DERIVADAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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1 DERIVADAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matemáticas º de Bachillerato Ciencias y Tecnología Proesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada

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3 TEMA 4.- DERIVADAS.- CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Se llama Tasa de Variación Media de una unción en un intervalo [a,b] al cociente entre los incrementos de la unción y de la variable, es decir: T.V.M. [a,b] = b a b a Gráicamente: Como podemos ver, si dicha tasa es positiva indica que la unción es creciente en dicho intervalo, mientras que si es negativa la unción será decreciente. Además, cuanto mayor sea dicha T.V.M. indicará un crecimiento o decrecimiento más rápido de la unción en el intervalo correspondiente. Ejercicio: Calcular la tasa de variación media de la unción intervalos [,] y [4,5] e interpretar los resultados. 5 en los Si ahora consideramos un número h positivo o negativo, la T.V.M. en el intervalo a h a [a,a+h] será: h Si el valor h se va haciendo cada vez más pequeño se acerca a 0, dicha tasa nos dará la variación de la unción en el punto a..- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la unción en el punto a, y la designaremos por a, al límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a cero, es decir: ' a lim h 0 a h h a Nota: Si ese límite no eiste, diremos que la unción no es derivable en el punto a - - Matemáticas II: Derivadas

4 Ejemplo: Calcular la derivada de la unción en el punto a = Solución: ' lim h0 h h h lim h0 h 5 h lim h h0 h h h h lim h0 h 0 h h lim h 0 h0 h lim h h0 Ejercicio: Calcular la derivada de la unción punto a = 0 en el punto a = 4 y en el Si llamamos =a+h, la derivada puede epresarse como: a ' a lim a a Epresión que resulta más sencilla de utilizar en la práctica. Ejercicio: Calcular la derivada de la unción 4 en el punto a = - Derivabilidad y Continuidad Si una unción es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Demostración: Sabemos que para que una unción sea continua en a, tiene que cumplir que lim a a Calculamos entonces ese límite: a a a a lim lim lim a a a a a a a a a a a a lim lim lim a lim lim a a a a a a a a a a a ' a 0 a a Y por tanto la unción será continua en a - - Matemáticas II: Derivadas

5 - - Matemáticas II: Derivadas Importante: Si una unción es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Este quiere decir que si una unción no es continua en un punto, automáticamente no será derivable en él Cuidado! si una unción es continua en un punto, puede ser o no derivable en dicho punto Por tanto, antes de ver si una unción es derivable en un punto, veremos si es continua en dicho punto, ya que si no lo es, tampoco será derivable y no habrá que hacer nada más. En las unciones a trozos, se hablará de derivadas laterales: a a a a lim ' ; a a a a lim ' Y la derivada tendrá sentido si ambas derivadas laterales coinciden. Ejemplo: Calcular la derivada de la unción en el Primero vemos si es continua: ; lim lim lim lim lim Luego la unción es continua en Calculamos las derivadas laterales: lim lim 0 0 lim lim lim ' lim 0 0 lim lim ' Como ambas derivadas laterales coinciden podemos decir que la unción es derivable en el y que además su derivada vale : =

6 Ejemplo: Calcular la derivada de la unción Primero vemos si es continua: e 0 en el 0 0 0= ; lim lim e 0 lim lim 0 0 lim 0 Luego la unción no es continua en 0 y por tanto tampoco es derivable en 0. Ejercicio: Estudiar la derivabilidad de las siguientes unciones en los puntos que se indican: a = + si si > en a = b = + si 0 si > 0 en a = 0 c - = - + si si si < < en a = y en a = d 6 en a = y en a = - e Ln 0 en a =.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Ya hemos comentado que la derivada tiene que ver con la variación de una unción. En ísica, por ejemplo, la derivada del espacio respecto al tiempo indica la velocidad instantánea. Pero nos vamos a centrar en la interpretación de la derivada desde el punto de vista de la geometría: Consideremos la recta r que une los puntos a,a y,: Matemáticas II: Derivadas

7 La pendiente de esa recta se calcula como la segunda coordenada del vector director u, a a, se obtiene que la entre la primera. Como dicho vector es pendiente de esa recta será: a m a Si hacemos que se acerque a a, que en matemáticas es tomar límite, dicha recta terminará tocando a la unción sólo en el punto a,a, y por tanto se convertirá en la recta tangente a la gráica de en dicho punto, y su pendiente será: a m lim a a Que es justamente la deinición de derivada. Por tanto: La derivada de una unción en un punto a es la pendiente de la recta tangente a dicha unción en el punto a,a m= a La ecuación punto-pendiente de dicha recta tangente será: y a ' a a Como además sabemos que la pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo que orma dicha recta con la parte positiva del eje X, podemos decir que: Matemáticas II: Derivadas

8 La derivada de una unción en un punto a es la tangente del ángulo que orma la recta tangente a dicha unción en el punto a,a con la horizontal: m ' a tg Así, si la derivada de una unción en un punto vale, podemos decir que la recta tangente a la gráica de dicha unción en ese punto orma un ángulo de 45º con eje X, ya que tg45º La recta normal a la gráica de una unción en un punto es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Como sabemos que las pendientes de dos rectas perpendiculares son inverso-opuestas, la ecuación de la recta normal a una unción en el punto a,a será: y a ' a a Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la unción en el Calculamos =5 Como vimos en el ejemplo, = Luego sustituyendo en la ecuación de la recta tangente tenemos: O lo que es lo mismo: y=+ y-5=- Y sustituyendo en la ecuación de la recta normal: 6 O lo que es lo mismo: y y 5 Ejercicio: Calcular las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la unción 4 en el punto de abscisa Matemáticas II: Derivadas

9 4.- FUNCIÓN DERIVADA Se llama unción derivada de o simplemente derivada de a una nueva unción que asocia a cada valor de dicho intervalo la derivada de la unción en ese punto, es decir,. A la derivada de la llamaremos o bien D: D ' lim h0 h h Destacar que la derivada de una unción en un punto daba un número, mientras que al hacer la unción derivada se obtiene una nueva unción. Ejemplo: Calcular la unción derivada de h h ' lim lim lim h0 h h0 h h0 h h 0 h h lim lim lim h0 h 0 h0 h h0 h h h h Luego la unción derivada de la unción es la unción ' Esto permite calcular la derivada en cualquier punto simplemente sustituyendo, sin necesidad de volver a hacer los límites para cada punto. Por ejemplo, en este caso, '0 0 ; ' ; ' 4 ; '5 0,... Ejercicio: Calcular las unciones derivadas de: ; g ; h También se puede hablar de la unción derivada de, que se llama derivada segunda de y se representa por De la misma manera se hablará de la tercera, cuarta, quinta derivada. En general se n habla de la derivada n-ésima, Matemáticas II: Derivadas

10 5.- REGLAS DE DERIVACIÓN En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron la maraña de métodos ininitesimales cálculo de límites usados por s us predecesores, y desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-, que nos permite calcular derivadas de manera mucho más sencilla: FUNCIÓN DERIVADA EJEMPLOS Función Constante =k =0 =8 =0 Funciones Potenciales ' n ' n n ' ' n n ' n n Funciones Eponenciales n ' a ' a Lna ' Ln e ' e Matemáticas II: Derivadas

11 Funciones Logarítmicas log a Ln Funciones trigonométricas ` log a e Lna log ` log Ln e ' sen ' cos cos ' sen tg cos ' tg sec Funciones arco inversas de las trigonométricas arcsen ' arccos ' arctg ' Derivada de un Número por una Función D k k ' ' 6 Derivada de la Suma y Dierencia de Funciones D g ' g' 5 ' 5 Derivada del Producto de Funciones D g ' g g' Derivada del Cociente de Funciones ' g g' D g g Ln ' Ln 4 ' Matemáticas II: Derivadas

12 - 0 - Matemáticas II: Derivadas Ejercicios: Calcular las derivadas de: 5 4 log 5 log e e n m l k e j Ln i h g Ln e e d c b a Además de todas estas reglas, hay otra regla undamental que se usa para derivar unciones que son a su vez unciones de otras, como por ejemplo e. Dicha regla se llama regla de la cadena: ' ' g g g D En el ejemplo anterior, la unción sería la eponencial y la g el polinomio, y siguiendo esta regla su derivada sería: e Otros ejemplos: ' ; ' ; ' ; Ln Podemos crear, usando la regla de la cadena, unas reglas paralelas a las anteriores pero para unciones compuestas:

13 FUNCIÓN DERIVADA FUNCIONES COMPUESTAS Funciones Potenciales n n n n n Funciones Eponenciales n ' n n ' ' n n a ' a Lna n n ' n n ' ' n a a Lna ' e ' e e e ' Funciones Logarítmicas log a ` log ae Lna log a Ln ' Ln Funciones trigonométricas ` ` loga e Lna ' sen ' cos sen cos ' cos ' sen cos sen ' tg Funciones arco tg cos ' tg sec tg ' sec ' cos ' arcsen ' arcsen ' arccos ' arccos ' arctg ' arc tg ' - - Matemáticas II: Derivadas

14 Ejemplos: 5 5 Ln ; ' ; ' 0 Ln Ln log 5 ; ' ; ' e e 5 Ln0 Ejercicios: Calcular las derivadas de: a b c Ln e d e 4 log 5 sen cos g sen 5 h Ln i arctg sen j sen cos k arcsen log Derivación Logarítmica Este tipo de derivación se usa para derivar potencias en las que tanto la base como el b eponente son unciones, es decir: a La técnica de la derivación logarítmica sigue una serie de pasos: - Tomar logaritmos en ambos miembros de la igualdad: Ln b a b Ln a - Aplicar la propiedad de logaritmo de una potencia: Ln b Ln a - Derivar en ambos miembros de la igualdad: ' ' b ' Lna b a a - Despejar ' - - Matemáticas II: Derivadas

15 a ' ' b' Lna b a Ejemplo: Calcular la derivada de Siguiendo los pasos anteriores: Ln Ln Ln Ln ' Ln ' Ln ' Ln Ejercicio: Calcular la derivada de: sen a b tg 6.- DERIVADA DE FUNCIONES A TROZOS La derivada de una unción a trozos es otra unción del mismo tipo cuyos trozos son las derivadas de los trozos de la unción original. Ejemplo: ' Nótese que no hemos puesto el igual en el. Por qué? - - Matemáticas II: Derivadas

16 - 4 - Matemáticas II: Derivadas La razón es muy sencilla: no sabemos si la unción es derivable o no en dicho punto, y hasta que no lo sepamos no podemos decidir si le ponemos el igual o no. Luego para calcular la unción derivada de una unción a trozos lo primero es ver si es continua recordemos que si no lo es no es derivable y luego ver si las derivadas laterales coinciden. Para esto no hace alta acudir a la deinición original, sino derivar usando las reglas y ver si los límites de las derivadas de cada trozo coinciden. Hagamos el ejemplo completo: Primero vemos si es continua en Su dominio es todo y en ningún otro punto tendrá problemas de continuidad: lim lim lim lim lim y por tanto es continua Calculamos su posible unción derivada usando las reglas: ' Para saber si es derivable en calculamos los límites de las derivadas laterales: lim ' lim ' lim ' lim ' La unción no es derivable en Y por tanto su unción derivada es: ' Obsérvese que ya no hace alta calcular las derivadas laterales usando la deinición de derivada, sino directamente las reglas de derivación. Nota: Si hubiera salido derivable en, la unción derivada hubiera sido '

17 Ejercicio: Calcular la unción derivada de las unciones: a = e b = - - si si > = c si si 0 si < > 0 - = + + Ln d si si < - - si 0 > Matemáticas II: Derivadas

18 - 6 - Matemáticas II: Derivadas EJERCICIOS.- Calcula la tasa de variación media de la unción y - en los intervalos: a [-,0]; b [0,]; c [,]..- Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0,] para las unciones: 4 4 y d y c y b y a Calcula, aplicando la deinición, las derivadas de las siguientes unciones en los puntos que se indican: 0 a sen a b a c Ln a 4.- Dada la unción deinida mediante = + +-, halla la ecuación de las rectas tangente y normal en el punto de abscisa Calcula la ecuación de la recta tangente a la unción y = Ln en el punto,0 6.- Halla la unción derivada de estas unciones y calcula su valor en los puntos que se indican: en a 0 en b en c en d 7.- Calcula las derivadas de las siguientes unciones: y y e y d Ln y c y b y a 8.- Calcular en que punto la derivada de la unción vale 9.- Para que valor de la tangente a la curva 8, será paralela al eje OX?

19 0.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes unciones en los puntos que se indican: a en a 5 b8 en a c en 0 a d0 Ln en a e 4 en a 6 9, 4 en el punto.- Halla un punto de la unción y= + + en el que la tangente sea paralela a la recta y=+5..- Determina los puntos de la curva inclinación de 45º y = + en los que la tangente tiene una.- Calcula las derivadas de las siguientes unciones: y = - y = y = 4 y = - 5 y = 6 y = 7 y = 8 y = l n y = l n - 0 y = e y = l n y = arcsen. e y = 4 y = l n + 4 l n e +l n y = 6 y = 7 y = y Ln = - 9 y = l n 0 y = e log 4 - y = e. y = l n. e e e y 4 y 6 5 y 6 y 7 0 y y e 5 y sen 4 8 y Ln e 9 y 4 y log y 5 e 4 y 5 5 y Ln e Matemáticas II: Derivadas

20 6 y 7 y y e arctg 40 y sen e 8 y 5 Ln y 5 Ln 4 y cos arcsen y Ln tg 45 4 y L n sen arcsen y cos 4.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes unciones y calcular su unción derivada: a + = si si 0 > 0 b = < c = + si si > d = si si < 0 0 e = g si si si < < > = - + h Ln = 0 sen si si = 0 0 i = si si = j sen 0 = cos k cos Calcula a y b para que las siguientes unciones sean derivables en todo a = a + si + b - 4 si > b a b Matemáticas II: Derivadas

21 6.- Dada la unción sen e, calcular ', '', ''' 7.- Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a las siguientes unciones en los puntos que se indican: e e a y en a 0, a, a Ln sen 0, b y en a a 8.- Calcula las derivadas de las siguientes unciones: a b c a tgsec b sen cos c e arctg d cos sen e cos e sen cos Ln e cos g arcsen cos h e Ln cos sen Ln arctg 9.- Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva y punto = en el 0.- Hallar el punto de la curva y 5 6 en el que la recta normal es perpendicular a la recta r y Hallar los puntos de la unción pase por el punto 0,0 4 4 en los que la recta tangente 4.- Halla la unción derivada de la unción Matemáticas II: Derivadas

22 .- Dada la unción: 4 4 a Estudiar su continuidad y derivabilidad y calcular su unción derivada b Eiste algún punto donde la derivada valga 0? c Calcular la ecuación de la recta tangente en el punto de abcisa 4.- Eiste algún punto en esta unción en el que la derivada sea negativa? Razona la respuesta 5.- a Indica, en la gráica de la unción, los puntos en los que la derivada es cero. b En =, la derivada es positiva o negativa?. cy en =0? Una partícula se mueve a lo largo de la gráica de la curva y, 4 En el punto P, la abandona y sigue desplazándose a lo largo de la recta tangente a dicha curva. Cuál es ésta? 7.- Hallar la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a la curva y Ln en el origen de coordenadas Matemáticas II: Derivadas

23 8.- Calcula las derivadas de las siguientes unciones y simpliica el resultado lo máimo posible: b arcsen a Ln tg cos cot g d c e Ln sen sen arctg arctg 9.- Hallar todas las posibles rectas tangentes a la curva,0 y 4 que pasan por el punto 0.- De todas las rectas tangentes a la unción origen de coordenadas e, calcular la que pasa por el.- Calcula el valor de k sabiendo que la recta tangente a la unción k el punto de abscisa = es horizontal. e en.- Sea : la unción deinida por, y sea P el punto de corte de la gráica de con su asíntota. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto P. - Dada la unción: a e 0 b a 0 a Calcular a y b para que sea derivable en todo y calcular su unción derivada b Representarla gráicamente c Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 0 d Eiste algún punto donde la recta tangente sea horizontal? 4.- Igual que el ejercicio anterior para la unción: a b 0 a Dada, calcular ', '', ''' - - Matemáticas II: Derivadas

24 6.- Calcula las ecuaciones de la recta tangente y normal en el punto de abscisa = 0 a la unción: e Dada la unción a b c Calcular los valores de a, b y c para que sea continua y derivable en todo su dominio y además veriique que 0 = Dada la unción: a Estudiar su derivabilidad y calcular su unción derivada b Representar gráicamente las unciones y 9.- Una unción : viene dada por la gráica: a Estudiar su continuidad b Estudiar su derivabilidad c Halla ', ', ' d Eiste algún intervalo donde la derivada de sea negativa? - - Matemáticas II: Derivadas

25 TEMA 5.- APLICACIONES DE LA DERIVADA.- REGLA DE L HÔPITAL Esta regla ue enunciada por Guillaume François Antoine, marqués de L Hôpital, en 696 y su aplicación resulta undamental en el cálculo de límites: Sean y g dos unciones derivables en un entorno de un punto a y tales que lim lim g0. Entonces: a a Si ' ' lim lim lim a g ' ' a g a g Esta regla también es válida si lim lim g y si cambiamos el límite en el punto a por un límite en el ininito. a a Esto signiica que la Regla de L Hôpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo 0 ó, sin más que derivar por separado las unciones del numerador y del 0 denominador. Ejemplo: Calcular lim 0 e sen Como es del tipo 0, podemos aplicar L Hôpital y derivar cada unción del cociente: 0 e 0 6 e lim L ' H lim 0 sen 0 0 cos La gran ventaja de esta regla es, además, que es recurrente, es decir, podemos aplicarla tantas veces como queramos hasta resolver la indeterminación correspondiente: e Ejemplo: Calcular lim 0 Aplicando L Hôpital: e 0 0 e e e e e lim L ' H lim L ' H lim Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

26 Si bien teóricamente esta regla no sirve para resolver indeterminaciones del ó, en muchos casos éstas se transorman en indeterminaciones del tipo tipo 0 ó, con lo que ya sí podemos aplicar L Hôpital. 0 Ejercicio propuesto: calcular limcos o Aparecen además nuevas indeterminaciones que, con un poco de habilidad, se pueden transormar en indeterminaciones a las que sí se les puede aplicar L Hôpital. El ejemplo más notorio son las indeterminaciones del tipo 0. En este caso conviene pasar uno de los dos actores como denominador y obtendremos indeterminaciones del tipo 0 ó 0. Ejemplo: Calcular lim Ln 0 Ln lim Ln0 lim L ' H lim lim Nota: El manejo del cálculo de límites ha sido undamental en los temas anteriores: asíntotas, continuidad, derivadas. Debemos ver por tanto esta regla como un intrumento para el cálculo de límites, sea en el ámbito que sea, lo que amplia el conjunto de unciones con las que podemos trabajar. Además podemos olvidarnos ya de las unciones equivalentes, pues todas ellas salen directamente aplicando L Hôpital Ejercicios:.- Calcular los siguientes límites: Ln cos a lim b lim 0 c lim Ln d cos lim sen e e e lim 0 Ln.- Calcula las asíntotas de la unción: e - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

27 .- MONOTONÍA Sea : D y a D : Se dice que es creciente en a Eiste un entorno del punto a, a h, a h tal que: Si a h, a a Si a, a h a De la misma manera: Se dice que es decreciente en a Eiste un entorno del punto a, a h, a h tal que: Si a h, a a Si a, a h a Una unción es creciente decreciente en un intervalo a, b decreciente en todos los puntos del intervalo, o también, si si es creciente, y a, b, y y y Es decir, si a valores mayores de la variable independiente le corresponden valores mayores menores de la variable dependiente. - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

28 Consideremos la gráica de una unción como la siguiente En ella puede observarse que la unción es: - Creciente en los intervalos a,b y c,d - Decreciente en los intervalos b,c y d,e Como podemos observar, la pendiente de la recta tangente es positiva donde la unción es creciente, y negativa donde ésta es decreciente. Recordemos que la pendiente de la recta tangente en un punto era precisamente el valor de la derivada en dicho punto. Además, en aquellos puntos donde la unción no es ni creciente ni decreciente, la recta tangente es horizontal, y, por tanto, la derivada en dichos puntos valdrá 0. Teorema Sea : D, a D y derivable en a y por tanto continua. Entonces: Teorema Si es creciente decreciente en a ' a 0 ' a 0 Sea : a, b, continua en a, b y derivable en, a b. Entonces: Si ' 0, a, b es constante en a, b Teorema Sea : a, b, continua en a, b y derivable en, Si ' 0 ' 0,, a b a b. Entonces: es creciente decreciente en a, b Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

29 De todo esto podemos sacar conclusiones y obtener un método para estudiar la monotonía de una unción intervalos donde es creciente y decreciente: Primer Paso: Calcular el dominio de la unción Segundo Paso Calcular la unción derivada e igualarla a 0. Esto nos dará los puntos donde la recta tangente es horizontal, es decir, donde la unción no es creciente ni decreciente. A estos puntos se les llama puntos singulares o puntos críticos. Tercer Paso: Dividir el dominio de la unción en intervalos teniendo en cuenta los puntos críticos. En caso de que sea una unción a trozos, también habrá que tener en cuenta los puntos donde no sea continua o donde no sea derivable. Cuarto Paso Sustituir la primera derivada en un punto de cada uno de esos intervalos y tener en cuenta que: Si Si ' ' 0 la unción es creciente en dicho intervalo la unción es decreciente en dicho intervalo Ejemplo : Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la unción 6 9 Primer Paso: D = Segundo Paso: ' 9 Si igualamos a cero y resolvemos la ecuación correspondiente: 9 0, que son los puntos críticos de la unción Tercer Paso: Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la unción queda dividido en tres intervalos: Cuarto Paso Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada: Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

30 '0 9 0 es creciente en el intervalo, ' 0 es decreciente en el intervalo, '4 9 0 es creciente en el intervalo, Ejemplo : Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la unción Primer Paso: D = -{-} Segundo Paso: ' 4 4 Si igualamos a cero y resolvemos la ecuación correspondiente: , 4 Tercer Paso: que son los puntos críticos de la unción Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la unción queda dividido en cuatro intervalos: Cuarto Paso: Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la derivada: 5 ' es creciente en el intervalo,4 ' 0 4 es decreciente en el intervalo 4, ' 0 es decreciente en el intervalo,0 ' 5 0 es creciente en el intervalo 0, Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

31 Ejercicio: Calcular los intervalos de monotonía de las unciones: a 4 b e c Ln d EXTREMOS RELATIVOS Sea : D y a D : Se dice que tiene un máimo relativo en a Eiste un entorno del punto a, a h, a h tal que: De la misma manera Si a h, a h a Se dice que tiene un mínimo relativo en a Eiste un entorno del punto a, a h, a h tal que: Si a h, a h a Teorema 4 Sea : D, a D y derivable en a y por tanto continua. Entonces: Si tiene un etremo máimo o mínimo relativo en a ' a Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

32 Esto signiica que, en los etremos relativos máimos o mínimos la recta tangente es horizontal y por tanto la derivada vale 0. Los posibles etremos relativos coinciden por tanto con los puntos que se obtienen al igualar la primera derivada a 0 y resolver la ecuación correspondiente, es decir, con los puntos críticos. Para saber si un punto crítico es un máimo o un mínimo relativo basta con ijarse en la monotonía del intervalo anterior y del posterior. Esto es: Si en el intervalo anterior al punto crítico 0 la unción es creciente y en el posterior es decreciente, la unción tendrá un máimo relativo en el punto 0, 0 Si en el intervalo anterior al punto crítico 0 la unción es decreciente y en el posterior es creciente, la unción tendrá un mínimo relativo en el punto 0, 0 La segunda coordenada de un punto de la gráica de una unción se calcula sustituyendo la primera en dicha unción. Ejemplo: La unción 6 9 tiene dos puntos críticos: el y el Observando su monotonía, dicha unción alcanza un máimo relativo en el punto,=,6 Alcanza también un mínimo relativo en el punto,=,-7 Ejemplo: La unción tiene dos puntos críticos: el -4 y el 0 el - no era un punto crítico, sino que se ha tenido en cuenta en la monotonía por no estar en el dominio de la unción Observando su monotonía, dicha unción alcanza un máimo relativo en el punto -4,-4=-4,-8 Alcanza también un mínimo relativo en el punto 0,0=0,0 Criterio de la Segunda Derivada Se puede saber también si un punto crítico es un máimo o un mínimo de una unción sin necesidad de calcular previamente toda la monotonía. Teorema 4 Sea : D, 0 D y dos veces derivable en 0. Entonces: Si 0 y 0 ' 0 '' 0 alcanza un máimo relativo en el punto Si 0 y 0 ' 0 '' 0 0, 0 alcanza un mínimo relativo en el punto 0, Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

33 Entonces, una vez calculados los puntos críticos, se calcula la segunda derivada que es la derivada de la primera derivada, y se sustituyen en ella: Ejemplo: La unción 6 9 tiene dos puntos críticos: el y el Se han obtenido igualando la primera derivada a 0: ' 9 Calculamos la segunda derivada: '' 6 y sustituimos en los puntos críticos: '' 6 0 alcanza un máimo relativo en el punto,6 '' 6 0 alcanza un mínimo relativo en el punto,-7 Ejercicios:.- Comprobar, usando el criterio de la segunda derivada, los etremos relativos de la unción del ejemplo.- Estudiar los etremos relativos de las unciones: a c e 4 b 4 d Ln 0 e EXTREMOS ABSOLUTOS Sea : a, b. Para calcular los máimos y mínimos relativos de la unción en dicho intervalo, habrá que buscar entre: Puntos que anulen a la primera derivada puntos críticos Puntos de discontinuidad de la unción Puntos de no derivabilidad de la unción Etremos, a y b, del intervalo Una vez calculados todos estos puntos, sustituiremos la unción en todos ellos. El punto donde valga más, corresponderá al máimo absoluto, y el punto donde menos valga, al mínimo absoluto Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

34 Es importante que no eista ningún punto dentro del intervalo donde la unción se acerque a ininito que no tenga asíntotas verticales dentro del intervalo, pues sino no habría máimos absolutos si se acerca a o mínimos absolutos si se acerca a o incluso ambos. Si la unción no está deinida en un intervalo sino en, es importante analizar lo que pasa con los límites en y en pues pueden indicar la no eistencia de etremos absolutos. Ejemplo: Calcular los etremos absolutos de la unción en el intervalo, 0 0 En primer lugar, el dominio es, que como no está en el intervalo, no lo tendremos en cuenta. El único punto donde podría no ser contínua o derivable es en el = 0. Luego es continua lim lim 0 lim lim lim Calculamos la derivada: ' 0 0 Vemos las derivadas laterales: '0 lim ' lim 0 0 '0 '0 lim ' lim 0 0 No es derivable en = 0 0 Luego la unción derivada será: ' 0 Si la igualamos a 0 obtendremos los puntos críticos: 0 ; 0 Luego, en total, los posibles etremos absolutos pueden ser: -, 0, y Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

35 Sustituimos la unción en todos ellos: ;0 0 ; ; Luego la unción tiene un mínimo absoluto en el punto, el punto, y un máimo absoluto en Ejercicio: Calcular los etremos absolutos de la unción 4 en el intervalo [-,4] 5.- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Es recuente encontrase con problemas ísicos, geométricos, económicos, biológios, en los que haya que encontrar el máimo o el mínimo de una determinada unción: maimizar los beneicios de una empresa, el volumen de una caja, minimizar el coste de producción de un determinado producto, o el tiempo de abricación, Este tipo de problemas se llaman problemas de optimización, y para resolverlos es conveniente seguir una serie de pasos:. Obtener la unción cuyos máimos o mínimos hay que calcular, identiicando claramente la/s variable/s. Si es una unción que depende de dos o más variables, buscar datos en el problema que nos permitan relacionarlas, de manera que podamos epresarla en unción de una sola variable. Calcular los máimos o mínimos absolutos de la unción 4. Interpretar los resultados, rechazando los que no tengan sentido por la naturaleza del problema Ejemplo: Descomponer el número 6 en dos sumandos positivos, de modo que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo En primer lugar llamamos e y a los dos sumandos ambos mayores que 0. La unción cuyo máimo hay que calcular es:, y y Usamos el dato que nos dan para relacionar ambas variables: y 6 6 y Y por tanto nuestra unción será: 6 y y6 y y y - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

36 Calculamos los puntos críticos: ' y 7 y y 7 y y 07 y 0 y y 0 ; y 4 El valor y=0 lo podemos eliminar pues debe ser mayor que 0, así que nuestro único punto crítico es y=4. Comprobamos si es un máimo usando por ejemplo el criterio de la segunda derivada: '' y 7 6 y ''4 7 0 Luego la unción alcanza un máimo cuando y=4. Como además el dominio de la unción es D 0,6 y no tiene ni asíntotas verticales ni puntos donde no sea continua o derivable, podemos asegurar que para y=4 la unción alcanza un máimo absoluto. Calculamos : 6 y Luego los dos números positivos que suman 6 y que hacen que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo son y 4. Además podemos averiguar cuánto vale ese máimo:, Ejercicios:.- De entre todos los rectángulos de área tenga mínimo perímetro. 00 cm, calcular las dimensiones del que.- De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm., cuál tiene diagonal menor?.- Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 0 y que el producto de sus cuadrados es máimo 4.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm. Averigua las dimensiones de la caja para que su supericie eterior sea mínima. - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

37 6.- CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Se dice que una unción es convea en un punto si la recta tangente a la unción en dicho punto queda por debajo de la gráica de la unción. Se dice que una unción es cóncava en un punto si la recta tangente a la unción en dicho punto queda por encima de la gráica de la unción. En la gráica, la unción es convea en el intervalo a,b y es cóncava en el intervalo b,c Teorema 5 Sea :, a b al menos dos veces derivable en el intervalo a,b. Entonces: Si '' 0, a, b Si '' 0, a, b es cóncava en el intervalo a,b es convea en el intervalo a,b. Por tanto, para estudiar la curvatura de una unción intervalos donde es cóncava y convea, hay que seguir el siguiente procedimiento: Primer Paso: Calcular el dominio de la unción Segundo Paso Calcular la segunda derivada e igualarla a 0. Esto nos dará los puntos donde la unción cambia su curvatura pasa de ser cóncava a ser convea o viceversa Tercer Paso: Dividir el dominio de la unción en intervalos teniendo en cuenta los puntos que han anulado a la segunda derivada. En caso de que sea una unción a trozos, también habrá que tener en cuenta los puntos donde no sea continua o donde no sea derivable - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

38 Cuarto Paso Sustituir la segunda derivada en un punto de cada uno de esos intervalos y tener en cuenta que: Si Si '' 0 0 ' 0 ' 0 la unción es convea en dicho intervalo la unción es cóncava en dicho intervalo Ejemplo : Estudiar la curvatura de la unción: 6 9 Primer Paso: D = Segundo Paso: ' 9 '' 6 Igualamos a 0: 6 0 Tercer Paso: Teniendo en cuenta estos puntos, el dominio de la unción queda dividido en dos intervalos: Cuarto Paso Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada: ''0 0 es cóncava en el intervalo, '' 6 0 es convea en el intervalo, Ejemplo : Calcular los intervalos de concavidad y conveidad de la unción Primer Paso: D = -{-} Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

39 Segundo Paso: ' '' Si igualamos a 0 la segundo derivada: 8 0 y por tanto no hay puntos que la anulen Tercer Paso: Teniendo en cuenta esto y el dominio de la unción, nos queda: Cuarto Paso Cogemos un punto de cada intervalo y lo sustituimos en la segunda derivada: Ejercicio: '' 8 0 es cóncava en el intervalo, ''0 0 es convea en el intervalo, Estudiar la curvatura de las siguientes unciones: a Ln b e c PUNTOS DE INFLEXIÓN Los puntos de inleión son los puntos donde cambia la curvatura sin cambiar la monotonía, es decir, la unción pasa de ser cóncava a ser convea o viceversa. Por tanto, los posibles puntos de inleión serán aquellos que se obtengan de igualar la segunda derivada a 0 y resolver la ecuación correspondiente. Para saber si uno de estos candidatos, 0, es o no un punto de inleión, basta ijarse en la curvatura estudiada anteriormente. Si ésta cambia, la unción tendrá en el punto un punto de inleión. 0, 0 En el ejemplo, la unción 6 9 punto,=,4 tiene un punto de inleión en el Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

40 En el ejemplo, la unción no tiene puntos de inleión puesto que no hay ningún valor que anule a la segunda derivada. Criterio de la Tercera Derivada Se puede saber también si un punto es o no punto de inleión de una unción sin necesidad de calcular previamente toda la curvatura. Teorema 6 Sea : D, 0 D y tres veces derivable en 0. Entonces: Si 0 y 0 '' 0 ''' 0 alcanza un punto de inleión en el punto 0, 0 Entonces, una vez calculados los puntos que anulan a la segunda derivada, se calcula la tercera derivada y se sustituyen en ella Ejemplo: Calcular los puntos de inleión de la unción Vamos a hacerlo usando el criterio de la tercera derivada: ' 6 '' 6 6 Igualamos a cero: Luego hay un posible punto de inleión en el -. Calculamos la tercera derivada y en ella sustituimos nuestro candidato: ''' 6 ''' 6 0 Y por tanto la unción tiene un punto de inleión en el punto,, Ejercicios: Estudiar la curvatura y calcular los puntos de inleión de las unciones: a b c 4 d e e g Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

41 8.- ANÁLISIS DE LOS PUNTOS CRÍTICOS Hemos visto anteriormente que un punto crítico punto que anula a la primera derivada será un máimo o un mínimo relativo según el signo que se obtenga al sustituirlo en la segunda derivada si sale positivo es un mínimo, si sale negativo es un máimo. Pero, qué pasa si al sustituir un punto crítico posible etremo en la segunda derivada sale 0? Qué es dicho punto? Teorema 7 Sea : D, y 0 D un punto crítico de ' 0 0 Entonces, si la primera derivada que no se anula al sustituir 0 es la n-ésima: Si n es par n 0 0 el punto, 0 0 es un mínimo relativo n 0 0 el punto, 0 0 es un máimo relativo Si n es impar el punto, 0 0 es un punto de inleión Es decir, tenemos que seguir derivando hasta que encontremos una derivada que no de cero al sustituir nuestro punto crítico, y luego aplicamos el teorema. Ejemplo: Estudiar la naturaleza de los puntos críticos de la unción 4 ' Calculamos los puntos críticos. Veamos qué tipo de punto crítico es el =. '' '' 0 ''' 4 ''' 0 iv iv Luego la primera derivada que no se anula es de orden par la cuarta será un máimo o un mínimo. Como 4 > 0, la unción tendrá un mínimo relativo en el punto,,0 Ejercicios: Estudiar la naturaleza de los puntos críticos de las unciones: a 7 b Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

42 EJERCICIOS.- Calcular los siguientes límites: sen e e a lim b lim 0 cos 0 sen c lim Ln d lim 0 cos e sen lim cos lim 0 sen.- Calcula la monotonía y los etremos de la unción.- Calcular las asíntotas de la unción e 4.- Estudiar la monotonía de la unción 5.- Calcular los etremos relativos de la unción e 6.- Dada la unción sen, calcular el siguiente límite: 0 '0 ''0 '''0 lim 6 0 b Dada la unción b a e 0 a Calcular los valores de a y b para los que la unción es continua pero no derivable en 0 b Para a b, estudiar su monotonía 8.- Estudiar la monotonía de las unciones: 4 4 a Ln b 9.- Calcular los etremos relativos de la unción e 0.- Halla el valor de a para que la unción = a tenga un mínimo en Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

43 .- La curva y a b c pasa por el punto P,8, y tiene un mínimo en =0,5. Halla la ecuación de la curva..- Halla a, b, c y d para que la unción el punto 0, y un mínimo en, a b c d tenga un máimo en.- Calcular los etremos absolutos de la unción sen cos en el intervalo 0, Estudiar la monotonía y calcular los etremos relativos y absolutos de la unción Calcular los etremos absolutos de la unción Una compañía de venta a domicilio ha determinado que sus beneicios anuales dependen del número de vendedores veriicando la epresión: donde B es el beneicio en miles de pesetas para vendedores. Determinar, justiicando las respuestas: a Qué número de vendedores ha de tener la empresa para que sus beneicios sean máimos? b Cuál será el valor de dichos beneicios máimos? 7.- Estudia la monotonía de las unciones a b Estudia la monotonía y los etremos relativos de la unción. Los etremos relativos, son también absolutos? 9.- Halla dos números cuya suma sea 0 tales que su producto sea máimo 0.- Halla las dimensiones de un campo rectangular de 600m poderlo cercar mediante una valla de longitud mínima. de supericie para Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

44 .- La relación entre los beneicios, en miles de euros, obtenidos por la venta de un determinado producto y el tiempo, en años, que éste está en el mercado viene dada por la unción: 00t B t, t 0 t 8 a Indica el número de años que debe estar el producto en el mercado para que el beneicio sea máimo y cuál será éste. b A largo plazo, hacia qué valor se acercan los beneicios?.- Durante el pasado invierno, el número de enermos de gripe en una determinada ciudad vino dado por la unción t 0t t, donde t representa el número de días transcurridos desde el de enero. a Cuánto tiempo duró el virus de la gripe ese año? b En qué periodos creció y decreció el número de enermos? c Cuántos enermos hubo el día que la gripe aectó a más personas? Qué día ue?.- Estudiar la monotonía y los etremos de la unción: Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R, en miles de euros, viene dada en unción de la cantidad que se invierte, en miles de euros, por medio de la siguiente epresión: R 0'00 0'4 '5 a Deducir y razonar qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan b Qué rentabilidad se obtendrá? 5.- La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa unciona todos los días de un mes de 0 días, responde a la siguiente ley: C , siendo el día del mes. a Cuál ha sido la cotización en Bolsa el día? b Determina los días en que alcanza las cotizaciones máima y mínima y cuáles han sido éstas. 6.- Se quiere construir una caja de cartón sin tapa de base cuadrada de orma que tenga un volumen de 56 dm. Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice la mínima cantidad posible de carton? Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

45 7.- El número de bacterias en un cultivo eperimental en un instante t viene dado por la unción: t 0 N t te ; 0 t 00 Cuánto valen el máimo y el mínimo número de bacterias y en que instantes se alcanzan, respectivamente, dichos valores etremos? 8.- Dividir un segmento de 60 cm. en dos partes con la propiedad de que la suma de las áreas de los triángulos equiláteros construidos sobre ellas sea mínima. 9.- En una circunerencia de radio 4 cm. se inscribe un rectángulo. Cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área? 0.- El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las iestas. Para ello aprovecha una tapia ya eistente como uno de los lados y dispone de 00 m. de tela metálica para hacer los otros tres. a Podrías indicar las dimensiones del recinto acotado de esta orma cuya área es la mayor posible? b La comisión de iestas ha calculado que para montar las atracciones, pista de baile, necesitan m. Teniendo en cuenta los cálculos del apartado anterior, será suicientemente grande el recinto que quiere preparar el alcalde?.- Se desea construir una lata de conservas cilíndrica con un área total de 50 cm y volumen máimo. Calcula su altura y el radio de la base..- Una pista de atletismo está ormada por una región rectangular con un semicírculo en cada etremo. Si el perímetro es de 00 m., hallar las dimensiones de la pista para que la región rectangular tenga área máima..- Hallar los puntos de la curva de ecuación sea mínima. y 4 cuya distancia al punto 4,0 4.- Con una chapa de hojalata cuadrada de 60 cm. de lado es preciso hacer un cajón sin tapa que tenga volumen máimo. Se recortan cuadrados iguales en las esquinas de la chapa y se dobla ésta para ormar el cajón. Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados? 5,. Determinar la distancia mínima del origen a la curva y = - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

46 6.- Cómo hay que doblar un alambre de 4m. de longitud para que orme un rectángulo cuya área sea lo más grande posible? 7.- Desde una casa situada en el punto P7,0 se quiere hacer un camino recto para conectarla con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuación y Con qué punto de la carretera conecta el camino más corto posible?. 8.- Dada una circunerencia de radio r, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunerencias tangentes interiores a la circunerencia dada, tal como indica la igura: Qué longitud debe tener cada uno de estos diámetros para que el área de la región rayada sea máima? 9.- Un almacén tiene orma de prisma recto de base cuadrada y un volumen de 768m. Se sabe que la pérdida de calor a través de las paredes laterales es de 00 unidades por metro cuadrado, mientras que a través del techo es de 00 unidades por metro cuadrado. La pérdida por el suelo se puede considerar prácticamente nula. Calcula las dimensiones del almacén para que la pérdida de calor total sea mínima Desde la Tierra, que suponemos situada en el origen del coordenadas del plano, se observa un objeto que sigue una trayectoria de ecuación y 6 distancias medidas en años-luz. Cuáles son las coordenadas del punto de la trayectoria cuya distancia a la Tierra es mínima y cuánto vale dicha distancia? 4.- a Dibuja una unción que tenga un máimo en = pero que no sea derivable en dicho punto b Da un ejemplo de una unción con ininitos máimos y mínimos 4.- Estudia la monotonía y calcula los etremos absolutos de la unción: Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

47 4.- La gráica de la unción derivada de,, es la que aparece en la igura: Indica razonadamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento de y determina en qué puntos se alcanzan sus etremos relativos 44.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción 6 en su punto de inleión 45.- Halla b, c y d para que la unción = +b +c+d tenga un etremo en,0 y un punto de inleión en = 46.- Dada la unción : deinida por a b c d, calcular los valores de a, b, c, y d sabiendo que tiene un punto de inleión en Q-, y que la recta tangente a la gráica de en el punto M0, es horizontal Estudia la curvatura de la unción = Estudia la curvatura y calcula los puntos de inleión de a Ln b Ln c e 49.- Dada la unción : deinida por a b, calcular los valores de a y b sabiendo que la recta tangente a la gráica de en su punto de inleión es la recta y = Estudia la naturaleza de los puntos críticos de las unciones 6 a b - - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

48 5.- Dada la unción a Ln a Calcular el valor de a para que sea continua en b Para el valor de a calculado anteriormente, estudiar su monotonía 5.- Considera la curva de ecuación y, 0 a Cuál es el punto de la curva más cercano al punto,0? b Deduce si eiste o no un punto de la curva que sea el que está más lejos del punto anterior lim e k e 5.- a Calcula el valor de k para que se cumpla: 4 0 b Calcula razonadamente el valor de a y b para que se cumpla: a b cos lim 0 sen 54.- Las siguientes gráicas corresponden a las unciones derivadas de dos unciones y g. A partir de dichas gráicas calcular, para y g: a Intervalos de crecimiento y decrecimiento b Etremos relativos c Intervalos de concavidad y conveidad d Puntos de inleión Ln, determina cuál de las rectas tangentes a la gráica de tiene la máima pendiente Dada la unción :, e deinida por Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

49 56.- Halla el valor de c de modo que la unción c único punto crítico. e tenga un 57.- Si a=0, cuál de estas proposiciones es cierta? a tiene un etremo relativo en = a b tiene un punto de inleión en = a c tiene en = a tangente paralela al eje OX 58.- Calcula los etremos absolutos de la unción 59.- Halla a y b para que la unción a b 5 tenga en = un punto de inleión con tangente horizontal 60.- Una vía de errocarril transcurre por un terreno llano de manera que su trazado coincide con el de la recta y = para 0. A partir del punto = 0 su trazado coincide con el de la curva y a b e. Sabiendo que el trazado de la vía admite recta tangente en todos sus puntos, cuánto valen a y b? Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

50 - 6 - Matemáticas II: Aplicaciones de las Derivadas

51 TEMA 6.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para representar gráicamente una unción, salvo las unciones elementales ya conocidas, conviene seguir una serie de pasos que veremos a continuación, si bien no todos son imprescindibles en todos los casos..- Dominio Si bien a estas alturas los dominios de los distintos tipos de unciones deben ser conocidos, resumimos los más habituales: Polinómicas, eponenciales, sen, cos, n n impar D g Racionales D / g 0 Logarítmicas log / 0 a g D g n g n par D / 0 g.- Puntos de discontinuidad Ver tema correspondiente.- Puntos de Corte con los Ejes a Con el eje OY ordenadas: se sustituye la por 0 y se obtiene el punto 0,0 b Con el eje OX abscisas: se iguala la unción a 0 y se despeja el valor de Ejemplos:.- Calcular los puntos de corte con los ejes de la unción Con OY: 0 tiene un punto de corte en 0, Con OX: 0, Por Ruini Luego tiene dos puntos de corte con OX que son,0 y -,0.- Calcular los puntos de corte con los ejes de la unción Ln Con OY: D,, no se puede sustituir la por 0 y por tanto no tiene Como puntos de corte con OY Con OX: Ln 0 Luego tiene un punto de corte con OX en,0 - - Matemáticas II: Representación de Funciones

52 4.- Periodicidad Una unción es periódica de periodo P P 0 si P, D Las unciones periódicas más habituales son las trigonométricas. Así: sen,cos k k P ; tg k P k k Hay otras unciones no trigonométricas y periódicas, como la unción Dec con P = Nota: para las unciones periódicas sólo se harán los cálculos y la representación en un intervalo correspondiente a su periodo 5.- Simetrías a Una unción es simétrica par si es simétrica respecto al eje OY, es decir, si, D Por ejemplo 4 es par ya que 4 4 b Una unción es simétrica impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas, es decir, si, D Por ejemplo es impar ya que Ejercicio: Estudiar las simetrías de las unciones ; g ; h Asíntotas Ver tema correspondiente 7.- Monotonía y Etremos Ver tema correspondiente 8.- Curvatura y Puntos de Inleión Ver tema correspondiente 9.- Representación de la Función Con todos los datos anteriores, representamos gráicamente la unción. En general, la mayor inormación para la representación gráica la obtendremos del Dominio, los puntos de corte con los ejes, las asíntotas y los etremos, si bien el resto de inormación nos sirve para precisar la gráica. Hacemos algunos ejemplos completos: - - Matemáticas II: Representación de Funciones

53 Ejemplo : Representar gráicamente la unción D. Además no tiene puntos de discontinuidad es una unción polinómica Puntos de corte con los ejes: Ya vimos que tenía un punto de corte con OY, el 0,, y dos puntos de corte con OX, el,0 y el -,0. No es periódica Simetrías: Como, no es par Como, no es impar Luego esta unción no es simétrica Asíntotas: Esta unción, al ser polinómica, no tiene asíntotas Monotonía y Etremos: ` 0, Puntos críticos Como D, los intervalos de monotonía serán: ' 9 0 es creciente en el intervalo, '0 0 es decreciente en el intervalo, ' 9 0 es creciente en el intervalo, De paso vemos que la unción alcanza un máimo relativo en el punto -,4 y un mínimo relativo en el punto,0 Los etremos podíamos haberlos visto también con la segunda derivada, pero ya que estaba hecha la monotonía Curvatura y Puntos de Inleión: '' Como D, los intervalos de concavidad y conveidad serán: - - Matemáticas II: Representación de Funciones

54 '' 6 0 es cóncava en el intervalo,0 '' 6 0 es convea en el intervalo 0, De paso la unción tendrá un punto de inleión en el punto 0, Podíamos haber usado también la tercera derivada: ''' 6 '''0 6 0 P.. I 0, Con todos los datos anteriores, el dibujo de la unción será: Ejemplo : D Representar gráicamente la unción. Además ése es el único punto de discontinuidad 0 Puntos de corte con los ejes: Con OY: No puede tener pues el 0 no está en el dominio Con OX: 0 0, lo que no puede ser y por tanto no tiene puntos de corte No es periódica Simetrías: Como, no es par Como, es una unción impar Matemáticas II: Representación de Funciones

55 Asíntotas: Asíntotas Verticales: lim lim 0 0 lim lim 0 0 Tiene una Asíntota Vertical hacia arriba derecha y hacia abajo izquierda que es la recta = 0 Asíntotas Horizontales: lim lim lim lim No tiene Asíntota Horizontal Asíntotas Oblicuas: m lim lim n lim lim lim 0 Es ácil ver que los límites correspondientes en son los mismos, luego tiene una Asíntota Oblicua por la Derecha y por la Izquierda que es la recta y = Vemos la posición: Si 0, 0 Por Encima Si 0, 0 Por Debajo Además como 0, la unción no corta a su asíntota Monotonía y Etremos: ' 0 0, Tenemos por tanto dos puntos críticos. Veamos qué tipo de etremos son: '' 4 '' 0,, alcanza un mínimo relativo en el punto '' 0 alcanza un máimo relativo en el punto,, Matemáticas II: Representación de Funciones

56 Estudiamos ahora la monotonía. Teniendo en cuenta el Dominio y los puntos críticos: ' 0 4 es creciente en el intervalo, ' 0 ' 0 es decreciente en el intervalo,0 es decreciente en el intervalo 0, ' 0 4 es creciente en el intervalo, De paso vemos que la monotonía concuerda con los etremos relativos que habíamos obtenido. Curvatura y Puntos de Inleión: '' 0 Esta unción no tiene puntos de inleión Los intervalos para la curvatura serán, por tanto: '' 0 es cóncava en el intervalo,0 '' 0 es convea en el intervalo 0, Con todos los datos anteriores, el dibujo de la unción será: Matemáticas II: Representación de Funciones