Capítulo 1. Electrostática

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1 UNIRSIDD NCIONL UTÓNOM D MÉXICO FCULTD D INGNIRÍ DIISIÓN D CINCIS ÁSICS DPRTMNTO D FÍSIC GNRL Y QUÍMIC Notas de lectomagnetismo Capítulo lectostática lbeto Sánchez Moeno

2 Capítulo CONTNIDO. Intoducción La caga léctica Popiedades de la caga La caga se conseva La caga esta cuantizada Fueza léctica Matemáticamente Supeposición....6 Clasificación eléctica de los mateiales Inducción lectostática lectoscopio Cagando Conductoes Campo eléctico Líneas de Fueza de Faaday Campo léctico paa Distibuciones de caga jemplo ilustativo Ley de Gauss Ley de Gauss en foma Difeencial jemplo ilustativo Potencial léctico jemplo ilustativo cuación de Poisson y cuación de Laplace jemplo ilustativo...4

3 lectostática 3 Capítulo lectostática. Intoducción l electomagnetismo es una de las teoías ue mejo expesa la dependencia ente el conocimiento científico y las aplicaciones tecnológicas, es po este motivo ue coba especial elevancia el entende los conceptos básicos de esta teoía cuando se tiene un especial inteés po la tecnología, como seía el caso de la ingenieía. n este capítulo nos poponemos pesenta los pimeos elementos de conocimiento de la teoía electomagnética como es el concepto de caga eléctica, campo eléctico, potencial eléctico ente otos.. La caga léctica l fenómeno de la caga eléctica ya ea conocido a tavés de expeiencia desde tiempos antiguos. La pincipal efeencia ue tenemos es debida a los giegos hace ya casi 6 años. Platón se efiee en su diálogo Timeo o de la natualeza: Fenómenos sopendentes de atacción poducidos po el ámba Los giegos sabían ue si fotaban el ámba con piel, el ámba aduiía la popiedad de atae tocitos de pelo y otos mateiales. Pasado el tiempo en el siglo XI William Gilbet (544-63) descubió ue otas sustancia como el vidio, el azufe, la cea y las gemas tenían también popiedades similaes al ámba, fue él uien intodujo el témino eléctico (en su texto latino, eléctica) como deivación diecta del giego electón (ηλεκτρον ), ámba. stas obsevaciones condujeon a pensa ue la electicidad ea una especie de fluido ue se podía poduci o tansfei po fotamiento lo cual se confimaba mediante la tansmisión de la vitud eléctica de una vailla fotada hacia otos cuepos po contacto diecto o vía un hilo ue les uniea y dales así la popiedad de atae cuepos ligeos. Con esto uedaba demostado ue fuea lo ue fuea la electicidad, podía sepaásela del cuepo donde se poducía, sin embago sugió un nuevo poblema al descubi ue los cuepos electizados podían atae o epele otos cuepos electizados. nte uienes se dieon a la taea de esolve este nuevo conflicto de la natualeza de la electicidad se hallaba el uímico Chales-Fancois de Cistenay Du Fay. n 733 supo de los expeimento de electicidad y comenzó a tabaja. Descubió ue tocitos de metal ue habían estado en contacto con una vailla de vidio electizada se epelían ente si, peo ataían tocitos de metal ue habían estado en contacto con un tozo de esina electizada. Du Fay concluyó ue existen dos electicidades, muy difeentes ente sí; a una de éstas la llamo electicidad vítea; a la ota electicidad esinosa. Se poduce electicidad vítea( del latín viteus, vidioso) cuando se fotan, especialmente en seda, deteminadas sustancias como: vidio, cistal o gemas. Se poduce electicidad esinosa cuando se fotan, especialmente con piel, esinas como: ámba o copal. su vez, la seda utilizada paa fota el vidio ecibe electicidad esinosa; la piel utilizada paa fota la esina, electicidad vítea. Se suponía ue la electicidad vítea y esinosa ataían mateia odinaia, y ue la electicidad vítea ataía a la electicidad esinosa; se aceptaba, empeo, ue los cuepos ue potaban electicidad vítea se epelían ente sí, y análogamente, los dotados de electicidad esinosa. Con la investigación de Du Fay se podía deci ue tipos distintos de electicidad se ataían ente sí, mientas ue las iguales se epelían.

4 4 Capítulo Pese a ue la teoía de los dos fluidos paa la electicidad cumplía con todas las expectativas del siglo XIII, ésta fue puesta en tela de juicio po el físico noteameicano enjamín Fanklin. Fanklin comenzó a inteesase po la electicidad en 743 después ue pesencio una demostación de expeimentos elécticos llevados a cabo en una confeencia. Fanklin empezó sus popios expeimentos y deducciones, él llego a la conclusión de ue la electicidad consistía en una sola clase de fluido y no dos como pensaba Du Fay, este fluido, decía, esta fomado po patículas extemadamente sutiles. Supuso ue la mateia odinaia etenía la electicidad, como si fuea una especie de esponja. Po tanto al fota una vailla de vidio con un pedazo de seda, algo de la electicidad de la seda se tansfiee al vidio, dejando a la seda con un déficit de electicidad. ste déficit de electicidad es lo ue se llamaba electicidad esinosa. nálogamente cuando se fotaba una baa de ámba en piel, se tansfeía pate de la electicidad, peo esta vez de la baa a la piel dejando un déficit en la baa; el déficit de electicidad de la baa y el exceso en la piel coincidían, espectivamente, con la electicidad esinosa y vítea de Du Fay. l déficit de electicidad Fanklin lo denominó electicidad negativa y al exceso electicidad positiva. Po caga eléctica del cuepo entendía la cantidad de electicidad (positiva o negativa) de cualuie cuepo. stos téminos a pemanecido hasta nuestos días y los seguiemos utilizando. Lo aiba expuesto, de manea muy geneal, nos pemite esumi los siguientes aspectos de la caga eléctica, ue siven como punto de patida paa nuesto estudio electomagnético. La caga eléctica es una popiedad intínseca de la mateia. Se pueden defini dos tipos de caga, positiva y negativa. La convención de esto es totalmente abitaia y se debe al científico ameicano enjamín Fanklin (76-79) La definición es a pati de fotamiento Los mateiales ue comúnmente se utilizan paa la definición abitaia de positivo y negativo son seda, vidio, piel y plástico con las siguientes consideaciones. Seda fotada con vidio caga positiva en el vidio Piel fotada con plástico caga negativa en el plástico pati de esta definición podemos enconta empíicamente, po compaación, la clase de caga ue tienen los cuepos, esto se puede lleva acabo utilizando un dispositivo como el ue se muesta en la figua.., el cual consiste de una baa aislada ligea suspendida hoizontalmente de su pate media po un hilo de seda. Si la baa se electifica con uno de los tipos de caga, de acuedo a la convención aiba mencionada, entonces al aceca a ésta cualuie cuepo cagado se puede sabe si es del mismo tipo de caga ue tiene la baa al esulta una epulsión y de difeente tipo si hay una atacción. La vesión más sofisticada de éste dispositivo se conoce como balanza de tosión y fue utilizada po Chales ugustin Coulomb paa descubi la ley de inteacción eléctica.

5 lectostática 5 N Negativo Positivo Figua.. Lo ue podemos conclui de la obsevación expeimental de éste expeimento es lo siguiente: Objetos ue poseen el mismo tipo de caga se epelen Objetos ue poseen difeente tipo de caga se ataen Éstos esultados, en téminos de nuesta definición abitaia de caga, se estableceían de la siguiente foma: Caga caga Obsevación + + Repulsión + - tacción - + tacción - - Repulsión.3 Popiedades de la caga La caga tiene popiedades intínsecas las cuales son difíciles de analiza en un cuso básico, sin embago, se pueden menciona en intenta da una explicación cualitativa. De auí en adelante se usaa la leta o Q paa denota la cantidad de caga de un objeto..3. La caga se conseva: [Los cuepos existen en estado neuto] Fanklin también intodujo la hipótesis fundamental de la consevación de la caga. La electicidad nunca se cea ni se destuye, solamente se tansfiee. De ahí ue, cuando se fota una vailla de vidio con seda, la caga eléctica positiva de la vailla sea exactamente igual numéicamente a la caga negativa de la seda; euipaando positiva y negativa, la caga total sigue siendo ceo, esto se ilusta en la figua.3. Intínseco Intimo, sencial, lgo ue se tiene de po sí.

6 6 Capítulo NTS D FROTR Paño de seda aa de vidio Caga en la seda Q Caga en el vidio Q S caga total del sistema Q Q + Q T S DSPUÉS D FROTR Paño de seda aa de vidio Q S Q Q + Q caga total del sistema Q Q + Q ( Q) + ( + Q) Figua La caga esta cuantizada sto uiee deci ue existe una caga fundamental denotada con la leta e y ue tiene el valo T S e c ; c [ caga] coulombs u en téminos de la cual es posible pone cualuie caga, esto es: ne ; n nteo positivo negativo o ceo JMPLOS PRTÍCUL SÍMOLO CRG n MS(KG) Potón P +e Neutón n lectón e - e

7 lectostática 7.4 Fueza léctica finales del siglo XIII en el año de 785 el ingenieo milita Fancés Chales ugustin Coulomb (736-86) midió las caacteísticas de las fuezas ente cuepos elécticamente cagados. ncontando una ley de inteacción paa estos cuepos. sta ley lleva su nombe y se conoce como la LY D COULOM. Sus caacteísticas esenciales son: Dados dos objetos con caga, como lo muesta la figua.4. a) La fueza es popocional al inveso del cuadado de la distancia ue las sepaa F ; b) La fueza es popocional al poducto de las cagas F c) l inciso a) y b) implican ue Figua.4. F k peo sabemos ue toda fueza es un vecto sin impota su natualeza (Leyes de Newton), po lo tanto la foma coecta de escibi la ley de inteacción eléctica es F k ˆ ; ˆ vecto unitaio y expeimentalmente se encuenta ue el valo de la constante de popocionalidad es [.4.] k Nm 9 9 ; ε c c Nm [.4.] Una obsevación impotante es ue la Ley de Coulomb es una ley de la natualeza exacta, esto uiee deci ue expeimentalmente se encuenta con excelente apoximación ue el exponente de es. Todas estas conclusiones fueon descubietas po coulomb a pati del año de 785 utilizando su famosa balanza de tosión la cual se muesta en la figua.4. Los tabajos de coulomb hasta esta fecha vesaban sobe mecánica: ficción. elasticidad, tosión, etc. Como ingenieo milita esponsable de los petechos navales tenía ue medi la fueza de los cables, de las baa de metal y, uno de los aspectos pincipales, detemina la fueza a la ue esistían en difeentes situaciones: fuezas aplicadas, fuezas de ozamiento, y la esistencia a la tosión. sí invento la balanza de tosión en la década de los setenta (siglo XIII) paa pode efectua ealmente todo lo ue se suponía ue podía hace: medi cuánta fueza se podía aplica paa etoce una baa de hieo antes de ompese, pues hay ue ecoda ue siete años atás, en 777, ya había aplicado su idea de tosión a la medición del campo magnético teeste en el obsevatoio de País. De esta foma fue pepaando y mejoando su balanza de tosión paa utilizala a pati de 785, cuando se dedicó a los nuevos campos de la física ue esultaon se la culminación de su tayectoia científica a la edad de 5 años.

8 8 Capítulo n el año de 784 Coulomb pesenta a la cademia de Ciencias de Fancia la descipción de su balanza ue publicó en sus Memoies de 785 en los siguientes téminos n una memoia pesentada a la academia en 784 he deteminado expeimentalmente las leyes de la fueza de tosión de un hilo de metal y he encontado ue esta fueza es popocional a la cuata potencia del diámeto del hilo de suspensión, a la invesa de su longitud, multiplicándose todo po un coeficiente constante ue depende de la natualeza del metal y ue es fácil detemina po la expeiencia. He hecho ve en la misma memoia ue po medio de esta fueza de tosión ea posible medi con pecisión fuezas muy peueñas, como po ejemplo: de gano (.5dinas ). He dado en la misma memoia una aplicación de esta teoía buscando evalua la fueza constante atibuida a la adheencia en la fómula ue expesa el fotamiento de la supeficie de un cuepo sólido en movimiento dento de un fluido. Y en el año de 79 epota a la academia lo siguiente Pesento hoy a la academia una balanza eléctica constuida sobe los mismos pincipios; mide con la mayo exactitud el estado de la fueza eléctica de un cuepo, po débil ue sea el gado de la electicidad. La balanza consiste en un vaso cilíndico de vidio CD, según la figua (Figua.4.), de pulgadas de diámeto y de altua tapado con un disco, también de vidio, de 3 pulgadas de diámeto, el cual está pefoado po dos oificios de líneas de diámeto sobe uno de los cuales, f, en el cento del disco, está colocado un tubo de vidio de 4 pulgadas de altua, sujeto po medio del cemento ue se usa genealmente en los apaatos elécticos. n el extemo supeio h del tubo hay un micómeto de tosión, como se detalla en la figua (Figua.4.), en cuya pate de aiba, no., lleva la cabeza b, el índice io y la gapa. sta pieza se enchufa en el oificio G de la pieza no., la cual está fomada po un limbo ab dividido en 36 y un tubo de cobe φ ajustado al tubo H no.3 conectado al extemo supeio del tubo de vidio fh de la figua. La gapa tiene la misma foma ue el extemo del compás donde va la tiza, según la figua no., y este canuto, ceado con el anillo G, se fija al extemo de un hilo de plata muy fino, en cuyo oto extemo (figua 3), sujeta en P, hay una gapa fomada po un cilindo Po de cobe de diámeto no mayo ue una línea, y cuya pate supeio foma una gapa ue se ciea po medio de la pieza deslizante φ. ste peueño cilindo. lagado en C, lleva un oificio en el ue se puede coloca una aguja ag y tiene el peso suficiente paa mantene tenso el alambe de plata sin ompelo. La aguja ag ue se ve en la figua, suspendida hoizontalmente ceca del punto medio del vaso ue la contiene, está fomada po un hilo de seda empapado en lace y temina, desde hasta a en 8 líneas de extensión, po una baa cilíndica de goma laca. n el extemo a hay una esfeita de médula de saúco de ó 3 líneas de diámeto y en g va una peueña pieza de papel impegnado de aguaás ue sive de contapeso a la esfeita a y amotigua las oscilaciones. La tapadea cicula C tiene además del oifico f oto m en el cual va un peueño cilindo mφ t, cuya pate infeioφ t es de goma laca; en t hay ota esfea de medula de sauce y alededo del cilindo, a la altua de la aguja, un limbo ( coona gaduada ue tienen algunos instumentos paa medi los ángulos) zq dividido en 36 y, paa mayo sencillez, se utiliza una tia de papel ue se pega alededo del cilindo a la altua de la aguja Coloué la cubieta de tal manea ue el oificio m coesponde pácticamente a la pimea división del limbo z o Q tazado en el vaso cilíndico; puse luego en índice oi del micómeto, después hice gia éste en el tubo vetical fh hasta ue, miando po el alambe vetical del ue estaba suspendida la guja ag y el cento de la esfea a, obsevé ue la aguja ag coespondía a la pimea división del limbo z o Q; de esta manea la balanza uedó en condiciones paa empleala en cualuie opeación.

9 lectostática 9 Figua Matemáticamente continuación haemos una consideación matemática sobe el vecto distancia en la ley de Coulomb con el fin de ue las matemáticas usadas paa esta ley coincidan con la obsevación expeimental Siempe ue hablamos de inteacción (Fuezas) tenemos ue involucas fozosamente un pa de objetos o más. Paa la electicidad podemos tabaja el sistema más simple, ue seía el de dos patículas cagadas etiuetadas con los subíndices uno y dos espectivamente. n este caso podemos habla de la fueza eléctica ue siente una de las patículas debido a la pesencia de la ota, lo cual nos lleva a dos posibilidades: (i) La fueza eléctica ue siente la patícula uno debida a la pesencia de la patícula dos, lo cual se denota F y matemáticamente se expesa como F ˆ (ii) La fueza eléctica ue siente la patícula dos debida a la pesencia de la patícula uno, lo cual se denota F y matemáticamente como F ˆ [.4..] Como podemos obseva la difeencia ente el inciso i) y el inciso ii) son los subíndices en el vecto fueza ue dependen del vecto posición, po tanteo es indispensable defini coectamente el vecto posición. Paa ello adoptaemos la siguiente convención:

10 (i) ecto (ii) ecto Capítulo es el vecto ue pate de la patícula dos y llega a la patícula uno es el vecto ue pate de la patícula uno y llega a la patícula dos sta convención nos dice ue el segundo subíndice nos indicaá el luga de donde pate el vecto y el pime subíndice el luga a donde llega. hoa compobemos ue esta convención matemática nos pedice lo ue sucede expeimentalmente: JMPLO Calcula la fueza eléctica ente dos patículas las cuales poseen las siguientes cagas a) + Q ; + Q b) + Q ; Q SOLUCIÓN: a) y x v F ( x,) x ˆ (, ) ˆ Figua.4.. ( + Q )( ) ( ) + Q Q, Q, x x Lo cual nos dice ue en un diagama de fuezas el vecto F se tiene ue dibuja como lo muesta la figua.4.. y esto nos indica ue cagas del mismo signo se epelen F Repulsión + Q + Q Figua.4..

11 lectostática b) y x v F ( x,) x ˆ (, ) ˆ Figua.4..3 ( + Q )( ) ( ) Q QQ,, x x Lo cual nos dice ue en un diagama de fuezas el vecto F se tiene ue dibuja como lo muesta la figua.4..4 y esto nos indica ue cagas de signo difeente se ataen. F + Q Q tacción Figua Supeposición Si existen dos o más cagas la LY D COULOM se cumple paa cada paeja de cagas. Sean,... n cagas. La fueza ue sobe cualuiea de ellas (Pongamos po ejemplo ) ejecen todas las demás se calcula de la siguiente manea: FT F + F F n Figua n 3 n

12 Capítulo F F T T ˆ ˆ ˆ ˆ n ˆ n n ˆ n n geneal se tiene paa la i-ésima patícula F Ti i 4 πε n i j j ij ˆ ij [.5.] La ecuación [.3.] se conoce comúnmente como PRINCIPIO D SUPRPOSICIÓN.6 Clasificación eléctica de los mateiales Con el conocimiento de los fenómenos elécticos es posible elaboa una clasificación de los mateiales de acuedo a sus popiedades elécticas. La clasificación es la siguiente: (i) islantes, no conductoes o dielécticos Mateiales como : Lana, plástico, vidio, cabello y el cueo n estos mateiales las cagas tienen movilidad limitada y sólo se moveán cuando su epulsión mutua sea lo suficientemente gande paa contaesta la tendencia a se mantenidos en su luga po los átomos anfitiones. Cuando un aislante ecibe una caga, la etiene, confinándola en cualuie pate de la egión localizada en la cual se intodujo. (ii) Conductoes Mateiales como: cobe, oo, aluminio (metales ) Un conducto pemite ue la caga intoducida en él fluya libemente y se edistibuya. Los átomos de los metales sujetan débilmente a sus electones más extenos, po lo ue una muesta voluminosa contiene un enome númeo de electones libes.; en foma apoximada uno po átomo.

13 lectostática 3 (iii) Semiconductoes jemplo: Mateiales como: gemanio y silicio Son buenos aislantes cuando se encuentan en estado cistalino puo, peo su conductividad aumenta podigiosamente cuando un solo átomo en diez millones se emplaza po una impueza ue agega o uita un electón a la estuctua cistalina. Se puede hace ue estos mateiales se compoten a veces como aislantes y a veces como conductoes Los tansistoes se componen de vaias capas delgadas de mateiales semiconductoes dispuestas como empaedado (iv) Supeconductoes Metales ue aduieen una conductividad infinita a tempeatuas cecanas al ceo absoluto pati de 987 se ha encontado el fenómeno de la supeconductividad a altas tempeatuas (aiba de K) en divesos compuestos no metálico ( compuesto ceámico de baio, lantano, cobe y oxígeno) Dibujo ue muesta un ten levitando po campos magnéticos poducidas po coientes supeconductoas..6. Inducción lectostática Con el conocimiento de los mateiales conductoes de la electicidad y la ley de inteacción de las cagas elécticas es posible entende un fenómeno ue consiste en la sepaación de cagas positivas y negativas en un conducto inducido po la pesencia de un objeto cagado póximo, este fenómeno se conoce como inducción electostática. Los excesos locales de cagas positivas y negativas ue se acumulas en egiones difeentes del conducto se denominan cagas inducidas. l conocimiento de la inducción electostática nos pemite constui apaatos como el electoscopio paa sabe si los cuepos están cagados positiva o negativamente o paa caga conductoes.

14 4 Capítulo.6. lectoscopio n 786, el eveendo. ennet pesentó un dispositivo ue hasta la ea modena de la electónica, fue el pincipal indicado electostática. l electoscopio de hojas de oo consta básicamente de dos hojas metálicas extemadamente delgadas, ue penden paalelas ente sí de un alambe conducto, todo ello contenido en una envoltua potectoa de vidio, esto se ilusta en la figua.6... Una caga intoducida a tavés del botón metálico de la pate supeio, se distibuye en el apaato; cieto valo de caga viaja hacia abajo po el alambe y se divide po igual en cada una de las hojas. l epelese ente sí, las hojas pivotean sepaándose en un ángulo popocional a la caga neta. Y así pemanecen sepaadas las hojas, hasta ue las cagas sean delibeadamente emovidas o hasta ue se fugue hacia el aie. Figua.6.. Mediante un lectoscopio se puede detecta una caga y detecta su signo. Si una caga positiva se aceca a un electoscopio cagado positivamente, como lo muesta la figua.6.. inciso (a), las hojas divegen todavía más. n la seie de figuas.6.. inciso (b) una caga negativa se apoxima cada vez más a la esfea de un electoscopio cagado positivamente. Po consiguiente, cada vez se epelen más cagas negativas hacia las hojas ue teminan po unise. Finalmente, si una caga negativa muy gande se apoxima mucho, son tantas las cagas negativas ue se acumulan sobe las hojas ue éstas divegen de nuevo po ue aduieen una caga neta de este signo..6.3 Cagando Conductoes Cuando un conducto neuto se apoxima a un cuepo cagado positivamente, las patículas elécticas negativas son ataídas hacia la pate más póxima al cuepo cagado. Como la caga inducida negativa está más póxima al cuepo positivo existe una fueza neta de atacción. Figua.6.3. l fenómeno de la inducción electostática nos pemite caga conductoes. Supongamos ue tenemos dos cilindos metálicos iguales sobe sopotes aislantes ue ponemos en contacto ente sí, fomando un conducto de longitud doble como indica la figua n estas condiciones acecamos una baa de vidio cagada positivamente al extemo del conducto. La caga positiva de la baa de vidio atae cagas negativas del conducto y epele las positivas. n consecuencia, el extemo

15 lectostática 5 póximo del conducto aduiee un exceso de patículas elécticas negativas y el extemo alejado se caga positivamente. Si sepaamos ahoa los dos cilindos metálicos, apatando los sopote, peo manteniendo el vidio positivamente cagado en las poximidades, el cilindo póximo uedaá cagado negativamente y el alejado positivamente. Figua.6.3. Más sobe conductoes e Inducción

16 6 Capítulo Un peine cagado negativamente ecogiendo tocitos de papel de seda. Pemitiendo ue los electones fluyan hacia tiea, el alambe popicia ue el electoscopio ue cagado pemanentemente. Distibución de caga situada en las supeficies de un conducto y de un no conducto Las cagas tienden a acumulase sobe las egiones teminadas en punta de un conducto. La distibución de caga sobe la supeficie de conductoes idénticos. La caga se epate de manea unifome sobe las dos esfeas.

17 lectostática 7.7 Campo eléctico Tataemos de defini el concepto de campo eléctico a tavés de su analogía con el campo gavitacional teeste. Consideemos el movimiento de un objeto en caída libe ceca de la tiea. n este caso la causa del movimiento es la inteacción ente nuesto objeto de estudio y la tiea. De acuedo a la segunda ley de newton su movimiento está dado po la ecuación mg [.7..] F g donde m es la masa del objeto en estudio. Si despejamos de ésta elación g obtenemos v Fg g [.7.] m sta ecuación la podemos considea como la definición del campo vectoial gavitatoio ceca de la supeficie de la tiea. Donde F v g es la fueza de inteacción ente el objeto y la tiea y m la popiedad intínseca de la mateia ue pemite la inteacción gavitacional. n mecánica m g campo gavitatoio F v Tiea M Isaac Newton Figua.7. Matemáticamente la expesión [.7.] nos dice ue en cada punto alededo y muy ceca de la supeficie teeste podemos dibuja un vecto en diección del cento de la tiea ue se puede intepeta como el vecto campo gavitacional en ese punto, es deci, hemos constuidos el campo vectoial gavitacional y la manea de inteacciona con este campo es a tavés de un objeto pueba, ue en este caso es el objeto en caída (manzana). Podíamos deci también, de una foma más supeficial, clao está, ue la tiea de masa M geneó un campo vectoial gavitacional y la foma de veifica ue este campo existe es coloca una patícula pueba con la popiedad de masa y obseva su inteacción, en este caso el movimiento en caída libe. Hemos puesto como medio de inteacción ente el objeto Paa una discusión un poco más detallada sobe el concepto de campo eléctico véase las notas Intoducción a la Física Modena paa facultad de Ingenieía de lbeto Sánchez Moeno.

18 8 Capítulo de masa M y el objeto de masa m el campo vectoial gavitacional, esuemáticamente se puede pone como Objeto de masa M campo gavitacional Objeto de masa m ( La tiea ) ( g cuando estamos ( Manzana) ceca de la tiea) y la ecuación [.7.] nos pemitiía enconta de manea cuantitativa este campo. n conclusión estamos diciendo ue la tiea genea un campo vectoial gavitacional y ue la causante de éste es su popiedad intínseca de masa, peo el objeto pueba también posee esta popiedad sino, no había inteacción, entonces Qué hay de éste campo?, bueno, la espuesta es, ue efectivamente el campo gavitacional vectoial geneado po el objeto pueba existe y ue dada su popiedad vectoial esta en supeposición del geneado po el objeto de masa M, en este caso la tiea, sin embago, como este campo es popocional a la cantidad de masa, el campo geneado po el objeto pueba es despeciable en compaación del campo geneado po la tiea y po tanto con buena apoximación estamos encontando bajo la elación [.7.] el campo gavitacional geneado po la tiea. n analogía con este pocedimiento podemos da una definición del campo eléctico, veamos esto con mayo detalle. Consideemos ue en luga de la tiea tenemos una patícula puntual de caga +. hoa si colocamos una patícula de caga + ceca de la caga se povocaá una inteacción dada la natualeza de caga de ambas patícula, en este caso una epulsión ente ambas patículas ( si en luga de una patícula positiva se colocaá una negativa entonces se tendía una atacción y esto epesentaía mejo la analogía, sin embago po convección se usa la caga positiva) se puede considea auí también ue la inteacción se llevó a cabo po medio de un campo geneado po la patícula de caga + y ue dada su natualeza llamamos campo eléctico al cual denotaemos con la leta, auí también este campo es popocional ala cantidad de caga ue posee cada patícula, po lo tanto, si ueemos gaantiza ue estamos calculando con buena apoximación el campo eléctico geneado po la patícula, tenemos ue considea la patícula ue nos seviá de pueba paa medi el campo, de manea análoga a utiliza el objeto de masa m paa medi el campo gavitacional de la tiea, lo suficiente peueña paa ue su campo no se supeponga demasiado con el campo ue ueemos calcula. Siguiendo la analogía de la elación paa el campo gavitacional, el campo geneado po la caga lo podemos epesenta de la siguiente manea lím F e donde la expesión lím no es estictamente un límite matemático, sino, una manea de expesa ue se considea una caga de pueba suficientemente peueña y ue una vez ue se tiene clao esto se puede pescindi de él, y F e es la fueza de caácte eléctico ente las dos patículas con caga + y, la patícula pueba ue po convención la tomamos positiva. hoa dado ue cualuie fueza sin impota su oigen se puede epesenta po un vecto y es una cantidad escala el esultado de la opeación F e seá una cantidad vectoial, con esto mostamos ue el campo eléctico también es

19 lectostática 9 epesentado po un campo vectoial, es deci un vecto en cada punto alededo de la patícula con caga, esto es, Fe lím [.7.3] suemáticamente tenemos patícula de caga campo eléctico patícula de caga n electicidad Repulsión + Campo léctico campo eléctico v F lim e Figua.7. caga campo caga Michael Faaday ( ).8 Líneas de Fueza de Faaday Michael Faaday definió unas líneas a pati de una convención abitaia, ue nos pemiten tene una idea esuemática del campo eléctico. stas líneas se conocen como líneas de fueza de Faaday. Las convenciones ue se toman paa dibuja las líneas de fueza son las siguiente i) l campo eléctico paa una patícula puntual de caga + se esuematiza con líneas adiales saliendo de la caga. ii) l campo eléctico paa una patícula puntual de caga se esuematiza con líneas adiales entando de la caga. PROPIDDS D LS LÍNS D FURZ Figua.8. Figua.8.

20 Capítulo iii) iv) La tangente a una línea de fueza en cualuie punto es la diección del campo eléctico en ese punto. Las líneas de fueza se dibujan dé tal foma ue el númeo de líneas po unidad de sección tansvesal es popocional al campo eléctico. (cuando las líneas son póximas ente si el campo eléctico es gande y cuando están sepaadas peueño) Figua.8.3 stas líneas seían las posibles tayectoias ue seguiía una patícula pueba de caga positiva colocada en el campo eléctico. Po ejemplo paa el caso del campo geneado po una patícula puntual de caga, cualuie patícula de pueba colocada en sus vecindades sufiá una fueza de epulsión en diección adial y po lo tanto el dibujo del campo seán líneas adiales saliendo de la caga..9 Campo léctico paa Distibuciones de caga hoa calculaemos el campo eléctico paa difeentes distibuciones de caga. Paa lleva acabo este popósito consideemos siempe un sistema coodenado en dos dimensiones y una patícula puntual de caga + como patícula de pueba en el punto donde se uiea calcula el campo eléctico. Comenzaemos consideando la distibución de caga más elemental, esto es, una patícula puntual de caga + como muesta la figua.9.. Queemos calcula el campo eléctico geneado po esta distibución de caga en el punto P. De acuedo a la ecuación [.7.3] el campo eléctico en el punto P esta dado po Fe donde F e es la fueza eléctica ente + y + y está dad po la ley de Coulomb F e Rˆ R donde R es el vecto ue va de la distibución al punto donde ueemos calcula el campo. Po lo tanto el campo eléctico paa ésta distibución en el punto P es

21 lectostática P R Rˆ [.9.] z R v P y x Figua.9. hoa, si en luga de una caga puntual consideamos n cagas puntuales, el campo eléctico geneado po esta distibución se puede calcula utilizando el pincipio de supeposición. l campo en el punto P, debido a n cagas puntuales esta dado po P F TP donde F TP es la fueza total en el punto P debida a las n cagas puntuales. Po lo tanto el campo eléctico en el punto P ˆ + ˆ ˆ n n P y en geneal paa cualuie punto donde se uiea calcula el campo i 4 πε n i j ˆ j ij ij [.9.] donde i epesenta el punto donde se uiee calcula el campo. s tos dos tipos de distibución se puede considea como distibuciones discetas de caga, sin embago, también es posible considea distibuciones continuas de caga, ente estas se encuentan una distibución lineal de caga, una distibución supeficial de caga y una distibución volumética de caga. continuación pocedemos a calcula el campo eléctico geneado po estas distibuciones.

22 Capítulo Distibución lineal de caga z λ ( ) R v P d y x Figua.9. Consideando una línea iegula, en la cual hay una distibución lineal de caga. Calculemos el campo eléctico en el punto P debido a la distibución lineal de caga. Paa ello tomemos un elemento difeencial de línea dl el cual contiene un elemento difeencial de caga, po tanto, en el punto P tenemos un elemento difeencial de campo eléctico: con v d d Rˆ R [.9.3] d λ dl [.9.4] sustituyendo [.9.4] en [.9.3] e integando obtenemos el campo eléctico debido a la distibución lineal de caga l λ( ) dl Rˆ R [.9.5] nálogamente se calcula el campo eléctico paa las distibuciones supeficiales y voluméticas de caga. Distibución supeficial de caga Paa calcula el campo eléctico geneado po una distibución supeficial de caga pocedemos de foma simila a la distibución lineal peo en luga de considea un elemento difeencial de longitud consideamos un elemento difeencial de supeficie e integamos sobe toda la supeficie paa obtene la siguiente expesión matemática paa el campo eléctico calculado en el punto P S σ ( ) ds Rˆ R [.9.6]

23 lectostática 3 Distibución volumética de caga Paa calcula el campo eléctico geneado po una distibución volumética de caga pocedemos de manea análoga a los dos casos anteioes paa obtene expesión matemática ρ( ) d R Rˆ [.9.7].9. jemplo ilustativo ( Dipolo y momento dipola) Considéese una distibución de caga ue consiste en dos patículas puntuales con la misma magnitud de caga peo de signo contaio 3, colocadas como muesta la figua.9... (a) Calcúlese el campo eléctico en puntos sobe el eje de simetía. (b) Calcule el campo eléctico si b >> a SOLUCIÓN: a) + a P b a P P je de simetía T Figua.9.. De acuedo al pincipio de supeposición y de la ecuación [.9.] tenemos TP 4 πε j j Pj ˆ Pj hoa, paa este poblema TP + ˆ ˆ P + P P P ; [.9.8] 3 esta distibución se le conoce como dipolo eléctico

24 4 y Capítulo ( b a) b P, P + a ( b + a) b P, P + a sustituyendo estos valoes en la ecuación [.9.8] TP TP TP 4 πε ( + ) ( b + a ) ( b + a ) 3 ( b, a) ( ) b + a + {( b, a) ( b, + a) }, a ( b + a ), ( b, + a) b + a ( ) ( ) 3 TP 3 + b a ( + ) b a a b ) Sí b >> a TP a, 4 πε b 3 La cantidad a se denota con la leta p y se conoce como el momento dipola eléctico 4. n téminos de esta nueva cantidad v TP p, 4 πε b 3 n geneal el momento dipola magnético es un vecto y esta definido de acuedo a la convención ue se considee paa el vecto de sepaación de las cagas. Po lo geneal se considea el vecto posición saliendo de caga negativa y llegando a la caga positiva. p l l + Figua l momento dipola eléctico es un vecto, en este caso tenemos la magnitud del momento dipola eléctico,

25 lectostática 5. Ley de Gauss sí como las leyes de Newton son las leyes fundamentales de la mecánica clásica también en el electomagnetismo se tienen leyes fundamentales ue igen los fenómenos electomagnéticos. Una de estas leyes fundamentales es conocida como ley de Gauss. n esta sección entendeemos como se obtiene dicha ley. Comenzaemos ecodando algunos antecedentes indispensable paa la deducción de la ley de Gauss. Consideemos el poblema en dos dimensiones de un ciculo, el cual ueda definido po su adio. l aco de cicunfeencia está dado de manea apoximada po la elación l θ θ l Figua.. si l y θ son de oden infinitesimal entonces dl dθ dl d θ hoa podemos genealiza este esultado paa tes dimensiones, en este caso en luga de tene un elemento de aco tendemos un elemento difeencial de supeficie, como lo muesta la figua.. ds d Ω Figua.. ntonces, en analogía a las dos dimensiones podemos pensa ue ahoa tenemos un elemento difeencial de ángulo en tes dimensiones el cual se puede expesa de la siguiente manea

26 6 Capítulo ds d Ω el ángulo así definido ecibe el nombe de ángulo sólido. mados con este concepto pocedemos a la deducción de la ley de Gauss. Consideemos una patícula puntual de caga abitaia S +, la cual se enciea con una supeficie Figua..3 hoa consideemos la integal de supeficie o flujo del campo vectoial,de la componente nomal del campo eléctico sobe la supeficie ceada S,como lo muesta la figua..3, ue enciea al oigen y, en consecuencia, a la caga, esto es Φ Φ a da. a Rˆ nˆ da R ; da nda ˆ ; R Rˆ da cosθ Φ [..] R la cantidad da cosθ es la poyección de da en un plano pependicula a R. sta áea poyectada, dividida ente R, es el ángulo sólido subtendido po da cosθ. ste ángulo sólido es el mismo ue el subtendido po d a ue es un elemento del áea supeficial de la esfea S cuyo cento está en el oigen y cuyo adio es, un esuema ue ilusta este pocedimiento se muesta en la figua..4

27 lectostática 7 Figua..4 Po lo tanto da da cosθ R [..] hoa sustituyendo [..] en [..] Φ da da 4πR S R R S R ε Con lo cual podemos conclui ue el flujo del campo vectoial a tavés de una supeficie ceada S ue enciea la fuente de caga eléctica es igual a la caga enceada ente la constante de pemitividad eléctica. Matemáticamente: a da enc ε [..3] La ecuación [..3] se conoce como la ley de Gauss 5, donde, el subíndice enc indica ue es la caga enceada po la supeficie, a esta supeficie se le da el nombe de supeficie Gaussiana. Si está fuea de S, se ve de la figua..5 ue S puede dividise en dos áeas, S y S, cada una de las cuales subtiende el mismo ángulo sólido especto a la caga. Sin embago, paa S, el sentido de la nomal es hacia, mientas ue paa S es alejándose de. Po consiguiente las contibuciones de S y S a la integal de supeficie son iguales y opuestas, y la integal total se anula. Po lo tanto, si la supeficie no odea la caga puntual, es deci, si está fuea de la supeficie, la integal de supeficie es ceo. 5 sta ecuación es la pimea de las ecuaciones de Maxwell, ue son las ecuaciones fundamentales del electomagnetismo, análogas a las leyes de Newton en la mecánica

28 8 Capítulo Si vaias cagas puntuales,,..., N están enceadas po la supeficie S, entonces el campo eléctico total está dado po la ecuación [.9.] Cada caga subtiende un ángulo sólido completo, po lo ue la ecuación [..3] se tansfoma en N da i [..4] ε a i ste esultado puede genealizase de inmediato al caso de una distibución de caga continua caacteizada po una densidad de caga ρ. Si cada elemento de caga d ρd se considea una caga puntual, entonces la caga total enceada po la supeficie de integación seá: enc ρ d [..5] y sustituyendo [..5] en [..3] obtenemos da a ε ρd [..6] Figua..5. Ley de Gauss en foma Difeencial Las ecuaciones de la física-matemática se expesan egulamente en foma difeencial, paa el caso ue estamos estudiando, tenemos una ecuación fundamental de la física matemática, ue es la ley de Gauss, peo en foma integal, po tanto es impotante tene la epesentación difeencial de esta ecuación. Paa lleva acabo este popósito utilizaemos un teoema impotante del análisis vectoial ue se conoce con el nombe de teoema de la divegencia de Gauss. Consideemos la ley de Gauss en foma integal (ecuación [..6]) da ε a ρd [..] hoa, el teoema de la divegencia, nos dice ue: S C ds ( C)d

29 lectostática 9 donde C es cualuie campo vectoial y es el volumen ue enciea la supeficie S. Si aplicamos éste teoema al campo vectoial eléctico obtenemos a da d ( ) [..] sustituyendo [..] en [..] tenemos ntonces Po lo tanto ( ) d ε ρ d ε ρd ρ [..3] ε La ecuación [..3] es la ley de Gauss en foma difeencial.. jemplo ilustativo Considee el campo eléctico poducido po n cagas puntuales. Mueste ue el campo vectoial es un campo vectoial consevativo. Solución: l campo vectoial esta dado po la expesión n i n i i ( i ) 3 i R ; R i i 3 i R i i [..4] Si es una campo vectoial consevativo a lo podemos expesa como el gadiente de una función escala. Si esto es posible, el otacional de seá ceo. Tomemos el otacional de la ecuación [..4] n i v R i R i 3 i

30 3 Capítulo v i R + 3 i 3 4 Ri πε Ri Ri [..5] peo Ri Ri y R i Ri [..6] sustituyendo [..6] en [..5] Ri i 3 Ri 5 v 3 Ri i R 5 i v Ri Ri [..7] Po lo tanto el otacional del campo eléctico es ceo, esto nos dice ue podemos escibi al campo eléctico como el gadiente de una función escala ϕ La función escala ϕ conveniencia. se le conoce como potencial eléctico y el signo menos en la ecuación es po.. jemplos donde se utiliza la ley de Gauss (a) Utilizando la ley de Gauss, calcula el campo eléctico geneado po una distibución lineal de caga λ constante, ue se encuenta en una línea infinita. λ Campo eléctico Supeficie gaussiana Figua... l ds Figua... ds 3 ds Solución: Las ley de Gauss nos dice ue: S ds enc ε [...]

31 lectostática 3 donde S es una supeficie ceada 6 ue enciea la caga ue genea el campo. Paa este ejemplo es conveniente elegi a esta supeficie como un cilindo de adio y de altua l y colocalo de manea vetical enceando una pate de la línea, como muesta la figua... hoa bien, la caga enceada po esta supeficie se calcula mediante la expesión λ d enc dl, ya ue al se la distibución de caga constante no impota la popoción de caga po longitud ue se tome, ésta siempe seá la misma λ, po tanto: enc λ dl l enc λ dl enc λl l [...] Paa calcula el lado izuiedo de la ecuación [...] dividimos la supeficie S en tes supeficies como muesta la figua..., esto es: S ds S ds + ds + ds ds ds cos9 + ds cos + S S ds ds S S ds ds S S ds πl S sustituyendo [...] y [...3] en [...] tenemos. λl πl ε hoa despejamos la magnitud del campo 3 S S3 ds3 cos9 S S3 [...3] λ [...4] πε Hemos encontado ue el campo eléctico tiene una magnitud dada po la ecuación [...4] y está en la diección ˆ. ste esultado se puede expesa en la foma euivalente: λ ˆ [...5] 6 También se le conoce como supeficie gaussiana

32 3 Capítulo paa apovecha el conocimiento de la cantidad. (b) Utilizando la ley de Gauss, calcula el campo eléctico geneado po una distibución supeficial de caga σ constante, ue se encuenta en una supeficial infinita. σ Supeficie gaussiana Plano infinito Campo de pefil eléctico Figua...3 ds ds 3 ds l Figua...4 Solución: [...6] Las ley de Gauss nos dice ue: S ds enc ε donde S es una supeficie ceada 7 ue enciea la caga ue genea el campo. Paa este ejemplo es conveniente elegi a esta supeficie como un cilindo cuya base es de áea d y altua l y colocalo de manea hoizontal enceando una pate de la supeficie, como muesta la figua...3. hoa d enc bien, la caga enceada po esta supeficie se calcula mediante la expesión σ, ya ue al se d la distibución de caga constante no impota la popoción de caga po áea ue se tome, ésta siempe seá la misma σ, po tanto: enc σ d 7 También se le conoce como supeficie gaussiana

33 lectostática 33 σ d enc enc σ [...7] Paa calcula el lado izuiedo de la ecuación [...6] dividimos la supeficie S en tes supeficies como muesta la figua...4, esto es: S ds S ds + ds + ds 3 S S3 ds3 cos S S3 ds ds cos9 + ds cos + S S ds ds + S S ds ds + S S S S3 ds S3 ds ds + sustituyendo [...7] y [...8] en [...6] tenemos. σ ε hoa despejamos la magnitud del campo 3 3 σ ε [...9] [...8] Hemos encontado ue el campo eléctico tiene una magnitud dada po la ecuación [...4] y está en la diección nˆ pependicula al plano de caga. Po tanto el esultado de este poblema es: σ ε nˆ [...]

34 34 Capítulo. Potencial léctico l potencial eléctico, de la misma manea ue el potencial mecánico, tiene ue ve con el concepto de tabajo ue hemos estudiado en otos cusos de física. Paa el caso de potencial eléctico tenemos ue considea el tabajo ealizado po un agente exteno paa tae una caga pueba desde un punto de efeencia hasta el punto en el cual ueemos calcula el potencial, en conta de las fuezas elécticas. Paa entende mejo esto, consideemos el análogo mecánico. Consideemos ue ueemos calcula el potencial gavitatoio muy ceca de la tiea, paa ello consideemos la figua... m g 9.8 s dl.p m F g. D. TIRR Figua.. Definiemos el potencial en el punto P, como el tabajo po unidad de masa, ealizado po la fueza F g paa lleva una patícula de masa m desde el punto de efeencia D hasta el punto P. Hagamos este cálculo T P P F cos g dl Fg dl D D P D F g dl hoa bien, ceca de la tiea F g mg y es un valo constante en buena apoximación, po tanto, T P mgdl mg dl mgl D P D po tanto, el tabajo po unidad de masa es: T gl [..] m Cantidad ue podíamos defini como el potencial gavitacional.

35 lectostática 35 hoa pocedemos de manea análoga paa el campo eléctico. poyados en la figua.. calculamos el tabajo ealizado 8 po una agente exteno paa lleva la patícula de pueba + a tavés de dl + + Figua.. la tayectoia l desde un punto de efeencia situado muy lejos de la fuente de caga (simbolicemos esto con el signo ) hasta el punto, es deci, y en este caso F po tanto, T T F dl dl sí ue, podemos defini el potencial eléctico en el punto como: T dl [..] Con esta definición podemos calcula difeencias de potencial ente puntos, po ejemplo, si ueemos calcula la difeencia de potencial ente un punto y un punto pocede de la siguiente manea: como: Sea la difeencia de potencial ente el punto y el punto igual a lo cual definimos [..] 8 l tabajo ealizado siempe es en conta de las fuezas elécticas poue ueemos ue el tabajo lo ealice el agente exteno, ya ue también podíamos toma una patícula de pueba negativa y existiía tabajo, peo, el tabajo lo ealizaía el mismo campo y no es la idea ue tenemos de concepto de tabajo en física

36 36 Capítulo plicando la definición de potencial dl + dl Po lo tanto dl + dl + dl dl [..3] hoa, si tenemos un gupo de cagas puntuales el potencial debido a esta distibución se encuenta sumando los potenciales debidos a cada una de las cagas, esto es: n n i i [..4] i i i en donde i es el valo de la i -ésima caga y i es la distancia de esta caga al punto donde se uiee calcula el potencial. Finalmente si la distibución de cagas es continua, y no un gupo de puntos, la suma se conviete en una integal y tenemos: d d [..5] en donde d es un elemento difeencial de la distibución de cagas, es su distancia al punto en el cual se calcula el potencial y d es el potencial ue se establece en ese punto... jemplo ilustativo Consideando la figua.9.3. Mueste ue la difeencia de potencial ente los puntos y es la misma independientemente si se toma la tayectoia o la tayectoia d Tayectoia d C Tayectoia dl dl dl 45 Tayectoia Tayectoia Figua.9.3

37 lectostática 37 Solución: Po el camino ( ) cos8 d dl dl dl Po el camino ( ) d d d d C dl dl dl dl dl dl C C C C C + cos35 ; cos9 cos35

38 38 Capítulo..3 uipotenciales Consideemos nuevamente el campo gavitacional ceca de la Tiea. n éste cado el potencial gavitacional es: Φ gh [..3.] g donde h es la altua medida desde la supeficie de la Tiea al punto donde se uiee calcula el potencial. Dado ue g es una cantidad constante, todos los puntos ue se encuentan a la misma altua h tendán el mismo potencial, diemos, entonces, ue todos los puntos están al mismo potencial gavitacional, son los puntos euipotenciales gavitacionales, con los cuales podemos foma líneas euipotenciales. Líneas euipotenciales h g h Figua..3. Nótese ue las líneas euipotenciales son pependiculaes al campo gavitacional, figua..3.. Di la misma foma, apovechando las líneas de fueza de Faaday, en electostática podemos visualiza líneas euipotenciales elécticas, ue son las líneas fomadas con puntos ue se encuentan a un mismo potencial eléctico. Consideemos un campo eléctico unifome, geneado po una supeficie infinita con distibución supeficial de caga constante, cuyas líneas de fueza eléctica se muestan en la figua σ 3 y x Figua..3.

39 lectostática 39 l potencial eléctico paa ésta distibución de caga está dado po. σ Φ [..3.] ε donde x es la distancia del plano al punto donde se uiee calcula el potencial eléctico. ntonces los puntos y, en la figua..3.., se encuentan al mismo potencial. La difeencia de potencial ente y es ceo. De hecho, todos los puntos de la línea ue contengan a, y 3 tienen el mismo potencial y po tanto estas líneas seán líneas euipotenciales elécticas. Si ésta idea se extiende a tes dimensiones, los puntos ue tuviean el mismo potencial fomaían una supeficie euipotencial; en un campo eléctico unifome las supeficies euipotenciales son planos. De las misma foma podemos enconta las supeficies euipotenciales paa otas distibuciones de caga, como po ejemplo: una caga puntual positiva o un dipolo eléctico, figua Dos obsevaciones son impotantes: la pimea es ue si movemos una caga de pueba sobe una supeficie euipotencial la fueza eléctica no ealiza tabajo sobe la caga ya ue sobe las supeficies euipotenciales la difeencia de potencial es ceo y la segunda es ue las supeficies euipotenciales siempe son pependiculaes a las líneas de campo eléctico. Figua cuación de Poisson y cuación de Laplace Consideemos el siguiente pa de ecuaciones ue hemos obtenido peviamente ρ [.3.] ε [.3.]

40 4 Capítulo Donde es el potencial eléctico. Sustituyendo la ecuación [.3.] en la ecuación [.3.] ( ) ρ ε ρ ε ρ ε [.3.3] La ecuación [.3.3] se conoce con el nombe de ecuación de Poisson. l opeado implica la deivación con especto a más de una vaiable; en consecuencia, la ecuación de Poisson es una ecuación difeencial pacial ue puede esolvese una vez ue se conoce la dependencia funcional de ρ ( x, y, z) y Las condiciones adecuadas en la fontea. l opeado, así como el, y no tienen efeencia a algún sistema de coodenadas paticula. Paa esolve un poblema deteminado, debemos expesa en función de x, y, z o,θ, φ, etc. La elección del sistema paticula de coodenadas es abitaia, peo se logaa una extaodinaia simplificación del poblema si se elige un sistema compatible con la simetía del poblema electostático. La foma ue toma en difeentes sistemas coodenados se halla fácilmente tomando pimeo el gadiente de y luego aplicando, utilizando paa esto expesiones específicas del capítulo n cietos poblemas electostáticos en ue intevienen conductoes, toda la caga se encuenta ya sea sobe la supeficie de los conductoes o en foma de cagas puntuales fijas. n estos casos, ρ es ceo en la mayoía de los puntos del espacio. Y donde se anula la densidad de caga, la ecuación de Poisson se educe a la foma más sencilla La ecuación [.3.4] ecibe el nombe de ecuación de Laplace. [.3.4] La ecuación de Laplace también nos dice, en paticula, ue el potencial en un campo eléctico no puede pesenta ni máximo ni mínimo, ya ue paa ue alcance un valo extemo, seía necesaio ue las pimeas deivadas de especto a las coodenadas fuesen nulas y ue las segundas deivadas tuviean todas el mismo signo. sto último es imposible, ya ue en tal caso no se podía satisface la ecuación..4.

41 lectostática 4.3. jemplo ilustativo Calcula la enegía potencial eléctica almacenada en un dipolo eléctico ue sufe una toca po esta en pesencia de un campo eléctico, como muesta la figua.3.4. F a + F a θ Figua.3.4 Solución: Tenemos en geneal ue F y τ F, donde τ es la toca. Po tanto τ τ + τ v v v v v τ a F + a F a F + ( a) ( F ) a F con F τ τ af senθ τ a senθ definiendo p a el momento dipola eléctico, tenemos τ p sen θ τ p Una estuctua ecibe el nombe de dipolo eléctico, si al colocase en un campo eléctico exteno expeimenta una toca τ p. La enegía potencial almacenada se calcula con la expesión U τ dθ p senθ dθ p cosθ po tanto la enegía potencial eléctica en la posición θ es U p

42 4 Capítulo.3. jemplos clásicos de cálculos de difeencias de potencial jecicio. Calcula la difeencia de potencial ente dos puntos ue se encuenta en una egión de campo eléctico geneado po una patícula puntual de caga Solución: l sistema se ilusta en la figua.3... La difeencia de potencial se calcula utilizando la elación [..3] dl de acuedo con la figua la elación toma la foma: dl cos dl 8 donde es la magnitud del campo eléctico geneado po la caga y dl es el difeencial de tayectoia ue en téminos de la distancia, distancia de la caga al punto donde se calcula el potencial, esta dado po: dl d. ntonces: d πε 4 [ d] Figua.3.. Po tanto la difeencia de potencial ente dos puntos ue se encuenta en una egión de campo eléctico geneado po una patícula puntual es [.3..] jecicio. Calcula la difeencia de potencial ente dos puntos ue se encuenta en una egión de campo eléctico geneado po un plano infinito con una distibución de caga po unidad de áea σ constante (distibución homogénea de caga)

43 lectostática 43 Solución: l sistema se ilusta en la figua.3... La difeencia de potencial se calcula utilizando la elación [..3] dl de acuedo con la figua la elación toma la foma: dl cos dl 8 donde es la magnitud del campo eléctico geneado po la distibución de caga σ y dl es el difeencial de tayectoia ue en téminos de la distancia x, distancia del plano al punto donde se calcula el potencial, esta dado po: dl dx. ntonces: x σ dx x ε σ dx ε x x [ ] σ x ε x [] x Figua.3.. Po tanto la difeencia de potencial ente dos puntos ue se encuenta en una egión de campo eléctico geneado po una patícula puntual es jecicio 3. σ ε [ x x ] [.3..] Calcula la difeencia de potencial ente dos puntos ue se encuenta en una egión de campo eléctico geneado po una línea infinita con una distibución de caga po unidad de longitud λ constante (distibución homogénea de caga)

44 44 Capítulo Solución: l sistema se ilusta en la figua La difeencia de potencial se calcula utilizando la elación [..3] dl de acuedo con la figua la elación toma la foma: dl cos dl 8 donde es la magnitud del campo eléctico geneado po la distibución de caga λ y dl es el difeencial de tayectoia ue en téminos de la distancia, distancia de la línea al punto donde se calcula el potencial, esta dado po: dl d. ntonces: λ λ λ λ 4 πε d [ ln ] [ d] [ ln ln ] Figua.3..3 Po tanto la difeencia de potencial ente dos puntos ue se encuenta en una egión de campo eléctico geneado po una patícula puntual es λ ln [.3..]