Soluciones de los problemas de álgebra lineal

Transcripción

1 Soluciones de los problemas de álgebra lineal HOJA :. a. a. b,d 4. b,c. b. (a) 4A +C t = 6 6 µ , (b) (BA) t C = µ (c) B + AC = 0 9 4, (d) CA =, 0 µ (e) (B I) =, (f) (CA) = / /4 /4. tr (A) =4, tr (B) =6, tr (D) =4ylasmatricesC, E y F no tienen traza.. Las matrices A +B y E 4F no tienen traza y tr (A +D) =6. α α 4α 4. αa = α 0 α, tr(a) = 4, tr(αa) = 4α = α tr(a). α α α. tr(ab) =7= tr(ba). 6. I = I I = , = tr(i ) 6= tr(i )tr(i )=9,portanto tr(a ) 6= tr(a)tr(a) ElrangodelamatrizA es, el de B es yeldec es. 8. a = y b =. 9. Las matrices A, C y D no poseen inversa. B =, B es triangular inferior, C es triangular superior, D es simétrica y E es antisimétrica. µ 0 0. A =. 0. A es idempotente, B es ortogonal, C es unipotente y D es nilpotente.. A =, B =, C =, D =0. 4. A =60, B = 8, C =4.. Los menores complementarios son M =, M =0, M =. Los adjuntos de los elementos de la segunda fila son A =0, A =0, A =. A =. 6. A + B = 4 4 6= A + B = 7 = 9..

2 7. A = B = a b+ c b c+ a c a+ b = a + b + c b+ c a + b + c c+ a a + b + c a+ b = a F a F a F a F = =0. 8. ElrangodelamatrizA es. 9. La matriz A tiene rango completo si a 6= 0y a 6=.Paraa = 0. A =, B = 44, C = 8. A = / / / 0 / / / / / / 0 0

3 HOJA :. b. b,c. c,d 4. b. x =4, y =46.. i) x =, y =. ii) x =0,y=. iii) Incompatible.. i) Sistema compatible indeterminado (x, y, z) =( z 6, z 6,z). ii)sistema compatible indeterminado (x, y, z, t) =( t z, z t,z,t). 4. k =.. i) W = {(x, y, z) R x = 8z, y = 8 z}, dim(w )=. ii) W = {(x, y, z, t) R 4 x =z t, y =t z}, dim(w )=. 6. i) Sistema compatible determinado (x, y, z, t) =(0, 0, 0, 0). ii) Sistema compatible indeterminado (x, y, z, t) =( 9z 9t 7, 9z 0t 7,z,t). iii) Sistema compatible determinado (x, y, z, t) =(,,, 4). iv) Sistema Incompatible. 7. i) (x, y, z) =(,, ). ii) (x, y, z) =(,, ). 8. i) Si k =entonces el sistema es compatible indeterminado. Si k = entonces el sistema es incompatible. Si k 6= y k 6= entonces el sistema es compatible determinado. ii) Si k = 4 entonces el sistema es compatible determinado. Si k 6= 4 entonces el sistema es incompatible. 9. i) Si c a +b =0 entonces el sistema es compatible indeterminado. Si c a +b 6= 0 entonces el sistema es incompatible. ii) Si a 6= 4 y b cualquiera entonces el sistema es compatible determinado. ½ b = 7 el sistema es compatible indeterminado. Si a = 4 entonces si b 6= 7 el sistema es incompatible. 0. Solución de la primera cuestión es : x = x, x = x 000, 000 x Solución de la segunda cuestión es : x =0.000 x, x = x 000, 000 x 6000.

4 HOJA :. a,b. b,c. b 4.b.a,b,d 6. a 7. b 8.a,c.. α = arccos( ) = π ; β =arccos(0)= π.. El módulo de v es 6.. H no es subespacio vectorial de R [x]. 4. Sólo los conjuntos A, B y F son subespacios vectoriales de R 4.. W W = {(x, y, z) R x =0,y = z} = W, W + W = {(x, y, z) R x =0} = W. 6. El sistema de vectores {(,, ), (,, ), (0, 0, )} no genera R. 7. {(, 0,, 0), (0,, 0, 0), (0, 0, 0, )} es un sistema de generadores del subespacio A. {(,, 0, 0), (0, 0,, )} es un sistema de generadores del subespacio B. {(0, 0,, )} es un sistema de generadores del subespacio F. 8. (,, ) no es combinación lineal de los vectores del sistema S y tampoco lo es el vector (,, ). 9. (a), (b), (e) linealmente dependientes; (c), (d) linealmente independientes. 0. (a) (, ), (, ) (b) (,, ), (, 0, ) (c) (,, )(,, )(, 0, ) (d) (,,, ), (, 0,, ), (0, 4,, ) (e) (,,, 0), (, 0, 0, ), (, 0, 0, ). (a) R (b) {(x, y, z) R :4z =7y x} (c) R (d) {(x, y, z, t) R 4 :8x y z t =0} (e) {(x, y, z, t) R 4 :y z =0}. (a) No Si. (b) Si.. {(0,, 0, 0), (0, 0, 0, ), (, 0,, 0)} es una base del subespacio A; dim A =. {(0, 0,, ), (,, 0, 0)} es una base del subespacio B; dim B =. {(0, 0,, )} es una base del subespacio F ; dim F =. 4. (a) u u = u u = u u 4 = u u = u u 4 = u u 4 =0. (b) v =(,,, 6) = 9 4 u 4 u + 4 u + 4 u 4. (c) v =(a, b, c, d) = a+b+c+d 4 u + a+b c d 4 u + a b c+d 4 u + a b+c d 4 u 4. (d) B 0 = { u u =(,,, ), u u =(,,, ), u u =(,,, ), u 4 u 4 =(,,, )}.. dim U =. {(, 0, 0, 0), (0,, 0, ), (0, 0,, )} es una base de U. dim V =. {(0,,, 0), (, 0, 0, )} es una base de V. U V = {(x, y, z, t) R 4 x = t =0,y=z}; dim(u V )=; {(0,,, 0)} es una base de U V. U + V = L((, 0, 0, 0), (0,, 0, ), (0, 0,, ), (0,,, 0), (, 0, 0, )) = R 4 ; dim(u + V )=4; {(, 0, 0, 0), (0,, 0, ), (0, 0,, ), (0,,, 0)} es una base de U + V. 6. (a) (, ) y (, ) (b) (, ) y (, ) 7. (, 0,, ) / V. (, 0,, ) V ;(, 0,, ) = (, 0,, 0) + 0(0,,, 0) (0, 0, 0, ). Coordenadas = (, 0, ). (, 0,, ) V ;(, 0,, ) = (,, 0, )+(, 0, 0, 0)+(0,,, 0) (0, 0, 0, ). Coordenadas = (,,, ).

5 8. Los vectores (4, 0, ), (,, ), (7,, ) son linealmente dependientes, W = L{(4, 0, ), (,, ), (7,, )} = {(x, y, z) R :x =0z y} y dim W =. 9. (a) {(,, 0, 0), (0, 0,, )} es una base de H y dim H =. (b) dim L =; L = {(x, y, z, t) :x = y + z + t}. H L = {(x, y, z, t) :x = y =0,z+ t =0}; dim(h L) =; {(0, 0,, }} es una base de H L dim(h + L) =4; {(,, 0, 0), (, 0,, 0), (, 0, 0, ), (,, 0, 0)} es una base de H + L.

6 HOJA 4:. a. e. a 4. a,d. b,d 6. d.. Sólo las aplicaciones de los apartados (b) y (d) son aplicaciones lineales.. Expresión matricial (en las bases canónicas): µ 4 0 (a) f(x, y, z) = x y (d) f(u 0,u,u )= z 0 0 µ µ µ (b) f(u,u )= 0 u 0 x (e) f(x, y) = u 0 y (c) f(u, v, w) = u µ v (f) f(x, y) = 0 x. y 0 w 0 u u u. (a) ker(f) ={(x, y, z) R :4x +y =0,z= x}. dim ker(f) = =. dim Im(f) =, Im(f) =R. (b) ker(f) ={(0, 0)}. dim ker(f) =0. dim Im(f) =, Im(f) ={(x, y, z) R : z =x 4y}. (c) ker(f) ={(0, 0, 0)}. dim ker(f) =0. dim Im(f) =, Im(f) =R. (d) ker(f) ={(x, y, z) R : z =0,x= y}. dim ker(f) =. dim Im(f) =, Im(f) ={(x, y, z) R : y =0}. (e) ker(f) ={(0, 0)}. dim ker(f) =0. dim Im(f) =, Im(f) =R. (f) ker(f) ={(0, 0)}. dim ker(f) =0. dim Im(f) =, Im(f) ={(x, y, z, t) R 4 : x =y z, t =y +z}. 4. f(x, y, z) =(x + y, x + z).. No existe ninguna aplicación lineal f : R R tal que f(, ) = (0, ), f(, ) = (, 0). Pues toda aplicación lineal tal que f(, ) = (0, ) debe verificar también que f(, ) = f(, ) = (0, ). 6. A = a 4 a 0. Si a {0,, } entonces dim Im f =. Por tanto Im f 6= R. Si a/ {0,, } entonces 4 0 a dim Im f =. Por tanto Im f = R. 7. Si, f(0,, )=(,, 0). 8. Se tiene: (f + g)(x, y, z) =(4x, 4x +z,x + z), (f g)(x, y, z) =(4x y, x z,x z) (f g)(x, y, z) =(4y z x, z + y,y) (g f)(x, y, z) =(z + x, 4x y,x). M(f) = 4 0 0,M(g) = 0 0 0,M(f g) =M(f) M(g) = 4 0 0, M(f g) =M(f)M(g) = 0,M(g f) =M(g)M(f) = µ 9. (a) M B B (f) = (d) M B B (f) = 0 0 0

7 µ (b) M BB (f) = (c) M B B (f) = µ (e) M BB (f) = 0 (f) M B B (f) = (a) f(x, y, z) =(x y, x y, y + z), (b) f(x, y, z) = 80x+y+0z 4, x+y 0z 4, 8x y+0z, (c) f(x, y) =(x + 7 y, 6x + 4 y, x + y), (d) f(x, y, z) =(4x y + z, 6x + y z), (e) f(x, y, z) = 7x 9y+9z, x y+z, 8x y +z. (a) f (x, y) =(x, y) (c) f (x, y, z) =( x y, x+y,z) (b) f no posee inversa. (d) f (x, y, z, t) =( x+y 4,y,z+ t, t ).

8 HOJA :. a,c. b. b 4. b,c. c 6. b 7. b,d 8. d. (a) B = {(, 0, 0), (0, 0, ), (0,, )} ; D = (b) B = {(, 0, ), (, 0, ), (0,, )} ; D = (c) f no es diagonalizable.. (a) Sí, pues f (0,, ) = (0,, 4). (b) No, ya que f (4, 0, ) = (0, 0, ) 6= (, 0, 9). (b) Sí, pues f (, 0, 0) = (, 0, 0).. (a) Autovalores: λ =0, λ =y λ =. Además V (λ = 0) = {(x, y, z) R /x= y =0} V (λ = ) = {(x, y, z) R /x+y =0,z=0} V (λ = ) = {(x, y, z) R /x= z, x = y}. (b) ker(f) =V (λ =0)={(x, y, z) R /x= y =0}; Im(f) ={(x, y, z) R /x+y + z =0}. µ µ (a) D = ; P 0 = (b) La matriz A no es diagonalizable (c) D = ; P = 0 0 (d) D 4 = ; P 4 = (e) D = ; P = (f) La matriz A 6 no es diagonalizable (g) D 7 = ; P 7 = (g) D 8 = ; P 7 = (a) det A =detd = ; tr A =trd = (b) La matriz A no es diagonalizable (c) det A =detd =6; tr A =trd = (d) det A 4 =detd 4 = ; tr A 4 =trd 4 = (e) det A =detd =8; tr A =trd =8 (f) La matriz A 6 no es diagonalizable (g) det A 7 =detd 7 =4; tr A 7 =trd 7 =6 (g) det A 8 =detd 8 =0; tr A =trd =4 µ (a) a =, b=7. (b) a =4,b=. 8. a =0,b=,c=; a =,b=,c= ; a =, b= 7,c= a =, b=

9 . (a) a 6=. (b) a =0. (c) a 6= 0y b 6=.. (a) D = ; P = (b) D = ; P = (a) λ = doble (m =); λ = 4. (b) λ =; λ = ; λ = (a) A n = n 4 n n+ n n n+ n ( ) n n ( ) n n + ( ) n 7 6 n 7 0 (b) A n = 0 n 4( n 6 n ) n Si denotamos por x(t) e y(t) respectivamente los porcentajes de telespectadores de los informativos de las cadenas WW y R7 al pasar t días, entonces x(t +)=0.6x(t)+0.y(t) y(t +)=0.4x(t)+0.7y(t) o equivalente en notación matricial z(t +)=A z(t) µ donde z(t) =(x(t),y(t)), z(0) = (0., 0.) y A =. Así pues z(7) = Az(6) = A z() =... = A 7 z(0) = Ã +4 (0.) (0.) 7 7 (0.) (0.) 7 7! µ = µ por lo que al cabo de una semana el informativo nocturno de la cadena WW tendrá una audiencia del 4.8% frente a un 7.4% para R7

10 HOJA 6:. c. a,b. a 4. b. b. A = 0 0, A = 4, A = (a) Se deja al lector. (b) Q =. Q = A+At = A+At = A+At.. (a) q es semidefinida positiva. (b) q es indefinida. (c) q es indefinida. (d) q 4 es definida positiva. (e) q es indefinida. (f) q 6 es semidefinida positiva. (g) q 7 es semidefinida negativa. (h) q 8 es definida negativa. definida negativa si a< semidefinida negativa si a = 4. (a) q es indefinida si <a< semidefinida positiva si a = definida positiva si a> (b) q es semidefinida positiva cuando a y b =. definida negativa si a< semidefinida negativa si a = (c) q es indefinida si <a< semidefinida positiva si a = definida positiva si a>. En el resto de casos es indefinida.