obseva que la aceleación de la gavedad no depende de la masa del objeto que cae, sino de la ma sa del objeto que atae a éste (el planeta Tiea). Vídeos aceca de la ley de gavitación univesal de Newton: ( de ) ( de ) Simulaciones aceca de la ley de gavitación univesal de Newton: Salvado Molina Bugos ([email protected]) 3

5 Tema.- Campo gavitatoio 3.- FUERZAS CENTRALES. COMPROBACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE KEPLER. Las fuezas son también llamadas inteacciones, pues equieen de la pesencia de, como mínimo, dos cuepos paa manifestase. Todas las inteacciones que existen en la Natualeza pueden se de dos tipos: (a) Fuezas o inteacciones de contacto: apaecen ente dos cuepos que están en contacto ente sí. Ej.: fueza de ozamiento. (b) Fuezas o inteacciones a distancia: apaecen ente dos cuepos que no se encuentan en contacto. Ejs.: fueza gavitatoia, fueza eléctica, fueza magnética,... Diemos que una fueza es cental cuando está siempe diigida hacia un mismo punto, independientemente de cuál sea la posición de la patícula sobe la que está actuando. También podemos deci que está siempe diigida a lo lago de la línea que une los dos objetos que están inteaccionando. Tanto la fueza gavitatoia como la eléctica son dos impotantes ejemplos de fuezas centales, peo existen otas, como la fueza elástica o la centípeta. Así, la fueza gavitatoia que actúa sobe un planeta está diigida siempe hacia el Sol (ve figua a la deecha). Todas las fuezas centales son consevativas. En el tema anteio estudiamos la elación ente el momento de una fueza y la vaiación tempoal del momento angula: dl M dt En la figua de la deecha se muesta el momento angula de un planeta con especto del Sol. Puede obsevase que es pependicula al plano fomado po el momento lineal del planeta y su vecto de posición. Ahoa bien, como la fueza de atacción gavitatoia es una fueza cental, entonces el momento de dicha fueza con especto del cento de fuezas (el Sol) seá nulo: si F M F0 de donde deducimos que el momento angula del planeta pemanece constante si éste se encuenta sometido a una fueza cental. De esta impotante afimación podemos extae algunas consecuencias:. Como la diección del momento angula pemanece constante, el movimiento del planeta tiene luga en un plano. Dicho plano es el fomado po los vectoes y p.. Si el sentido del momento angula pemanece constante, deducimos que el planeta gia siempe en el mismo sentido, tal y como se deduce de la egla del tonillo o del sacacochos. 3. Si el módulo del momento angula pemanece constante, entonces se cumple la segunda ley de Ke ple. En efecto, consideemos un planeta que tada un tiempo dt en pasa del punto M al M (ve figua a la deecha). El vecto de posición ha baido en dicho tiempo el áea da, que es igual a la mitad del áea del paalelogamo definido po y d : da d v dt Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 4

6 Apuntes de Física º Bachilleato Cuso El valo del momento angula se calcula mediante: L L m v m v v m Sustituyendo en la expesión anteio, nos queda: da L da L dt cte m dt m En consecuencia, deducimos que la velocidad aeola de un planeta pemanece constante al actua sobe él una fueza cental (la fueza gavitatoia). 4. Al pemanece constante el momento angula, deducimos que un planeta que gia alededo del Sol va más depisa en el peihelio (punto más cecano) que en el afelio (punto más lejano), pues en ambas posiciones se cumple que (ve figua a la deecha): La Lp a m va sen 90º p m vp sen 90º a va p vp El esultado anteio es una de las consecuencias de la segunda ley de Keple. 5. Po último, debido a la consevación del momento angula se cumple que el eje de otación de la Tiea foma un ángulo fijo con el plano, es deci, el eje de otación de la Tiea mantiene su oientación confome ésta gia alededo del Sol (ve figua a la izquieda). 4.- CAMPO GRAVITATORIO INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO CREADO POR UNA PARTÍCULA. LÍ NEAS DE CAMPO, PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. El campo gavitatoio es la egión del espacio en la que cualquie objeto de masa m se ve sometido a una fueza gavitatoia. Es deci, cualquie objeto, po el simple hecho de posee una masa M, cea a su alededo un campo gavitatoio, de manea que ataeá a cualquie objeto situado en dicho campo. Lógicamente, el campo gavitatoio seá un campo de fuezas atactivo, cental y consevativo, pues su valo depende únicamente de la distancia existente ente los objetos que se ataen. Las líneas de campo del campo gavitatoio son adiales, nacen en el infinito, teminan en el cento de masa del objeto que cea el campo y nunca se cotan (ve dibujo a la deecha). Son líneas imaginaias que nos indican la tayectoia que seguiía una patí cula sometida a la influencia del campo, de manea que el vecto intensidad de campo gavitatoio es siempe tangente a dichas líneas. Salvado Molina Bugos ([email protected]) 5

7 Tema.- Campo gavitatoio Llamamos intensidad de campo gavitatoio en un punto, o simplemente campo gavitatoio en un punto, a la fueza que ejece el campo sobe la unidad de masa colocada en dicho punto. Es una magnitud g, que tiene las dimensiones de una aceleación y que se calcula vectoial que se epesenta con la leta de la manea siguiente: g F Mm M M G u G u g g G (N/kg ó m s-) m m Si existen vaias patículas M, M, la intensidad del campo gavitatoio que cean todas ellas en un punto P sepaado una distancia,, espectivamente de ellas se calcula aplicando el pincipio de supeposición, es deci, sumando vectoialmente los campos gavitatoios ceados individualmente po cada masa: n g g + g +... gi i OBSERVACIONES A LA INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO:. El vecto campo gavitatoio está siempe diigido hacia la masa que lo cea, y explica po qué la fueza gavitatoia es una fueza a distancia. Su diección y sentido son los mismos que los de la fueza gavitatoia.. La intensidad de dicho vecto en un punto viene dada po la aceleación que sufiía un objeto situa do en dicho punto. 3. Esta aceleación es independiente de la masa del objeto que se mueve; sólo depende de la distancia y de la masa del objeto que cea el campo gavitatoio. 4. El campo gavitatoio que un cuepo cea a su alededo sólo se anula en el infinito, pues si, entonces g ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. Hemos dicho que el campo gavitatoio es consevativo. Po ello, el tabajo ealizado al desplaza una patícula de masa m dento del campo gavitatoio ceado po ota de masa M no dependeá de la tayec toia seguida po la patícula, sino de las posiciones inicial y final de la misma. Si dichas posiciones están sepaadas una distancia, llegaemos a la conclusión de que la enegía potencial gavitatoia es una magnitud escala que se calcula, paa cada posición elativa de dos masas M y m, de la siguiente manea: E p G Mm (J) La expesión anteio nos mide el tabajo que hay que ealiza paa taslada una patícula de masa m desde el infinito hasta un punto situado a una distancia de la masa M. AMPLIACIÓN: Paa demosta la expesión anteio, consideemos una masa M fija y ota masa, m, sepaada inicialmente una distancia infinita de la pimea. Entonces, el tabajo ealizado po la fueza de atacción gavitatoia paa aceca las dos patículas a una distancia B seá igual a: B B B GMm d B GMm W F d d GMm GMm [ ] B A Ahoa bien, si consideamos que en el infinito la enegía potencial es nula, y como W - ΔEp, deducimos que la enegía potencial de un sistema de dos patículas sepaadas una cieta distancia seá igual a la expesión anteiomente indicada. Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 6

8 Apuntes de Física º Bachilleato Cuso COMENTARIOS A LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA:. La enegía potencial gavitatoia es nula en el infinito.. La enegía potencial gavitatoia es siempe negativa. El sentido físico de este signo negativo es que a medida que la fueza gavitatoia ealiza el tabajo paa apoxima dos masas, la enegía potencial de ambas disminuye. Si inicialmente (patículas sepaadas una distancia infinita) la enegía potencial ea ceo, entonces al final del desplazamiento la enegía potencial seá negativa. Obviamente, si las masas se sepaan su enegía potencial aumentaá. En tal caso, debemos aplica una fueza exteio paa conseguilo, pues su tendencia es a movese la una hacia la ota. 3. La enegía potencial asociada a un sistema fomado po más de dos patículas se obtiene sumando las enegías coespondientes a todas las paejas posibles de patículas (pincipio de supeposición). Paa cualquie patícula que se mueva en el seno de un campo gavitatoio a una cieta velocidad po demos defini sus enegías cinética y potencial gavitatoia; sabemos entonces que, en ausencia de fuezas no consevativas (COMO el ozamiento), se cumple la ley de consevación de la enegía mecánica (E): E E c + Ep mv + ( G Mm ) constante ΔE POTENCIAL GRAVITATORIO. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES. PRINCIPIO DE SU PERPOSICIÓN. Hemos visto en el tema anteio que los campos vectoiales llevan asociados campos escalaes. El campo gavitatoio, que es un campo vectoial, lleva asociado un campo escala llamado potencial gavitatoio. El potencial gavitatoio en un punto se define como el tabajo necesaio paa taslada la unidad de masa sometida a un campo gavitatoio ceado po una masa M desde el infinito (donde el potencial es nulo) hasta dicho punto. Se epesenta con la leta V y se calcula de la siguiente manea: V G M (J/kg) El potencial gavitatoio tiene siempe un valo negativo, y está elacionado con la enegía potencial gavitatoia de la siguiente manea: V Ep Ep mv m El potencial gavitatoio en un punto depende de la distancia del punto al cento del campo. Po tanto, todos los puntos que equidistan del cento del campo estaán sometidos al mismo potencial y fomaán una supeficie equipotencial. Las supeficies equipotenciales del campo gavitatoio son esféicas, concénticas y pependiculaes a las líneas de campo (ve dibujo a la deecha). Po ota pate, el tabajo necesaio paa desplaza una masa m de un punto A a oto B en el seno de un campo gavitatoio ceado po una masa M seá: W -ΔEp - (EpB EpA) - m (VB VA) - m ΔV de donde se deduce que el tabajo necesaio paa desplaza una masa po una supeficie equipotencial seá nulo, pues en tal caso ΔV 0. Además, el movimiento de las patículas seá espontáneo en el sentido de potenciales dececientes, es deci, siempe que VA > VB, pues en tal caso W > 0. En caso contaio, hay que ealiza tabajo conta las fuezas del campo (o conta el campo) paa consegui que la masa se mueva (W < 0). Salvado Molina Bugos ([email protected]) 7

9 Tema.- Campo gavitatoio RELACIÓN ENTRE CAMPO GRAVITATORIO Y POTENCIAL GRAVITATORIO. Aunque el campo gavitatoio es vectoial y el potencial gavitatoio es escala, existe una elación ente ambos. Paa expesa esta elación se utiliza el concepto de gadiente, que es una deivada dieccional. Así, obsevando el esquema de la deecha puede deducise que el potencial gavitatoio va aumentando confome nos alejamos de la masa que cea el campo; a esta vaiación la llamamos gadiente de potencial (gad V). Esta vaiación de potencial es máxima si seguimos las líneas de fueza del campo gavitatoio, es deci, el camino más coto paa pasa de una supeficie equipotencial a la siguiente es siguiendo las líneas de fueza (ve figua a la deecha). Sin embago, el campo gavitatoio tiene sentido contaio al aumento de potencial, con lo cual la elación ente ambos campos seá la siguiente: de d (mv) V dv m g gad g F P d d d La elación anteio implica que el campo gavitatoio está diigido en el sentido en que es máxima la disminución del potencial gavitatoio, o lo que es lo mismo, la fueza gavitatoia apunta en el sentido en que disminuye la enegía potencial gavitatoia. Este esultado está de acuedo con lo comentado en el apatado anteio sobe el movimiento espontáneo de una masa dento de un campo gavitatoio ceado po ota CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE. Como su popio nombe indica, el campo gavitatoio teeste es el campo gavitatoio que la Tiea cea a su alededo, o lo que es lo mismo, es la egión del espacio en la que cualquie objeto de masa m expeimenta una fueza cental, consevativa y de caácte atactivo diigida hacia la Tiea. Sabemos que este campo viene dado po una aceleación; la aceleación con que cualquie objeto se mueve al esta inmeso en el campo gavitatoio ceado po la Tiea se llama aceleación de la gavedad. La diección de dicho campo es la de la línea que une el objeto con la Tiea, y su sentido va siempe diigido hacia el cento de la misma. Así pues, el valo o intensidad del campo gavitatoio teeste al que está sometido un objeto situado a una cieta altua h sobe la Tiea (cuya masa es M T) seá: gg MT G MT (RT +h) (N/kg ó m/s) Si el objeto se encuenta muy ceca de la supeficie teeste (h 0), sustituyendo los valoes de G, de la masa de la Tiea ( kg) y del adio teeste (6370 km), obtenemos g 9 8 m s -, que es el valo de la aceleación de la gavedad utilizado en muchísimos poblemas y situaciones físicas. La enegía potencial de una patícula de masa m que se encuenta a una cieta distancia del cento de la Tiea se calculaá de la siguiente manea: E p G MT m MT m G (J) RT + h La enegía potencial gavitatoia teeste se calculaba en cusos anteioes mediante Ep mgh; dicha expesión es una apoximación ealizada cuando la altua a la que se encuenta el cuepo sobe la supeficie teeste es mucho meno que el adio de la Tiea (h << RT), pues en tal caso el valo del campo gavitatoio teeste es pácticamente constante. Así, la vaiación de enegía potencial de un cuepo que se desplaza hasta una altua h desde la supeficie de la Tiea seá: Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 8

10 Apuntes de Física º Bachilleato Δ E p GM T m ( Cuso R +h R T GM T m R T h R T h ) GMT m T mg mg R T R T +h R T (RT +h) RT (R T +h) R T R T (R T +h) h + h RT mgh Donde hemos tenido en cuenta que si h << RT, entonces h/rt 0. Si consideamos que Ep 0 en la supeficie teeste, entonces la enegía potencial gavitatoia a pequeñas altuas sobe la Tiea seá igual a mgh, expesión utilizada en cusos anteioes. En la siguiente página web puedes consulta de foma inteactiva los aspectos más impotantes del campo gavitatoio: Indicamos a continuación dos de las pincipales situaciones en que se emplea el concepto de campo gavitatoio teeste: las velocidades de escape y obital de los cohetes y satélites, espectivamente MOVIMIENTO ORBITAL. SATÉLITES ARTIFICIALES VELOCIDAD DE ESCAPE. Es la velocidad mínima con que hay que lanza un cohete o satélite paa que éste pueda escapa de la atacción teeste (o de cualquie objeto celeste en que se encuente). Esta velocidad se le va comunicando pogesivamente al satélite gacias a la enegía obtenida po la combustión de cietas sustancias. Si consideamos que no existen fuezas no consevativas debeá consevase la enegía mecánica del cohete. La velocidad del cohete va disminuyendo confome asciende; en el límite en que no esté sometido a la acción del campo gavitatoio del planeta ( ) su velocidad y su enegía potencial gavitatoia también se anulaán; la consevación de la enegía mecánica ente las posiciones (distancia especto del cento del planeta) y (distancia infinitamente lejana) nos lleva a: ΔE 0 (Ec + Ep) - (Ec + Ep) 0 - mve + G Mm G M 0 ve donde ve es la velocidad de escape del cohete. Obseva que dicha velocidad es independiente de la masa del cohete, depende de la masa del planeta y disminuye cuanto mayo sea la altua sobe el planeta. Si el cohete se encuenta en la supeficie teeste, seá RT; sustituyendo los valoes de G, MT y RT antes mencionados, obtenemos: ve G MT 0 3 m s RT Lanza un cohete con una velocidad de salida tan gande supone un consideable consumo, casi instantáneo, de enegía (tanto mayo cuanto mayo sea la masa del cohete), lo que supondía casi con seguidad su inmediata destucción. Ésta es la azón del empleo de cohetes múltiples en los lanzamientos al espacio; estos cohetes van despendiéndose confome la nave se aleja de la Tiea. NOTA: Si paa ealiza los cálculos anteioes hubiéamos tenido en cuenta la esistencia que ofece la at mósfea al movimiento del cohete, la velocidad de lanzamiento hubiea debido se, apoximadamente, de,43 03 m s-. Página web aceca de la velocidad de escape: Salvado Molina Bugos ([email protected]) 9

11 Tema.- Campo gavitatoio VELOCIDAD ORBITAL. SATÉLITES ARTIFICIALES LEO, MEO Y GEO. Consideemos un satélite de masa m que gia en una óbita cicula de adio alededo de un planeta de masa M. Entonces, la fueza centípeta que lo mantiene en su tayectoia es apotada po la fueza gavitatoia: Fc Fg m v G Mm v GM siendo v la velocidad obital del satélite (la cual es independiente de su masa). Si dicha velocidad pemanece constante, el satélite se moveá con MCU; el peíodo de dicho movimiento se calcula mediante: π ω T π π 3 π v GM GM Elevando al cuadado ambos miembos, obtenemos: T 4 π 3 GM que es la expesión de la 3ª ley de Keple. De dicha expesión se deduce que si la tayectoia del satélite es elíptica, entonces vaiaá, con lo cual la enegía potencial gavitatoia también vaiaá a lo lago de la ta yectoia. Cuando aumenta, la Ep también aumentaá, con lo que la enegía cinética disminuiá (pues se conseva la enegía mecánica al actua una fueza consevativa sobe el satélite). Así pues, en el punto más alejado de la Tiea (apogeo), el satélite se moveá a meno velocidad; en el punto más cecano (peigeo) se moveá a una velocidad mayo. Este esultado está confome con la segunda ley de Keple antes explicada. Calculaemos, finalmente, la enegía mecánica de un satélite de masa m. Ésta es la enegía que debe tene dicho satélite paa mantenese en una óbita estacionaia a una cieta altua sobe la supeficie teeste. Si es la distancia ente el satélite y el cento de la Tiea, y consideamos que la óbita es cicula, tende mos que (ve más aiba): v Y sabiendo que Ep - GM Ec GMm mv GMm, tendemos que la enegía mecánica de un satélite en su óbita, seá: E E c + Ep GMm GMm GMm Ep Vemos, pues, que la enegía mecánica de un satélite es siempe constante y negativa. Ello se coesponde con óbitas ceadas, ya sean ciculaes o elípticas, que es el caso de todos los cuepos del Sistema So la, que son ataídos po el Sol y que no pueden escapa de sus óbitas. Los satélites atificiales son atefactos lanzados al espacio que se mueven alededo de algún cuepo celeste bajo el efecto de la fueza gavitatoia. Pueden ponese en óbita mediante cohetes populsoes o lanzados al espacio exteio a bodo de un tansbodado espacial. Suelen esta dotados de paneles fotovoltaicos, paa conveti la enegía sola en enegía eléctica, y de un moto coecto de tayectoia paa ajusta su posición. Se clasifican según la altua a la que obiten: Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 30

12 Apuntes de Física º Bachilleato Cuso A) Satélites de óbita baja (low eath obit, LEO): gian a una altua de ente 50 y 500 km sobe la supeficie teeste, descibiendo una óbita pácticamente cicula, a una gan velocidad (mayo que 7000 m/s). Es po ello po lo que sus tiempos de visibilidad son educidos. Tienen muy difeentes utilidades:. Expeimentación científica: Estación Espacial Intenacional, ISS ( km de altua):. Obsevación astonómica: satélite Hubble (600 km de altua). 3. Obsevación teeste, ya sea paa seguimiento atmosféico (satélites NOAA, 840 km, o Metop, 8 km) o paa escate y vigilancia (satélite Landsat, 705 km, y satélite SPOT, 8 km). 4. Comunicaciones: satélites Obcomm (840 km) y Globalsta (44 km). 5. Óbitas de apacamiento: se utilizan en misiones inteplanetaias o en los lanzamientos de los satélites de óbita geoestacionaia, en la que espea el momento de pone en macha los motoes paa enta en la óbita final deseada. B) Satélites de óbita media (medium eath obit, MEO): gian a una altua de ente 0000 y km sobe la supeficie teeste, a una velocidad compendida ente 3000 y 7000 m/s. Debido a la elevada altua a la que se encuentan están sometidos a la adiación de los cintuones de Van Allen (egiones en tono a la Tiea en las que existen patículas sobe todo potones y electones de alta enegía atapadas po el campo magnético teeste que dan luga a fenómenos como las tomentas geomagnéticas), la cual puede daña sus componentes electónicos. Paa ponelos en óbita es necesaio un poceso de vaias etapas, y en ocasiones es necesaia la utilización de vaios satélites MEO constelaciones de satélites dependiendo del fin al que se destinen. Su pincipal incenveniente es la geneación de basua espacial cuando dejan de se útiles. Sus pincipales aplicaciones son las comunicaciones y la navegación; a tal fin se destinan las constelaciones de satélites GPS (global position system), algunas de las cuales están fomadas hasta po 4 satélites. Salvado Molina Bugos ([email protected]) 3

13 Tema.- Campo gavitatoio C) Satélites de óbita geoestacionaia (geostationay eath obit, GEO): su óbita es cicula, siendo su peiodo de otación igual a día (peiodo de otación teeste), po lo que gian a una altua de, apoximadamente, km con una velocidad de 3000 m/s. Tienen múltiples aplicaciones: adiodifusión, comunicaciones móviles, meteoología,... Ejemplos de satélites GEO son el Meteosat, Hispasat, Intelsat, SES Asta, Thuaya,... La señal que ofecen suele tene una gan estabilidad y una amplia cobetua; sin embago, su lanzamiento tiene un elevado coste y genean basua espacial cuando su vida útil temina. Satélite Hispasat LA MATERIA OSCURA. Al igual que los satélites gian en tono a un planeta, las estellas gian alededo del cento de la galaxia a la que petenecen. Este fenómeno fue obsevado po pimea vez en 94. Algunos años más tade se descubió que las estellas más lejanas giaban mucho más ápido que lo que les coespondeía de acuedo con las leyes de Newton. Paa explica este fenómeno se intodujo el concepto de mateia oscua. Fue descubieta po el astofísico suizo Zwicky en 933 como consecuencia de sus obsevaciones sobe el movimiento de las galaxias. La mateia oscua es mateia no visible, es deci, mateia que no inteac túa con la adiación electomagnética. Este científico, al medi la velocidad de estellas muy alejadas del cen to de la galaxia, obsevó que ea mucho mayo de la que debeían tene si la masa de la galaxia ea la que coespondía a su pate visible. Como la velocidad aumenta con la masa del cento de atacción, concluyó que debía habe una masa, no visible, mucho mayo: la mateia oscua. Esta mateia causa una fuete atacción gavitatoia sobe las estellas extenas, explicando así su elevada velocidad. La existencia de la mateia oscua y su popoción en el Univeso es uno de los pincipales poblemas actuales de la Astofísica. 5.- EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS. CAOS DETERMINISTA. A lo lago del tema hemos estudiado el movimiento de dos cuepos sometidos a una fueza gavitatoia (atactiva): sabemos que desciben tayectoias elípticas alededo de su cento de masa, pudiendo calculase con toda pecisión su velocidad y su peiodo obital. Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 3

14 Apuntes de Física º Bachilleato Cuso Sin son tes los cuepos que se mueven bajo la acción de fuezas gavitatoias mutuas, la fueza total sobe cada uno de ellos seá, de acuedo con el pincipio de supeposición, la suma vectoial de las fuezas ejecidas sobe los otos dos. Si aplicamos entonces la segunda ley de Newton obtendemos las ecuaciones del movimiento de los tes cuepos, que son imposibles de esolve analíticamente. El matemático fancés Heni Poincaé demostó en el siglo XIX que el poblema sólo tenía solución bajo cietas apoximaciones, como po ejemplo cuando una de las tes masas sea mucho más pequeña que las otas dos y se encuenta mucho más ceca de uno de ellos (es lo que sucede con la Luna en elación con la Tiea y el Sol). Cualquie pequeña vaiación en las condiciones iniciales de las tes masas daá luga a gandes difeencias en su posteio compotamiento (tayectoias, velocidades,...); decimos entonces que el sistema es caótico aunque su evolución esté deteminada po las leyes de Newton, de ahí el témino caos deteminista paa caacteiza estos movimientos. Obseva en la figua el movimiento gavitatoia caótico de una masa en pesencia de otas dos: su tayectoia es totalmente impedecible. El movimiento caótico no es muy apeciable en el Sistema Sola, pues la masa del Sol es mucho mayo que la de los planetas; ello hace pácticamente despeciables las inteacciones mutuas ente ellos. Obseva en el siguiente applet cómo se mueve, de foma caótica, una masa en pesencia de otas dos: AMPLIACIÓN: ORIGEN Y EXPANSIÓN DEL UNIVERSO. SEPARACIÓN DE GALAXIAS. Los hitos históicos que han sucedido en la Física paa explica el oigen y la expansión del univeso son los siguientes:. Teoía de la gavitación univesal de Newton.. Teoía de la elatividad geneal de Einstein, según la cual la gavedad es una caacteística del espacio que odea una masa. Así, el espacio cambia de alguna manea, se cuva, debido a la pesencia de una masa (ve dibujo a la deecha). Po ejemplo, la Tiea gia alededo del Sol debido a la distosión del espacio causada po la pesencia de las masas de ambos cuepos. Salvado Molina Bugos ([email protected]) 33

15 Tema.- Campo gavitatoio Así pues, la elatividad geneal tata la gavitación como una cuvatua del espacio-tiempo en cuato dimensiones. La gavedad se explica como una popiedad geomética del espacio distosionado. 3. Hipótesis de Gamow según la cual el Univeso se oiginó a pati de una gan explosión (Big Bang) ocuida en un univeso de dimensiones muy infeioes al átomo, con una gan densidad y una altísi ma tempeatua (09 K); la enegía cinética de las patículas elementales poducidas en la explosión (electones, neutinos, fotones y algunos potones y neutones) ea tan alta que no podían unise paa foma estuctuas más complejas. Al expandise el Univeso se fue enfiando, las patículas comenzaon a movese más lentamente y la inteacción fuete pudo ya liga potones y neuto nes ente sí paa foma núcleos. Al decece más la tempeatua, la inteacción electomagnética cobó impotancia y empezaon a fomase los pimeos átomos de hidógeno y de helio (unas hoas después de la explosión). Confome dececía la tempeatua, las patículas de hidógeno y helio comenzaon a condensase po efecto de la inteacción gavitatoia, de modo que mediante pocesos de fusión nuclea comenzaon a apaece las pimeas estellas. La fueza gavitacional posiguió dando luga a las galaxias. La ley de Hubble es una pueba de la expansión del Univeso. Esta ley establece que las galaxias se sepaan a una velocidad diectamente popocional a la distancia que las sepaa. Depatamento de Física y Química IES Leopoldo Queipo (Melilla) 34