APLICACIONES LINEALES CON MATHEMATICA

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1 APLICACIONES LINEALES CON MATHEMATICA Sea la aplicación lineal cuya matriz asociada es a. Encontrar una base de su núcleo b. Calcular la imagen mediante la aplicación de los vectores H1, 2, 1, 0, 3L y H 3, 2, 6, 7, 7L c. Hallar la imagen de la aplicación y su dimensión a = 880, 1, 2, 1, 1<, 8 2, 1, 3, 2, 0<, 81, 1, 2, 1, 0<<; MatrixForm@aD Apartado a nuc = NullSpace@aD 88 5, 1, 3, 0, 7<, 82, 1, 3, 7, 0<< dos vectores en la base del núcleo Ø dimensión 2 Apartado b f@x_d = a.x 880, 1, 2, 1, 1<, 8 2, 1, 3, 2, 0<, 81, 1, 2, 1, 0<<.x f@81, 2, 1, 0, 3<D 83, 1, 3<

2 2 aplicaciones lineales con mathematica.nb 3, 2, 6, 7, 7<D 80, 0, 0< Apartado c ecuaciones de la imagen x = 8x1, x2, x3, x4, x5< 8x1, x2, x3, x4, x5< y = 8y1, y2, y3< 8y1, y2, y3< y = a.x 8x2+2 x3+x4+x5, 2 x1+x2+3 x3+2 x4, x1+x2 2 x3 x4< dimensión imagen = rango de la matriz de la aplicación MatrixRank@aD 3 la dimensión de la imagen es 3 otra forma: dim esp.vect - dim núcleo = 5-2=3 Sea la aplicación lineal f : U -> V definida por f (a, b, c) = (a + b, b + c, a + c) " (a, b, c) e U Hallar la matriz asociada a la aplicación f Clear@"Global` "D f@8a_, b_, c_<d = 8a+b, b+c, a+c< 8a+b, b+c, a+c< fe1 = f@81, 0, 0<D 81, 0, 1<

3 aplicaciones lineales con mathematica.nb 3 fe2 = f@80, 1, 0<D 81, 1, 0< fe3 = f@80, 0, 1<D 80, 1, 1< Transpose@8fe1, fe2, fe3<d 881, 1, 0<, 80, 1, 1<, 81, 0, 1<< MatrixForm@%D Sea la aplicación lineal f : R 3 R 2 dada por la matriz K O referida a las bases canónicas y sea U = 8H2, 0, 1L, H1, 1, 0L, H0, 0, 2L< una base de R 3 y V = 8H1, 0L, H3, 1L< una base de R 2. Indicar la matriz de la aplicación respecto a las bases U y V. Clear@"Global` "D u1 = 82, 0, 1<; u2 = 81, 1, 0<; u3 = 80, 0, 2<; v1 = 81, 0<; v2 = 83, 1<; mat = 881, 1, 0<, 80, 2, 2<<; y1 = mat.u1 82, 2< Solve@y1 == a v1+ b v2, 8a, b<d 88a 4, b 2<<

4 4 aplicaciones lineales con mathematica.nb y1v = 8 4, 2< 8 4, 2< y2 = mat.u2 80, 2< Solve@y2 == a v1+ b v2, 8a, b<d 88a 6, b 2<< y2v = 86, 2< 86, 2< y3 = mat.u3 80, 4< Solve@y3 == a v1+ b v2, 8a, b<d 88a 12, b 4<< y3v = 8 12, 4< 8 12, 4< matuv = Transpose@8y1v, y2v, y3v<d êê MatrixForm K O Dados los vectores u 1 =(1,-1,0,2,0), u 2 =(0,0,-1,0,1), u 3 =(1,-1,1,1,0) y u 4 =(0,0,m,1,1), discutir su dependencia o independencia lineal en función del parámetro real m Clear@"Global` "D u1 = 81, 1, 0, 2, 0<; u2 = 80, 0, 1, 0, 1<; u3 = 81, 1, 1, 1, 0<; u4 = 80, 0, m, 1, 1<;

5 aplicaciones lineales con mathematica.nb 5 Reduce@a u1+ b u2+c u3+d u4 80, 0, 0, 0, 0<, md Hd 0 && c 0 && b 0 && a 0L»» Hc d && b d && a d && d 0 && m 2L cuando m!=-2 los vectores son linelamente independientes y cuando m=-2 son linealmente dependientes vamos a ver cuál es su dependencia lineal cuando m=-2 u4 = u4 ê. m 2 80, 0, 2, 1, 1< Solve@u1 == a u2+ b u3+c u4, 8a, b, c<d 88a 1, b 1, c 1<< u1 = -u2 + u3 + u4 En el espacio vectorial R 4 hallar una base del subespacio S={(x 1, x 2, x 3, x 4 LeR 4 / x 1 + x 2 = x 3 + x 4 }, calculando también su dimensión Clear@"Global` "D definimos un vector x genérico de R 4 y lo expresamos según la ecuación que cumple por pertenecer al subespacio S x = 8x1, x2, x3, x4<; s = Solve@x1+x2 x3+x4, 8x1, x2, x3, x4<d Solve::svars: Equations may not give solutions for all"solve" variables. à 88x1 x2+x3+x4<< x = x ê. Flatten@sD 8 x2+x3+x4, x2, x3, x4< A partir de esta expresión hallamos un sistema de vectores sacando factor común de los valores x2 x3 y x4 v1 = x ê. 8x2 1, x3 0, x4 0< 8 1, 1, 0, 0<

6 6 aplicaciones lineales con mathematica.nb v2 = x ê. 8x2 0, x3 1, x4 0< 81, 0, 1, 0< v3 = x ê. 8x2 0, x3 0, x4 1< 81, 0, 0, 1< demostramos que el sistema de vectores es libre Solve@a v1+ b v2+c v3 80, 0, 0, 0<, 8a, b, c<d 88a 0, b 0, c 0<< demostramos que el sistema de vectores es generador Solve@a v1+ b v2+c v3 x, 8x1, x2, x3, x4<d Solve::svars: Equations may not give solutions for all"solve" variables. à 88x2 a, x3 b, x4 c<< el sistema de vectores {v1,v2,v3} es libre y generador -> forma base del subespacio S cuya dimensión es 3 En R 4 el vector x en la base U={u 1, u 2, u 3, u 4 }tiene por coordenadas (3,1,2,6). Calcular sus coordenadas en la base V={v 1,v 2,v 3,v 4 } sabiendo que: v 1 =u 1 +u 2, v 2 =-u 1 +2u 4, v 3 =u 2 -u 3, v 4 =2 u 1 -u 2. Clear@"Global` "D Método 1 matriz = 881, 1, 0, 0<, 8 1, 0, 0, 2<, 80, 1, 1, 0<, 82, 1, 0, 0<< 881, 1, 0, 0<, 8 1, 0, 0, 2<, 80, 1, 1, 0<, 82, 1, 0, 0<< matrizcambio = Transpose@matrizD 881, 1, 0, 2<, 81, 0, 1, 1<, 80, 0, 1, 0<, 80, 2, 0, 0<<

7 aplicaciones lineales con mathematica.nb 7 MatrixForm@matrizcambioD aplicamos la fórmula del cambio de coordenadas de un vector al pasar de una base a otra : Paso de la base U a la base V Ø x U = matrizcambio HV,UL x V xu = 83, 1, 2, 6< 83, 1, 2, 6< xv = 8x1, x2, x3, x4< 8x1, x2, x3, x4< s = Solve@xu matrizcambio.xv, xvd 88x1 4, x2 3, x3 2, x4 1<< xv = xv ê. Flatten@sD 84, 3, 2, 1< Método 2 v1 = 81, 1, 0, 0<; v2 = 8 1, 0, 0, 2<; v3 = 80, 1, 1, 0<; v4 = 82, 1, 0, 0<; vector = 8a, b, c, d< 8a, b, c, d< s = Solve@83, 1, 2, 6< a v1+ b v2+c v3+d v4, 8a, b, c, d<d 88a 4, b 3, c 2, d 1<< vector = vector ê. s@@1dd 84, 3, 2, 1<

8 8 aplicaciones lineales con mathematica.nb Sea la aplicación lineal f entre los subespacios U y V definida por: f(u 1 ) = v 1 - v 2 ; f(u 2 ) = v 2 - v 3 ; f(u 3 ) = v 3 - v 4 donde {u 1,u 2,u 3 } es una base de U y {v 1,v 2,v 3,v 4 } es una base de V. Hallar la matriz asociada a la aplicación f y la imagen del vector (1, 1, 2) respecto a la aplicación f@u1d = 81, 1, 0, 0< 81, 1, 0, 0< f@u2d = 80, 1, 1, 0< 80, 1, 1, 0< f@u3d = 80, 0, 1, 1< 80, 0, 1, 1< mat = Transpose@8f@u1D, f@u2d, f@u3d<d 881, 0, 0<, 8 1, 1, 0<, 80, 1, 1<, 80, 0, 1<< mat êê MatrixForm mat.81, 1, 2< 81, 0, 1, 2< Dada la aplicación lineal f:uæv definida por : f(a,b,c)=(a,0,c,0) " (a,b,c) de U a) Hallar la matriz asociada a la aplicación f b) Hallar su núcleo y su dimensión c) Hallar su imagen y su dimensión

9 aplicaciones lineales con mathematica.nb 9 Apartado A f@8a_, b_, c_<d = 8a, 0, c, 0< 8a, 0, c, 0< fe1 = f@81, 0, 0<D 81, 0, 0, 0< fe2 = f@80, 1, 0<D 80, 0, 0, 0< fe3 = f@80, 0, 1<D 80, 0, 1, 0< mat = Transpose@8fe1, fe2, fe3<d 881, 0, 0<, 80, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 0, 0<< MatrixForm@matD Apartado b x = 8x1, x2, x3< 8x1, x2, x3< Solve@f@8x1, x2, x3<d == 80, 0, 0, 0<, 8x1, x2, x3<d Solve::svars: Equations may not give solutions for all"solve" variables. à 88x1 0, x3 0<<

10 10 aplicaciones lineales con mathematica.nb x = x ê. 8x1 > 0, x3 > 0< 80, x2, 0< los vectores del núcleo son de la forma (0,x2,0) v = x ê. 8x2 > 1< 80, 1, 0< dimensión del núcleo 1 otra forma de hallar el núcleo basenuc = NullSpace@matD 880, 1, 0<< Length@basenucD 1 la dimensión del núcleo es 1 -> a partir del vector que forma la base, calculo el núcleo 8x1, x2, x3< = p Flatten@basenucD 80, p, 0< los vectores del núcleo son de la forma (0,p,0) Apartado C Clear@x1, x2, x3d y = 8y1, y2, y3, y4< 8y1, y2, y3, y4< x = 8x1, x2, x3< 8x1, x2, x3<

11 aplicaciones lineales con mathematica.nb 11 y == mat.x 8y1, y2, y3, y4< 8x1, 0, x3, 0< los vectores de la imagen son de la forma (x1,0,x3,0) MatrixRank@matD 2 dimensión de la imagen = 2 otra forma de calcular la dimensión de la imagen Minors@mat, 3D 880<, 80<, 80<, 80<< todos los menores de orden 3 son 0 -> rango (mat) < 3 Minors@mat, 2D 880, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 0<, 80, 0, 0<, 80, 0, 0<, 80, 0, 0<< existe algún menor de orden 2 distinto de 0 Ø rango (mat)=2 Ø dim imag=2 Dadas las aplicaciones siguientes: f : 4 ô 4 / f (x, y, z, t) = ( x - y + y, 2 x + 4 z - t, x + y, x + y - 2 z + t ). g : 3 ô 5 / g (x, y, z) = ( x + 2 y, z, x + y, x + y + z, x + 1 ). l : 4 ô 2 / l (x, y, z, t) = ( x + y, z + t ). h : 4 ô 4 / f (x, y, z, t) = ( x + z + t, y + z + t, - x + z - t, - y - z + t ). 1. Averiguar cuáles de las aplicaciones "f", "g" y "l" son aplicaciones lineales. 2. Calcular las matrices asociadas a las aplicaciones "f" y "l" respecto a las bases canónicas de Hallar la imágen f ( 1, 2, 1, 0), utilizando la matriz asociada a la aplicación lineal y comprobarla directamente. 4. Sea la base B = { ( 1,1, 1, 1), ( 1, 1, 1, 0 ), ( 1, 1, 0, 0 ), ( 1, 0, 0, 0 ) }. Hallar ( f ) U,U y calcular f ( 1, 2, 1, 0 ). 5. Calcular una base de N ( h ) y otra de Im ( h ). La apliacación "h" es un isomorfismo?. 6. Determinar las matrices asociadas a: "3 h", "f + h" y a "l h" Apartado a Clear@"Global` "D

12 12 aplicaciones lineales con mathematica.nb y_, z_, t_d := 8x y+t, 2 x+4 z t, x+y, x+y 2 z+t< g@x_, y_, z_d := 8x+2 y, z, x+y, x+y+z, x+1< l@x_, y_, z_, t_d := 8x+y, z+t< h@x_, y_, z_, t_d := 8x+z+t, y+z+t, x+z t, y z+t< (* Se comprueba si se cumple " a, b œ, " x, y œ 4 la igualdad f (a x + b y ) = a f ( x ) + b f ( y ) *) Expand@f@α x1+β x2, α y1+β y2, α z1+β z2, α t1+β t2dd === Expand@α f@x1, y1, z1, t1d+β f@x2, y2, z2, t2dd True Expand@g@α x1+β x2, α y1+β y2, α z1+β z2, α t1+β t2dd === Expand@α g@x1, y1, z1, t1d+β g@x2, y2, z2, t2dd False Expand@l@α x1+β x2, α y1+β y2, α z1+β z2, α t1+β t2dd === Expand@α l@x1, y1, z1, t1d+β l@x2, y2, z2, t2dd True Expand@h@α x1+β x2, α y1+β y2, α z1+β z2, α t1+β t2dd === Expand@α h@x1, y1, z1, t1d+β h@x2, y2, z2, t2dd True (* Las aplicaciones f, l y h son lineales y la aplicación g no lo es *) Apartado b (* Para calcular ( f ) C,C con C la base canónica de 4, hay que calcular las imágenes de los vectores de la base canónica que ordenados serán las columnas de ( f ) C,C. *) MatfCC = Transpose@8f@1, 0, 0, 0D, f@0, 1, 0, 0D, f@0, 0, 1, 0D, f@0, 0, 0, 1D<D; MatfCC êê MatrixForm

13 aplicaciones lineales con mathematica.nb 13 MatlCC = Transpose@8l@1, 0, 0, 0D, l@0, 1, 0, 0D, l@0, 0, 1, 0D, l@0, 0, 0, 1D<D; MatlCC êê MatrixForm K O MathCC = Transpose@8h@1, 0, 0, 0D, h@0, 1, 0, 0D, h@0, 0, 1, 0D, h@0, 0, 0, 1D<D; MathCC êê MatrixForm Apartado c MatfCC.81, 2, 1, 0< 8 1, 6, 3, 1< f@1, 2, 1, 0D 8 1, 6, 3, 1< MatfCC.81, 2, 1, 0< == f@1, 2, 1, 0D True Apartado d (* Se usa la fórmula siguiente ( f ) U,U = ( C ) U ( f ) C,C ( U ) C donde: ( C ) U es la matriz de cambio de base C respecto a U, ( U ) C es la matriz de cambio de base de U respecto a C. En la matriz ( U ) C aparecen los vectores de la base U ordenados en columnas. Para calcular ( C ) U se aplica la propiedad ( C ) U = ( U ) C -1. *) UC = Transpose@881, 1, 1, 1<, 81, 1, 1, 0<, 81, 1, 0, 0<, 81, 0, 0, 0<<D; UC êê MatrixForm

14 14 aplicaciones lineales con mathematica.nb CU = Inverse@UCD; CU êê MatrixForm CU.MatfCC.UC êê MatrixForm (* Esta última matriz obtenida es ( f ) U,U. Con ella se calculará f ( 1, 2, 1, 0 ) que serán las coordenadas de la imagen del vector ( 1, 2, 1, 0 ) por la aplicación lineal "f" referidas a la base canónica. *) (* Se calculan las coordenadas del vector ( 1, 2, 1, 0 ) en la base U aplicando la definición de base *) Solve@81, 2, 1, 0< a 81, 1, 1, 1<+ b 81, 1, 1, 0<+c 81, 1, 0, 0<+d 81, 0, 0, 0<D 88a 0, b 1, c 1, d 1<< (* Se multiplica f ( 1, 2, 1, 0 ) U = ( f ) U,U ( 1, 2, 1, 0 ) U. *) HCU.MatfCC.UCL.80, 1, 1, 1< 81, 2, 3, 7< (* En el último paso se pasan las coordenadas de f ( 1, 2, 1, 0 ) U = (1, 2, 3, -7) a la base canónica.*) 1 81, 1, 1, 1<+2 81, 1, 1, 0<+3 81, 1, 0, 0< 7 81, 0, 0, 0< 8 1, 6, 3, 1< Apartado e Solve@MathCC.8x, y, z, t< 80, 0, 0, 0<D 88t 0, y 0, z 0, x 0<< (* Luego N ( h ) ={ 0, 0, 0, 0 } = { 0} ï h es INYECTIVA. *) (* Para calcular una base de Im ( h ) se pueden utilizar las columnas de la matriz "MathCC". *)

15 aplicaciones lineales con mathematica.nb 15 êê MatrixForm (* Entonces una base de Im ( h ) es { (1, 0,0,0 ), ( 0,1,0,0 ), ( 0,0,1,0 ), ( 0,0,0,1)}.*) (* dim [ N ( h )] + dim [ Im ( h )] = dim ( 4 ) ï 0 + dim [ Im ( h )] = 4 ï dim [ Im ( h )] = 4 luego Im ( h ) ª 4.*) (* Espacio vectorial origen = Espacio vectorial imagen = 4 "h" es INYECTIVA, luego "h" sies un ISOMORFISMO. *) Apartado f MatfCC + MathCC êê MatrixForm MatlCC.MatfCC êê MatrixForm K O 3 MathCC êê MatrixForm