Multiplicación de Matrices Naïve

Transcripción

1 Multiplicación de Matrices Naïve Carl C. Cowen IUPUI (Indiana University Purdue University Indianapolis) Universidad de Zaragoza, 6 julio 2009

2 Los estudiantes de álgebra lineal aprenden, para matrices m n como sumar las matrices A y B, A + B = C si y sólo si a ij + b ij = c ij. Se esperaría la multiplicación de matrices AB = C si y sólo si a ij b ij = c ij, Pero, el profesór dice No! Es mucho más complicado que esto! Hoy, quiero explicar que este tipo de multiplicación no sólo es lógico pero también es muy práctico y muy interesante y tiene muchas consecuencias matemáticas. Definición Si A y B son matrices m n, el producto de Schur (o Hadamard o fácil o naïve ) de A y B es la matriz m n C = A B con c ij = a ij b ij.

3 Estas ideas son del siglo pasado de Moutard (1894), ( )que ni se fijó que había probado nada(!), Hadamard (1899), y Schur (1911). Hadamard examinó las funciones analíticas f(z) = n=0 a nz n y g(z) = n=0 b nz n que tienen puntos singulares en {α i } y {β j } respectivamente. Probó que si h(z) = n=0 a nb n z n tiene puntos singulares {γ k }, entonces {γ k } {α i β j }.

4 Nos sorprende un poco menos cuando se consideran los productos de convolución: Sean f y g las funciones 2π-periódicas en R y para que a k = 2π 0 e ikθ f(θ) dθ 2π y b k = 2π 0 e ikθ g(θ) dθ 2π f a k e ikθ y g b k e ikθ Si h(θ) = 2π 0 f(θ t)g(t) dt 2π, entonces h a k b k e ikθ y si f 0 y g 0 implica h 0.

5 El nombre de Schur se relaciona con el producto de matrices porque publicó el primer teorema de este tipo de multiplicación de matrices. Definición Una matriz real (o compleja) n n se llama positiva o positiva semidefinida si A = A Ax, x 0 para todo x en R n (o C n ) Entonces Para toda matriz A, ambas AA y A A son positivas. Reciprocamente, si B es positiva, entonces B = A A para alguna A. En las estadísticas, todas las matrices de varianza-covarianza son positivas.

6 Ejemplos: A = B = 1 2 NO es positiva: pero BC = 2 1, y C = = =, 2 1 son positivas = 1 no lo es.

7 Teorema del Producto de Schur (1911) Si A y B son matrices n n positivas, entonces A B es también positiva. Aplicaciones: El diseño experimental: Si A y B son matrices de varianza-covarianza, entonces A B es una matriz de varianza-covarianza también. P.D.E. s: Sea Ω un dominio en R 2 y sea L el operador diferencial Lu = a 11 x + 2a a 22 y + b u 2 1 x + b u 2 y + cu L se llama elíptico si a 11 a 12 a 21 a 22 es positiva definida.

8 Lu = a 11 x + 2a a 22 y + b u 2 1 x + b u 2 y + cu El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. Por reducción al absurdo: Si u tiene un valor mínimo en (x 0, y 0 ) y u(x 0, y 0 ) < 0, entonces y u x (x 0, y 0 ) = u y (x 0, y 0 ) = 0 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + b u 2 1 x + b u 2 y + cu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2

9 El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2 = a 11 2 u x 2 a 12 = a 11 a 12 a 12 a 22 a 12 a 22 y 2 x 2 y 2, + cu, + cu

10 El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2 = a 11 2 u x 2 a 12 = a 11 a 12 a 12 a 22 a 12 a 22 y 2 x 2 y 2, + cu, + cu

11 El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2 = a 11 2 u x 2 a 12 = a 11 a 12 a 12 a 22 a 12 a 22 y 2 x 2 y 2, + cu, + cu

12 El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2 = a 11 2 u x 2 a 12 a 12 = a 11 a 12 a 12 a 22 a 22 y 2 x 2 y 2, + cu, + cu

13 El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2 = a 11 2 u x 2 a 12 = a 11 a 12 a 12 a 22 > 0 a 12 a 22 y 2 x 2 y 2, + cu, + cu

14 El Principio del Mínimo Débil (Moutard, 1894) Si L es elíptico, c < 0, y Lu 0 en Ω, entonces u no puede tener un valor mínimo negativo en Ω. 0 = Lu = a 11 x + 2a a 22 y + cu 2 Contradicción! = a 11 2 u x 2 a 12 = a 11 a 12 a 12 a 22 > 0 a 12 a 22 y 2 x 2 y 2, + cu, + cu

15 Teorema de Unicidad de Fejer Si L es elíptico y c < 0 en Ω, entonces hay a lo sumo una solución del problema de valores frontera Lu = f en Ω u = g en Ω que es continua en Ω y lisa en Ω. Si u 1 y u 2 son ambas soluciones con u 1 u 2, entonces para que u 1 = g = u 2 en Ω y u 1 u 2 = 0 = u 2 u 1 en Ω, u 1 u 2 o u 2 u 1 debe tener un valor mínimo negativo en Ω. Pero Lu 1 = f = Lu 2 en Ω, porque L(u 1 u 2 ) 0 L(u 2 u 1 ) en Ω Moutard: ni la una ni la otra tiene un valor mínimo negativo en Ω así que tiene que ser u 1 u 2.

16 Objectivo: Probar el Teorema de Schur Recuerde (AB) t = B t A t y (AB) = B A Hágalo para el caso de escalares reales: porque con los escalares complejos es lo mismo pero menos cómodo para la mayor parte de los matématicos Use los vectores de columna: x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y x n y n = x t y Lema Una matriz n n A es positiva si y sólo si A = v 1 v t 1 + v 2 v t 2 + v 3 v t v k v t k para algunos vectores v 1, v 2, v 3,, v k y k n.

17 Lema Una matriz n n A es positiva si y sólo si A = v 1 v t 1 + v 2 v t 2 + v 3 v t v k v t k para algunos vectores v 1, v 2, v 3,, v k y k n. ( ) Sea x en R n y A = v 1 v t 1 + v 2 v t v k v t k para vectores v 1, v 2,, v k. Entonces Ax, x = (v 1 v t 1 + v 2 v t v k v t k)x, x = j v j v t j x, x = j (v j v t j x) t x = j x t ((v t j ) t v t j x = j (v t j x) t (v t j x) = j v j, x v j, x = j v j, x 2 0

18 Lema Una matriz n n A es positiva si y sólo si A = v 1 v t 1 + v 2 v t 2 + v 3 v t v k v t k para algunos vectores v 1, v 2, v 3,, v k y k n. ( ) Sea A positiva. Puesto que A = A t, existe una base ortonormal de R n que consiste en autovectores de A, llamemos a esta base w 1, w 2,, w n. Entonces, para cada j, sean α j los autovalores de A, esto es, Aw j = α j w j. Puesto que A es positiva, α j 0 para todo j. Sean numerados para que 1 j k, α j > 0 y j k + 1, α j = 0. Para 1 j k, escogemos β j > 0 con α j = βj 2 y sea v j = β j w j. Entonces, demostramos que A = v 1 v t 1 + v 2 v t v k v t k = α 1 w 1 w t 1 + α 2 w 2 w t α k w k w t k

19 Lema Una matriz n n A es positiva si y sólo si A = v 1 v t 1 + v 2 v t 2 + v 3 v t v k v t k para algunos vectores v 1, v 2, v 3,, v k y k n. ( ) Para demostrar que A = α 1 w 1 w t 1 + α 2 w 2 w t α k w k w t k mostramos que para cada x en R n, Ax y (α 1 w 1 w t 1 + α 2 w 2 w t α k w k w t k )x es el mismo vector. Si x es un vector en R n, entonces x es una combinación lineal de los w j s, llamemos x = x 1 w 1 + x 2 w x n w n. Entonces Ax está dado por Ax = A(x 1 w 1 + x 2 w x n w n ) = x 1 Aw 1 + x 2 Aw x n Aw n

20 Lema Una matriz n n A es positiva si y sólo si A = v 1 v t 1 + v 2 v t 2 + v 3 v t v k v t k para algunos vectores v 1, v 2, v 3,, v k y k n. ( ) que es Ax = x 1 Aw 1 + x 2 Aw x n Aw n = x 1 α 1 w 1 + x 2 α 2 w x k α k w k + + x n α n w n = x 1 α 1 w 1 + x 2 α 2 w x k α k w k + + x n 0w n = x 1 α 1 w 1 + x 2 α 2 w x k α k w k Fíjase que w t i w j = w i, w j = δ ij.

21 Lema Una matriz n n A es positiva si y sólo si A = v 1 v t 1 + v 2 v t 2 + v 3 v t v k v t k para algunos vectores v 1, v 2, v 3,, v k y k n. ( ) Como en el cálculo de arriba, (v 1 v t 1 + v 2 v t v k vk)x t = (α 1 w 1 w t 1 + α 2 w 2 w t α k w k wk)x t = ( i α i w i w t i )( j x j w j ) = i,j (α i w i w t i )x j w j = i,j α i x j w i (w t i w j ) = i α i x i w i = x 1 α 1 w 1 + x 2 α 2 w x k α k w k Entonces, para cada x, Ax = (v 1 v t 1 + v 2 v t v k v t k )x y A = v 1 v t 1 + v 2 v t v k v t k

22 Lema Si u y v son vectores en R n, entonces (uu t ) (vv t ) = (u v)(u v) t. u 1 u 1 u 1 u 2 u 1 u n Si u = (u 1, u 2,, u n ), entonces uu t u 2 u 1 u 2 u 2 u 2 u n =..... u n u 1 u n u 2 u n u n Luego, u 1 u 1 u 1 u 2 u 1 u n v 1 v 1 v 1 v 2 v 1 v n (uu t ) (vv t u 2 u 1 u 2 u 2 u 2 u n v 2 v 1 v 2 v 2 v 2 v n ) = = u n u 1 u n u 2 u n u n v n v 1 v n v 2 v n v n

23 Lema Si u y v son vectores en R n, entonces (uu t ) (vv t ) = (u v)(u v) t. Luego, (uu t ) (vv t ) = u 1 u 1 v 1 v 1 u 1 u 2 v 1 v 2 u 1 u n v 1 v n u 2 u 1 v 2 v 1 u 2 u 2 v 2 v 2 u 2 u n v 2 v n..... u n u 1 v n v 1 u n u 2 v n v 2 u n u n v n v n = u 1 v 1 u 1 v 1 u 1 v 1 u 2 v 2 u 1 v 1 u n v n u 2 v 2 u 1 v 1 u 2 v 2 u 2 v 2 u 2 v 2 u n v n..... = (u v)(u v) t u n v n u 1 v 1 u n v n u 2 v 2 u n v n u n v n

24 Teorema del Producto de Schur (1911) Si A y B son matrices n n positivas, entonces A B es también positiva. Puesto que A y B son positivas, existen vectores u 1, u 2,, u k tal que A = u 1 u t 1 + u 2 u t u k u t k y vectores v 1, v 2,, v l tal que B = v 1 v t 1 + v 2 v t v l v t l. Entonces, ( ) A B = u i u t i j v j v t j i = i,j (u i u t i ) (v j v t j ) = i,j (u i v j ) (u i v j ) t 0

25 Corolario Si A = (a ij ) es una matriz n n positiva, entonces (a 2 ij ), (a3 ij ), (ea ij) son positivas también. Por ejemplo, es positiva, entonces , , y e3 e 2 e 2 e 2 son positivas también!

26 Aplicación: Problemas de la Complección de una Matriz 15 2 a b c Existen números a, b, y c para que A = sea positiva? a b c 3 13 En este caso, sí!: a = 7, b = 5, and c = 8.

27 Problema General Dada B una matriz n n fija, calcular la norma del multiplicador de Schur de B, esto es, encuentrar la constante más pequeña K B para que X B K B X Además, queremos tener el método computacional efectivo para encontrar K B.

28 Schur (1911) Si B es una matriz n n positiva, entonces la norma del multiplicador de Schur de B es su entrada diagonal más grande. Si β es la entrada diagonal más grande de B, entonces B I = β y K B β. Fíjese que A α si y sólo si El Teorema de Schur implica, 0 B B B B αi A A αi I A A I = 0. B I B A B A B I = B I B A (B A) B I βi B A (B A) βi