Espacio de n-uplas. Operaciones. Propiedades. Combinaciones lineales. Interpretación geométrica. Independencia lineal. c Jana Rodriguez Hertz p.
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- Samuel Ortiz de Zárate Naranjo
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1 Espacio de n-uplas Operaciones. Propiedades. Combinaciones lineales. Interpretación geométrica. Independencia lineal. c Jana Rodriguez Hertz p. /4
2 Operaciones con filas Al realizar T.E. lo que hicimos fue operar con las filas A i de una matriz a a 2... a n a 2 a a 2n A = a m a m2... a mn c Jana Rodriguez Hertz p. 2/4
3 Operaciones con filas Al realizar T.E. lo que hicimos fue operar con las filas A i de una matriz a a 2... a n A a 2 a a 2n A = = A 2. a m a m2... a mn A m c Jana Rodriguez Hertz p. 2/4
4 Operaciones con filas donde para cada i =,...,m A i = (a i a i2...a in ) c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
5 Operaciones con filas donde para cada i =,...,m A i = (a i,a i2,...,a in ) c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
6 Operaciones con filas donde para cada i =,...,m A i = (a i,a i2,...,a in ) K n = M n c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
7 Operaciones con filas donde para cada i =,...,m A i = (a i,a i2,...,a in ) K n = M n es decir cada a ij K j =,...n c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
8 Operaciones con filas donde para cada i =,...,m A i = (a i,a i2,...,a in ) K n = M n es decir cada a ij K j =,...n aquí K = R, C, Q, etc c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
9 Operaciones con vectores- Suma Si X = (x,...,x n ) K n Y = (y,...,y n ) K n c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
10 Operaciones con vectores- Suma Si X = (x,...,x n ) K n Y = (y,...,y n ) K n SUMA c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
11 Operaciones con vectores- Suma Si X = (x,...,x n ) K n Y = (y,...,y n ) K n SUMA X + Y := (x + y,...,x n + y n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
12 Operaciones con vectores - Producto Si X = (x,...,x n ) K n α K c Jana Rodriguez Hertz p. 5/4
13 Operaciones con vectores - Producto Si X = (x,...,x n ) K n α K PRODUCTO POR UN NÚMERO c Jana Rodriguez Hertz p. 5/4
14 Operaciones con vectores - Producto Si X = (x,...,x n ) K n α K PRODUCTO POR UN NÚMERO αx := (αx,...,αx n ) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/4
15 Propiedades de la suma Si X, Y y Z K n. CONMUTATIVA: X + Y = Y + X. c Jana Rodriguez Hertz p. 6/4
16 Propiedades de la suma Si X, Y y Z K n. CONMUTATIVA: X + Y = Y + X. ASOCIATIVA: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). c Jana Rodriguez Hertz p. 6/4
17 Propiedades de la suma Si X, Y y Z K n. CONMUTATIVA: X + Y = Y + X. ASOCIATIVA: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). NEUTRO DE LA SUMA: Existe un O K n tal que X + O = O + X = X se satisface para cualquier X K n. c Jana Rodriguez Hertz p. 6/4
18 Propiedades de la suma Si X, Y y Z K n. CONMUTATIVA: X + Y = Y + X. ASOCIATIVA: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). NEUTRO DE LA SUMA: Existe un O K n tal que X + O = O + X = X se satisface para cualquier X K n. EXISTENCIA DE OPUESTO: Para cada X R n existe ( X) R n tal que X + ( X) = O. c Jana Rodriguez Hertz p. 6/4
19 Propiedades del producto Si X, Y K n y α,β K ASOCIATIVA: (αβ)x = α(βx) c Jana Rodriguez Hertz p. 7/4
20 Propiedades del producto Si X, Y K n y α,β K ASOCIATIVA: (αβ)x = α(βx) NEUTRO DEL PRODUCTO Existe K tal que X = X para cada X K n c Jana Rodriguez Hertz p. 7/4
21 Propiedades del producto Si X, Y K n y α,β K ASOCIATIVA: (αβ)x = α(βx) NEUTRO DEL PRODUCTO Existe K tal que para cada X K n X = X DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES: (α + β)x = αx + βx. c Jana Rodriguez Hertz p. 7/4
22 Propiedades del producto Si X, Y K n y α,β K ASOCIATIVA: (αβ)x = α(βx) NEUTRO DEL PRODUCTO Existe K tal que para cada X K n X = X DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE ESCALARES: (α + β)x = αx + βx. DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA DE VECTORES: α(x + Y ) = αx + αy. c Jana Rodriguez Hertz p. 7/4
23 Ecuaciones vectoriales lineales Con estas operaciones el sistema a x + + a j x a n x n = b. (S) a i x + + a ij x a in x n = b i. a m x + + a mj x a mn x n = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 8/4
24 Ecuaciones vectoriales lineales se puede escribir como una ecuación vectorial: x a a x j a j a 2j. + +x n a n a 2n. = b b 2. a m a mj a mn b m c Jana Rodriguez Hertz p. 9/4
25 Ecuaciones vectoriales lineales se puede escribir como una ecuación vectorial: x A + + x j A j + + x n A n = B c Jana Rodriguez Hertz p. 9/4
26 Ejemplo El sistema (S) { x + x 2 =, x x 2 =, queda, en su forma vectorial c Jana Rodriguez Hertz p. 0/4
27 Ejemplo El sistema (S) { x + x 2 =, x x 2 =, queda, en su forma vectorial ( ) ( ) x + x 2 = ( ), c Jana Rodriguez Hertz p. 0/4
28 Ejemplo Sol(S) = {(, 0)} es equivalente a decir que vale: ( ) ( ) ( ) + 0 = c Jana Rodriguez Hertz p. /4
29 Ejemplo Sol(S) = {(, 0)} es equivalente a decir que vale: ( ) ( ) ( ) + 0 = y que (, 0) es la única combinación que hace valer esa ecuación c Jana Rodriguez Hertz p. /4
30 Ejemplo 2 El ejemplo de las clases pasadas, de matriz ampliada (A B) = c Jana Rodriguez Hertz p. 2/4
31 Ejemplo 2 tiene como conjunto solución: ( 2x 2 3x 5 2,x 2, x ) 5 2 +, 2x 5,x 5, con x 2,x 5 R c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
32 Ejemplo 2 esto es equivalente a decir que: 2x 2 3x 5 2 ) +x ( x 5 2 +) (+2x 5 ) x = 0 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
33 Ejemplo 2 y que las únicas tiras (x,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) que verifican x +x x 3 +x x x = 0 3 c Jana Rodriguez Hertz p. 5/4
34 Ejemplo 2 y que las únicas tiras (x,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) que verifican x +x x 3 +x x x = 0 3 son las de la forma ( 2x 2 3x 5 2,x 2, x 5 2 +, 2x 5,x 5,) con x 2,x 5 R c Jana Rodriguez Hertz p. 5/4
35 Ejemplo 2 aquí: 2x 2 3x 5 2 ) +x ( x 5 2 +) (+2x 5 ) x = 0 3 columnas de la matriz (A B) c Jana Rodriguez Hertz p. 6/4
36 Ejemplo 2 aquí 2x 2 3x 5 2 ) +x ( x 5 2 +) (+2x 5 ) x = 0 3 coordenadas del vector X Sol(S) c Jana Rodriguez Hertz p. 7/4
37 Definición Llamamos combinación lineal a la expresión: donde x A + x 2 A x j A j + + x n A n c Jana Rodriguez Hertz p. 8/4
38 Definición Llamamos combinación lineal a la expresión: x A + x 2 A x j A j + + x n A n donde A,...,A n son vectores de K m c Jana Rodriguez Hertz p. 8/4
39 Definición Llamamos combinación lineal a la expresión: x A + x 2 A x j A j + + x n A n donde A,...,A n son vectores de K m x,...,x n son números de K c Jana Rodriguez Hertz p. 8/4
40 Definición Llamamos combinación lineal a la expresión: x A + x 2 A x j A j + + x n A n donde A,...,A n son vectores de K m x,...,x n son números de K (coeficientes de la combinación lineal) c Jana Rodriguez Hertz p. 8/4
41 Definición También decimos B es combinación lineal de los vectores A,...,A n de K m si B = x A + x 2 A x j A j + + x n A n c Jana Rodriguez Hertz p. 9/4
42 Definición También decimos B es combinación lineal de los vectores A,...,A n de K m si B = x A + x 2 A x j A j + + x n A n para algún conjunto de números x,...,x n de K c Jana Rodriguez Hertz p. 9/4
43 Definición También decimos B es combinación lineal de los vectores A,...,A n de K m si B = x A + x 2 A x j A j + + x n A n para algún conjunto de números x,...,x n de K (coeficientes de la combinación lineal) c Jana Rodriguez Hertz p. 9/4
44 Notación - Símbolo de sumatoria: Escribiremos la siguiente expresión B = x A + x 2 A x j A j + + x n A n c Jana Rodriguez Hertz p. 20/4
45 Notación - Símbolo de sumatoria: como B = n x j A j j= c Jana Rodriguez Hertz p. 20/4
46 Ejemplo 3 El vector B = es C.L. de A = 2 y A 2 = 2 2 2? c Jana Rodriguez Hertz p. 2/4
47 Ejemplo 3 es decir, hay x,x 2 K que cumplan: 2 0 x 2 + x 2 2 = 6? 2 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 22/4
48 Ejemplo 3 veamos: x 2x x + 2x 2 2x 2 2x 2 = c Jana Rodriguez Hertz p. 23/4
49 Ejemplo 3 veamos: x + 2x 2 2x 2x 2 x + 2x 2 = c Jana Rodriguez Hertz p. 24/4
50 Ejemplo 3 que equivale al sistema de ecuaciones: x + 2x 2 = 0 (S) 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 25/4
51 Ejemplo 3 escalerizando: x + 2x 2 = 0 (S) 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 = 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 25/4
52 Ejemplo 3 escalerizando: x + 2x 2 = 0 (S) 6x 2 = 6 F 2 2F 0 = 0 F 3 F c Jana Rodriguez Hertz p. 25/4
53 Ejemplo 3 (S) se obtiene: x + 2x 2 = 0 6x 2 = 6 0 = 0 x 2 = c Jana Rodriguez Hertz p. 25/4
54 Ejemplo 3 (S) se obtiene: x + 2x 2 = 0 6x 2 = 6 0 = 0 x 2 = x = 2 c Jana Rodriguez Hertz p. 25/4
55 Ejemplo 3 es decir, ( ) = como fácilmente se puede chequear c Jana Rodriguez Hertz p. 26/4
56 Ejemplo 4 Escribir como C.L. de (0, 6, ) (, 2, ) y (2, 2, 2) c Jana Rodriguez Hertz p. 27/4
57 Ejemplo 4 o sea, buscar x y x 2 K tales que x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, ) c Jana Rodriguez Hertz p. 28/4
58 Ejemplo 4 o sea, buscar x y x 2 K tales que x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, ) igual que en el caso anterior, esto equivale a un sistema c Jana Rodriguez Hertz p. 28/4
59 Ejemplo 4 o sea, buscar x y x 2 K tales que x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, ) igual que en el caso anterior, esto equivale a un sistema x + 2x 2 = 0 (S) 2x 2x 2 = 6 x + 2x 2 = c Jana Rodriguez Hertz p. 28/4
60 Ejemplo 4 o sea, buscar x y x 2 K tales que x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, ) igual que en el caso anterior, escalerizamos x + 2x 2 = 0 (S) 6x 2 = 6 0 = (observar que la matriz de coeficientes es la misma) c Jana Rodriguez Hertz p. 28/4
61 Ejemplo 4 o sea, buscar x y x 2 K tales que x (, 2, ) + x 2 (2, 2, 2) = (0, 6, ) (S) x + 2x 2 = 0 6x 2 = 6 0 = sin embargo el sistema es incompatible c Jana Rodriguez Hertz p. 28/4
62 Ejemplo 4 Es decir que no es C.L. de (0, 6, ) (, 2, ) y (2, 2, 2) c Jana Rodriguez Hertz p. 29/4
63 Conclusión B es una combinación lineal de las columnas de A con coeficientes x,...,x n (x,x 2,...,x n ) es solución del sistema de matriz ampliada (A B) c Jana Rodriguez Hertz p. 30/4
64 Conclusión B es una combinación lineal de las columnas de A con coeficientes x,...,x n (x,x 2,...,x n ) es solución del sistema de matriz ampliada (A B) c Jana Rodriguez Hertz p. 30/4
65 Conclusión el sistema es incompatible c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
66 Conclusión el sistema es incompatible no hay C.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
67 Conclusión el sistema es incompatible no hay C.L. el sistema es compatible determinado c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
68 Conclusión el sistema es incompatible no hay C.L. el sistema es compatible determinado hay una única C.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
69 Conclusión el sistema es incompatible no hay C.L. el sistema es compatible determinado hay una única C.L. el sistema es compatible indeterminado c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
70 Conclusión el sistema es incompatible no hay C.L. el sistema es compatible determinado hay una única C.L. el sistema es compatible indeterminado hay más de una C.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 3/4
71 Ejemplo 5 El problema: Averiguar si el vector ( 4 ) puede escribirse como C.L. de los vectores ( ) ( ) 2 y c Jana Rodriguez Hertz p. 32/4
72 Ejemplo 5 se puede plantear como: Averiguar si existen (x,x 2 ) que verifiquen: ( ) ( ) ( ) 2 x + x 2 = 4 c Jana Rodriguez Hertz p. 33/4
73 Ejemplo 5 que a su vez se transforma en el sistema: (S) { x + 2x 2 = x x 2 = 4 c Jana Rodriguez Hertz p. 34/4
74 Interpretación geométrica c Jana Rodriguez Hertz p. 35/4
75 Interpretación geométrica (2, ) c Jana Rodriguez Hertz p. 36/4
76 Interpretación geométrica (,) (2, ) c Jana Rodriguez Hertz p. 37/4
77 Interpretación geométrica 4 3 (,4) 2 (,) (2, ) c Jana Rodriguez Hertz p. 38/4
78 Interpretación geométrica 4 (,4) 3 (2, ) + 3(,) = (, 4) c Jana Rodriguez Hertz p. 39/4
79 Ejemplo 5 El problema: Escribir O = como C.L. de cualquier conjunto de vectores A,...,A n siempre tiene solución. c Jana Rodriguez Hertz p. 40/4
80 Ejemplo 5 El problema: Escribir O = como C.L. de cualquier conjunto de vectores A,...,A n siempre tiene solución. Efectivamente, 0A + + 0A n = O c Jana Rodriguez Hertz p. 40/4
81 Ejemplo 5 El problema: Escribir O = como C.L. de cualquier conjunto de vectores A,...,A n siempre tiene solución. Efectivamente, 0A + + 0A n = O aunque esta solución podría no ser la única c Jana Rodriguez Hertz p. 40/4
82 Ejemplo 5 esto es equivalente a decir, como ya señalamos, que todo sistema homogéneo es compatible. c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
83 Ejemplo 5 esto es equivalente a decir, como ya señalamos, que todo sistema homogéneo es compatible. sistema con matriz ampliada (A O) c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
84 Ejemplo 5 esto es equivalente a decir, como ya señalamos, que todo sistema homogéneo es compatible. sistema con matriz ampliada (A O) Aunque también puede ocurrir que no haya una solución única (A O) indeterminado c Jana Rodriguez Hertz p. 4/4
85 Independencia lineal Si el sistema x A + x 2 A x n A n = O tiene una única solución, c Jana Rodriguez Hertz p. 42/4
86 Independencia lineal Si el sistema x A + x 2 A x n A n = O tiene una única solución, entonces decimos que los vectores {A,A 2,...,A n } son linealmente independientes c Jana Rodriguez Hertz p. 42/4
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