EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II

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1 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II En esta relación de ejercicio nos vamos a centrar en el estudio de funciones y los problemas de optimización. Para poder realizar este tipo de ejercicios debemos manejar las tablas de derivadas y las reglas de derivación. Por lo tanto, es importante que antes de empezar las repases. Recuerda que el signo de la primera derivada nos proporciona información sobre la monotonía de una función (crecimiento y, mientras que el signo de la segunda derivada nos informa sobre la curvatura (concavidad y conveidad). Ejercicio 1: En este ejercicio vamos a aplicar la tabla y las reglas de derivación. Generalmente se suelen presentar problemas a la hora de aplicar la regla de la cadena y en la simplificación de los resultados. Si no simplificamos los resultados de nuestras derivadas podemos encontrarnos con la necesidad de resolver ecuaciones con cierta complejidad. Por otra parte, no realizar las operaciones correctamente, o confundir los signos, producen ecuaciones etrañas, soluciones más etrañas todavía, perdida de tiempo... Por todo esto, te sugiero que estés muy concentrado y revises tus cuentas en cada paso. 1. Calcula la derivada de la función: f 1 () = Calcula la derivada de la función: f 2 () = ( 1) 2 3. Calcula la derivada de la función: f 3 () = ( 2) 2 ( + 3) 4. Calcula la derivada de la función: f 4 () = ( 1) 2 5. Calcula la derivada de la función: f 5 () = ( 2 +4 ) 2 1

2 2 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 6. Calcula la derivada de la función: 2 f 6 () = ( 2 +1) 2 7. Calcula la derivada de la función: f 7 () = ( 2 1) 2 8. Calcula la derivada de la función: f 8 () = ( 3) 2 9. Calcula la derivada de la función: f 9 () = ( 1) Calcula la derivada de la función: 2( 2 +2) ( 2 ++2) 2 f 10 () = Calcula la derivada de la función: f 11 () = (2 4 1) (+3) 2 ( 1) Calcula la derivada de la función: f 12 () = ( ) Calcula la derivada de la función: f 13 () = ( 2 4) Calcula la derivada de la función: f 14 () =

3 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 3 ( ) ( 1) Calcula la derivada de la función: f 15 () = ( 1 2) e ( ) e 16. Calcula la derivada de la función: f 16 () = e 2 ( + 1) e 2 ( ) 17. Calcula la derivada de la función: f 17 () = e 1 e Calcula la derivada de la función: f 18 () = e 2 2 e 2 2 ( 2 1) Calcula la derivada de la función: f 19 () = ln ( ) Calcula la derivada de la función: ( ) + 1 f 20 () = ln Calcula la derivada de la función: f 21 () = ln ( ) Calcula la derivada de la función: f 22 () = ln(2 ) 2 ln(2 ) Calcula la derivada de la función: (2 + 2) e f 23 () = e

4 4 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 24. Calcula la derivada de la función: f 24 () = e 2 2 ln() ln()+1) (2 e Calcula la derivada de la función: f 25 () = ln ( ) ( ) 2 (1 + ln( 2 + 1)) Ejercicio 2: En este ejercicio vamos a utilizar el concepto de derivada para estudiar la monotonía y curvatura de funciones. Recuerda que una función derivable es creciente en aquellos puntos donde su derivada es positiva y es decreciente donde ésta sea negativa. Además la segunda derivada nos proporciona información sobre la curvatura de una función (donde la segunda derivada sea positiva la función será convea, siendo cóncava en los puntos donde la segunda derivada sea negativa). Debes tener presente los conceptos para poder etraer la información adecuada. Fíjate en el ejemplo y aplica argumentos similares en el resto de casos. 1. Dada la función: f() = SOLUCIÓN: a) Para estudiar la monotonía de una función, en primer lugar, necesitamos conocer el dominio de definición de dicha función y estudiar, en dicho dominio, el signo de la primera derivada. Determinamos el dominio: En este caso se trata de una función polinómica por lo tanto su dominio es el conjunto de todos los números reales. Así Dom(f) = { R f()} = R Estudiamos el signo de la primera derivada: En primer lugar determinaremos la derivada, calcularemos los puntos donde dicha derivada se anula y, por último, estudiaremos el signo. Calculamos la derivada: f () =

5 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 5 Determinamos los puntos donde se anula la derivada: f () = = 0 3 ( ) = 0 3 ( + 3) ( + 1) = 0 de donde se deduce que los puntos donde se anula la derivada son = 3 y = 1. Estudiamos el signo: Para estudiar el signo nos ayudaremos de una gráfico: f ( 4) = 9 > 0 f ( 2) = 3 < 0 f (0) = 9 > 0 A la vista del gráfico observamos que f () tiene signo positivo en el conjunto (, 3) ( 1, + ) y que tiene signo negativo en el intervalo ( 3, 1). Conclusión del estudio: La función será creciente en aquellos puntos donde su derivada tenga signo positivo y decreciente donde el signo sea negativo. A la vista del estudio del signo de la derivada podemos concluir que: f es creciente en el conjunto: (, 3) ( 1, + ) f es decreciente en el conjunto: ( 3, 1) b) Los máimos y mínimos relativos de una función derivable se localizan en aquellos puntos del dominio donde se anula la derivada y, o bien se produce un cambio en la monotonía de la función o la función es constante en un entorno de dicho punto. En este caso, sabemos que la derivada se anula en los puntos = 3 y = 1, ambos del dominio, y que, según el estudio anterior, se tiene que: En = 3: la función pasa de ser creciente a decreciente, por lo tanto = 3 es la abscisa de un máimo relativo. Dicho máimo relativo se localizará en el punto M( 3, f( 3)) = M( 3, 0) En = 1: la función pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo tanto = 1 es la abscisa de un mínimo relativo. Dicho mínimo relativo se localiza en el punto m( 1, f( 1)) = m( 1, 4) c) Para estudiar la curvatura de una función, en primer lugar, necesitamos conocer el dominio de definición de dicha función y estudiar, en dicho dominio, el signo de la segunda derivada. Determinamos el dominio: Conocido del apartado a): Dom(f) = { R f()} = R

6 6 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II Estudiamos el signo de la segunda derivada: En primer lugar determinaremos la segunda derivada, calcularemos los puntos donde dicha derivada se anula y, por último, estudiaremos el signo. Calculamos la derivada: f () = Determinamos los puntos donde se anula la derivada: f () = = 0 6 ( + 2) = 0 de donde se deduce que el punto donde se anula la segunda derivada es = 2. Estudiamos el signo: Para estudiar el signo nos ayudaremos de una gráfico: f ( 3) = 6 < 0 f ( 1) = 6 > 0 A la vista del gráfico observamos que f () tiene signo positivo en el conjunto ( 2, + ) y que tiene signo negativo en el intervalo (, 2). Conclusión del estudio: La función será convea en aquellos puntos donde su segunda derivada tenga signo positivo y cóncava donde el signo sea negativo. A la vista del estudio del signo de la derivada podemos concluir que: f es convea en el conjunto: ( 2, + ) f es cóncava en el conjunto: (, 2) d) Los puntos de infleión de una función derivable se localizan en aquellos puntos del dominio donde se anula la segunda derivada y se produce un cambio de curvatura. En este caso, sabemos que la segunda derivada se anula en en el punto = 2 y que, según el estudio anterior, se tiene que, la función pasa de ser cóncava a ser convea en dicho punto, por lo tanto = 2 es la abscisa de una punto de infleión. Dicho punto de infleión se localizará en el punto P I( 2, f( 2)) = P I( 2, 2). 2. Dada la función: f() =

7 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 7 Adapta los comentarios del ejemplo a este ejercicio. 3. Dada la función: f() = Adapta los comentarios del ejemplo a este ejercicio. 4. Dada la función: f() = Adapta los comentarios del ejemplo a este ejercicio. 5. Dada la función: f() = Adapta los comentarios del ejemplo a este ejercicio. 6. Dada la función: f() = 3 4

8 8 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II Adapta los comentarios del ejemplo a este ejercicio. Ejercicio 3: En el ejercicio anterior hemos repasado el estudio de la monotonía y la curvatura de funciones polinómicas, en este ejercicio vamos a realizar el mismo estudio pero con funciones racionales. Debes recordar que para estudiar el signo de las derivadas tienes que apoyarte en los puntos que no estén en el dominio, porque en estos puntos se puede presentar un cambio de signo. Ten presente que aunque se produzca un cambio de signo en un punto que no está en el dominio nunca podemos considerar a dicho punto como un máimo, mínimo o punto de infleión ya que la función NO está definida para dicho punto. Utiliza el mismo esquema que has aprendido en el ejercicio anterior para resolver los siguientes casos: 1. Dada la función: f() = Dada la función: f() = 1 2

9 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 9 3. Dada la función: f() = Dada la función: f() = Dada la función: f() = Dada la función: f() =

10 10 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 7. Dada la función: ( 3)2 f() = Dada la función: f() = Ejercicio 4: Ahora vamos a aplicar el concepto de derivada y la información que se obtiene de la misma para resolver problemas de aplicación. En esta entrega se presenta un enunciado donde se proporciona una función en un conteto y tendremos que responder a las preguntas que se realizan. Al terminar el ejercicio comprueba que has contestado verbalmente a las preguntas que se hacen. 1. En una empresa los ingresos brutos y los costes producidos en la venta de un producto vienen dados por las siguientes epresiones: Ingresos brutos: I() = Costes: C() =

11 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 11 donde ambas funciones epresan sus cantidades en miles de euros y representa el número de unidades vendidas. Se pide: a) Qué número de unidades habría que vender para obtener un beneficio máimo, teniendo en cuenta que Beneficio = Ingresos b rutos Costes? b) Cuál sería ese beneficio? 2. Un fabricante de electrodomésticos ha comprobado que el beneficio neto que le produce cada día la fabricación de un determinado producto se comporta según la función: B() = donde B() es el beneficio neto diario en euros y el número de unidades fabricadas cada día. Se pide: a) Determinar cuántas unidades diarias deben fabricarse para obtener el máimo beneficio posible b) Calcular dicho beneficio máimo. Justifica tus respuestas. 3. Un comerciante ha comprobado que el coste anual que le produce la compra y el mantenimiento de un producto se comporta de acuerdo con la función: F () = donde es el número de unidades adquiridas y F () el valor del coste en miles de euros. Se pide: a) Cuál es la cantidad de compra que le produce un coste mínimo anual? b) Cuál es ese coste? Justifica tus respuestas. 4. La cantidad de agua recogida en cierto pantano (en millones de litros) durante el año 1997 viene dada, en función del tiempo transcurrido (en meses) a través de la epresión: f(t) = t 2 + 5t t 12 a) En que período de tiempo la cantidad de agua disminuyó? b) Para qué valor de t se obtuvo la cantidad máima de agua recogida? c) Cuál fue dicha cantidad máima? 5. Una compañía de venta a domicilio ha determinado que sus beneficios anuales dependen del número de vendedores según la epresión: B() = donde B() es el beneficio en miles de euros y el número de vendedores. Determinar, justificando la respuesta: a) Qué número de vendedores ha de tener la empresa para que sus beneficios sean máimos? b) Cuál será el valor de dichos beneficios máimos?

12 12 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE DERIVABILIDAD II 6. Un fondee de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertido según la epresión: R() = 0, ,8 5 donde R() representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad (en miles de euros). Determinar, justificando las respuestas: a) Cuánto dinero (en euros) debemos invertir para obtener la máima rentabilidad posible? b) Cuál será el valor de dicha rentabilidad máima? 7. Una empresa estima que el beneficio que obtiene por cada unidad de producto que vende, depende del precio de venta según la función: B() = siendo B() el beneficio y el precio por unidad de producto, ambos epresados en euros. a) En qué precios la función B() es creciente? b) En qué precio se alcanza el beneficio máimo? c) En qué precio el beneficio es 3?