PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL. Tema 5. Operadores Lineales en Espacios con Producto Interno OPERADOR ADJUNTO. ; donde: F(z)=α z ( )

Transcripción

1 OPERDOR DJUNO Problema : Sea el espacio vectorial con producto interno complejo definido por z w, en donde w es el conjugado de w. Obtener el adjunto del operador lineal ( zw) = F : cua regla de correspondencia es: F(z)=α z Donde α es un número fijo dado. Solución: Datos P.I. ( zw) = z w Conjugado z w F F F(z) F (w) ; donde: F(z)=α z - Con la definición de adjunto: ( F( z) w) = ( zf( w )) - Sustituendo: ( α zw) = ( zf ( w ) ) ( z)( w) z F ( w ) α = α z w F ( w) = z ( F ) ( w ) = α w F w = α w djunto del operador F DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

2 Problema : Determinar el adjunto del operador : definido por: ( x, ) = x 5 i,[ + i] Solución: Para determinar el adjunto se selecciona o propone una base ortonormal de para el producto interno usual: Se determina la matriz asociada a referida a la base B : (a) Imágenes de los vectores de B : (, 0) = (, 0) (0,) = ( 5 i, + i) {(, 0 ), ( 0,) } B = Base ortonormal e e e e = (,0) (0,) = ()(0) + (0)() ( e e ) e = ( e e) e = =, 0, 0 = ()() + (0)(0) = 0 = = (0,) (0,) = (0)(0) + ()() = (b) Imágenes anteriores como C.L. de B : con P.I. usual en (,0) = α (,0) + α (0,) (, 0) = ( α, α ) α = α = 0 ; ( 5 i, + i) = ( β, β ) β = 5i β = + i (c) La matriz resulta: M B B ( ) 5i = 0 + i La conjugada transpuesta de la matriz anterior es: B 0 M B = = M 5i i B B Es la matriz asociada al operador adjunto referida a la base B DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

3 B La regla de correspondencia se puede determinar con: MB ( ) ( u) ( u ) Sea u= ( x, ) como C.L de B : u = α(, 0) + β(0,) ( x, ) = ( αβ, ) α= x; β= x ( u) = B B Multiplicando: MB ( ) ( u) ( u). = B 0 x x = = = B 5i i 5 ix + ( i) B B Finalmente: = ( )(,0) + [ 5 + ( ) ](0,) = (,5 + ( ) ) u x ix i x ix i = + ( x, ) x,5 ix ( i) Regla de correspondencia del adjunto de DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 3 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

4 OPERDOR NORML Problema 3: Sea V un espacio vectorial con producto interno complejo λ. Determinar si el operador :V V tal que ( v) = λ Solución: Para que el operador sea normal: Matricialmente: Con la definición del operador adjunto: ( ( v) u) = v ( u) ( λvu) = ( v ( u) ) λ ( vu) = ( v ( u) ) ( vλu) = ( v ( u) ) u λu = Con la definición de composición: v es normal. Regla de correspondencia del operador = = Propiedad del producto interno: ( uαv) = α( uv ) α α = α ( ) ( λ ) Conjugado u = u = u = λ λu Con la regla de correspondencia de ( )( u) = λ u ( ) ( λ ) ( )( u) = λ u u = u = u = λ λu Por lo tanto, como: ( )( u) = ( )( u) λ u = λ u es un operador normal DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 4 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

5 OPERDOR HERMIINO Problema 4: Demostrar que el operador lineal : definido por: ( z, z ) = ( z, z + z ) ( z, z ) es un operador hermitiano con el producto interno ordinario en consecuencia de ello, sus valores característicos son reales. verificar que como Solución: Un operador es hermitiano cuando = a) Matriz asociada: B canónica de Imágenes: ={(,0),(0,)} Es base ortonormal Matriz asociada a referida a una base ortonormal (, 0) = (0,) (0,) = (,) 0 0 M ( ) = = Matriz conjugada transpuesta = Se cumple que: = 0 0 = el operador es hermitiano b) Un operador también es hermitiano cuando: = Y se debe cumplir: Sean los vectores: u v = u v u, v () u= (,) ab u = (, ba+ b) v= (, cd) v = ( dc, + d) DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 5 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

6 Sustituendo en (): ( ( u) v) = u ( v) [( ba, + b) ( cd, )] = [( ab, ) ( dc, + d) ] bc + ( a + b) d = ad + b( c + d) bc + ( a + b) d = ad + b( c + d) bc + ( a + b) d = ad + bc + bd bc + ( a + b) d = bc + ( a + b) d con P.I. ordinario Cumple queda demostrado que es hermitiano. DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 6 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

7 OPERDOR SIMÉRICO Problema 5: (a) Demostrar que el operador lineal : definido por: (x,) = (x,x) es un operador simétrico con el producto interno siguiente: [ ] ( x, ) ( x, ) = xx x x + (b) Obtener la matriz M asociada al operador referida a la base canónica. (c) Obtener la matriz M asociada al operador referida a la base ={(,),(,0)}. (d) Obtener la matriz M 3 asociada al operador referida a la base B =,, 0,. (e) De las matrices M, M M 3 obtenidas en los incisos anteriores Cuáles son simétricas? (f) Qué característica con relación al producto interno, tienen las bases a las cuales están referidas las matrices M, M M 3, para que estas matrices sean o no simétricas? Solución: (b) Sea B= {(,0),(0,)} Base ortonormal de Imágenes: (, 0) = (,) 0 M = M (0,) = (0,0) = Matriz asociada a referida a base canónica B 0 M = M M " M " no es simétrica 0 0 (c) Imágenes de ={(,),(,0)}: (,) = (,) (, 0) = (,) Imágenes anteriores como C.L de : (,) = α (,) + α (, 0) (,) = ( α + α, α ) α = α + α = α = = ; (,) = ( β + β, β ) = β + β β = β = ; β = M = = M M = M = M " M " es simétrica DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 7 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

8 (d) Imágenes de,, = 0, = ( 0,0) PROBLEMS RESUELOS B =,, 0, : Imágenes anteriores como C.L de B :, = α, 0, + α, = α, α α Igualando términos: α α = α α = = ; ( α ) = α = = α = α = 0. = ; ( 0,0) = β, β β Igualando términos: 0 0 M = = M ( ) ; M = M = M " M 3 " es simétrica B 3 B β 0 ; = β β β = 0 ; β = 0 = 0 (e) M no es simétrica M es simétrica M 3 es simétrica DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 8 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

9 (f) B canónica ={(,0),(0,)} u v [ ] [ ] [ ] uv = (, 0) (0,) = ()(0) ()() (0)(0) + (0)() uu = (, 0) (, 0) = ()() ()(0) ()(0) + (0)(0) = 0 No es ortogonal = ; u = vv = (0,) (0,) = (0)(0) (0)() (0)() + ()() = ; v = { (, ), (, 0) } = a = a = ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] a a = (,) (, 0) = ()() ()(0) ()() + ()(0) = = 0 a a = (,) (,) = ()() ()() ()() + ()() = + = ; a = a a = (, 0) (, 0) = ()() ()(0) (0)() + (0)(0) B= b =,, = 0, b = ; a =, 0, ( )( 0 bb = = ) ( 0) ( bb ) = = 0 ( bb ) + =,, = + ( bb ) = ( ) ( bb ) = ; b = + = + = 0+ = 0, 0, = = ( 0 )( 0 ) b b ( 0) ( b b ) = = = ; = b Finalmente: Es ortogonal Sí es ortonormal ( 0) B canónica no es ortonormal M no es simétrica es ortonormal M es simétrica B es ortonormal M 3 es simétrica No es ortonormal Es ortogonal Sí es ortonormal + DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 9 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

10 (a) El operador es simétrico? Condición: = si sólo si = Demostración con matrices asociadas: M = M = " " Es simétrico Demostración con la regla de correspondencia de : M ( ) = M = v v Sea v= ( x, ) como C.L de = {(,), (,0)}: v = α(,) + β(, 0) ( x, ) = ( α+ βα, ) Igualando términos α + β = x ; α = β = x ( v) = x Sustituendo en (): + x x = = = ( v) x + x x Finalmente: v = x + x = x+ xx (,) (, 0) (, ) = ( x, ) ( xx, ) () Regla de correspondencia del adjunto de Se demuestra que = (x,)=(x,x) DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 0 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

11 DESCOMPOSICIÓN ESPECRL Problema 6: Sea el espacio vectorial con producto interno complejo usual. Determinar la descomposición espectral, del operador lineal : cua matriz 4 3i asociada respecto a la base B= {(,0),(0,)} es : =. 3i 4 Solución: (a) = para que sea operador normal Puesto que = 4 3i 4 3i 6 9i i i 5 0 = = = 3i 4 3i 4 i + i 9i i i i i + i 5 0 = 3i 4 3i 4 i i 9i = = (b) Valores característicos: es operador normal Por lo tanto, puede descomponerse en proecciones ortogonales sobre sus espacios característicos 4 λ 3i λi = 3i 4 λ λi = λ λ i = det (4 )(4 ) 9 0 λ λ+ λ + = λ 8λ+ 5 = 0 ( 8) ± 64 4()(5) 8 ± ± 36 λ = = = () 8± 6i λ = λ = 4+ 3 i ; λ = 4 3i Valores característicos DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

12 (c) Vectores característicos: Para λ = 4+ 3i : ( λiv ) = 0 ; sea v= ( x, ) 3i 3i 3i 3i 0 0 Para λ = 4 3i : x = 0 x= 0 = 0 = v= (, ) ( λ ) = {(, ) } E R ( λiv ) = 0 ; sea v= ( x, ) 3i 3i 3i 3i 0 0 x+ = 0 x= 0 = 0 = { } ( λ ) (, ) v= (, ) E = R Verificando ortogonalidad de espacios característicos: ( E E ) [ ] ( λ ) ( λ ) = (,) (,) = ()( ) + ()() = 0 E λ E( λ ) son complementos ortogonales ( ) DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS

13 (d) Por teorema: es la suma directa de los espacios característicos de : = E( λ ) + E( λ ) ( x, ) = ( aa, ) + ( bb, ) ( x, ) = ( a ba, + b) a b= x ; a+ b= a= x+ b ; x+ b+ b= x a= x + ; b= x+ x+ x+ a= ; b= Igualando términos Por lo tanto, para (x,) : x+ x+ x x+ x, =, +, Expresión única P P sí, las proecciones ortogonales P i sobre los espacios característicos E ( λ i ) son: x+ x+ P ( x, ) =, x x+ P ( x, ) =, e) Finalmente, la descomposición espectral del operador es: = λp+ λp = ( 4+ 3i) P+ ( 4 3i) P ( x, ) = ( 4+ 3 ip ) ( x, ) + ( 4 3 ip ) ( x, ) x+ x+ x x+ ( x, ) = ( 4+ 3 i), + ( 4 3 i), = ( 4+ 3i) P+ ( 4 3i) P Descomposición espectral de DIVISIÓN: CIENCIS BÁSICS 3 de 3 COORDINCIÓN: MEMÁICS