Matriz tranpuesta Matriz inversa

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María del Rosario Ramos Blázquez
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1 Matriz tranpuesta Matriz inversa Raúl Ures GAL 1 IMERL 14 de marzo de 2013

2 matriz traspuesta matriz traspuesta matriz traspuesta si A M m n (K) matriz m n A = (a ij ) i = 1,..., m j = 1,..., n llamamos matriz traspuesta de A a la matriz n m A t = (a t ji ) j = i,..., n i = 1,..., m con a t ji = a ij A t M n m (K)

3 matriz traspuesta ejemplo ejemplo A = ( ) A t =

4 propiedades de la matriz traspuesta propiedades de la matriz traspuesta propiedades de la matriz traspuesta 1 (A t ) t = A 2 (A + B) t = A t + B t 3 (αa) t = αa t

5 propiedades de la matriz traspuesta demostración demostración 1 A = (a ij ) i = 1,..., m j = 1,..., n A t = (a t ji ) j = i,..., n i = 1,..., m (A t ) t = (a t ji ) i = 1,..., m j = 1,..., n = (a ij ) j = i,..., n i = 1,..., m = (a ij ) i = 1,..., m j = 1,..., n = A

6 propiedades de la matriz traspuesta demostración demostración 2 A = (a ij ) i = 1,..., m j = 1,..., n y B = (b ij ) i = 1,..., m j = 1,..., n A + B = (a ij + b ij ) i = 1,..., m j = 1,..., n (A + B) t = (a t ji + b t ji ) j = i,..., n i = 1,..., m por otro lado A t = (a ji ) j = i,..., n i = 1,..., m A t + B t = (a t ji + b t ji ) j = i,..., n i = 1,..., m y B t = (b ji ) j = i,..., n i = 1,..., m = (A + B) t

7 propiedades de la matriz traspuesta demostración demostración 3 ejercicio

8 trasposición del producto trasposición del producto trasposición del producto A M m k (K) B M k n (K) (AB) t = B t A t

9 trasposición del producto demostración demostración A = (a ir ) i = 1,..., m r = 1,..., k A t = (a ir ) r = 1,..., k i = 1,..., m B = (a rj ) r = 1,..., k B t = (b rj ) j = 1,..., n j = 1,..., n r = 1,..., k ( k ) AB = r=1 a ir b rj i = 1,..., m = (c ij ) = i = 1,..., m j = 1,..., n j = 1,..., n ( k ) (AB) t = (c ij ) j = 1,..., n = r=1 a ir b rj j = 1,..., n i = 1,..., m i = 1,..., m ( k ) B t A t = r=1 b rja ir j = 1,..., n = (AB) t i = 1,..., m

10 inversa de una matriz inversa de una matriz

11 introducción recordar clase pasada definimos 3 operaciones suma entre matrices: A + B producto de un escalar por una matriz: αa producto entre matrices: AB = BA

12 introducción elemento neutro elemento neutro el elemento neutro de cada una de estas operaciones es: suma A + O = A producto por un escalar 1A = A producto entre matrices: I = matriz identidad

13 elementos inversos opuesto opuesto el opuesto de A = (a ij ) es A = ( a ij )

14 elementos inversos inversa respecto del producto inversa respecto del producto A M n (K) matriz cuadrada n n llamamos inversa de A a una matriz A 1 que cumpla: A 1 A = AA 1 = I

15 elementos inversos ejemplo existe la inversa? veamos: ( ) tiene inversa? a b a 0 c d c 0 I a, c

16 elementos inversos observación existe la inversa? aunque A O puede no existir A 1

17 elementos inversos propiedad unicidad de la inversa si A tiene una inversa A 1 la inversa es única

18 elementos inversos demostración demostración supongamos que A 1 1 es una inversa y A 1 2 es otra inversa de A A 1 = A 1 1 I = A 1 1 (AA 1 2 ) = (A 1 A)A 1 2 = IA 1 2 = A 1 2

19 elementos inversos inversa a derecha y a izquierda inversa a derecha y a izquierda B es inversa a derecha de A si AB = I C es inversa a izquierda de A si CA = I

20 elementos inversos propiedad inversas laterales si B es inversa a derecha de A B es inversa de A AB = BA = I lo mismo con la inversa a izquierda

21 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa A = ( ) cómo sabemos si existe A 1? si existe, cómo la calculamos?

22 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa equivale a encontrar los coeficientes tales que x 11 x 12 x 21 x quedan dos sistemas de ecuaciones (S 1 ) { x11 + 3x 21 = 1 2x x 21 = 0 (S 1 ) { x12 + 3x 22 = 0 2x x 22 = 1 misma matriz de coeficientes, distintos términos independientes

23 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa los escalerizamos en simultáneo ( ) F 2 2F 1

24 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa los escalerizamos en simultáneo ( ) F 2 2F 1 podemos despejar directamente, o usar el siguiente truco

25 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa los escalerizamos en simultáneo ( ) x 1

26 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa los escalerizamos en simultáneo ( ) F1 3F

27 cáclulo de la inversa cálculo de la inversa cálculo de la inversa los escalerizamos en simultáneo ( ) F1 3F A 1 = ( ) verificar averiguar por qué el truco da la matriz inversa

28 cáclulo de la inversa otro ejemplo otro ejemplo A =

29 cáclulo de la inversa otro ejemplo planteamos F 2 F 1

30 cáclulo de la inversa otro ejemplo planteamos F 2 F 1 F 3 F 1

31 cáclulo de la inversa otro ejemplo planteamos F 2 F 1 F 3 F 1

32 cáclulo de la inversa otro ejemplo planteamos F 2 F 1 F 3 F 1

33 cáclulo de la inversa otro ejemplo planteamos F 3 + F 2 sistema incompatible no existe A 1

34 más propiedades inversa de la inversa inversa de la inversa A M n (K) si existe la inversa A 1 de A, entonces existe la inversa A( 1 ) 1 de A 1 y (A 1 ) 1 = A

35 más propiedades demostración demostración ejercicio

36 inversa del producto propiedad inversa del producto A, B M n (K) matrices cuadradas si existen A 1 y B 1 entonces existe la inversa del producto AB: (AB) 1 y (AB) 1 = B 1 A 1

37 inversa del producto demostración demostración alcanza con ver que B 1 A 1 es inversa a derecha de AB es decir con probar (AB)B 1 A 1 = I pero (AB)B 1 A 1 = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I

38 inversa del producto inversa de la traspuesta inversa de la traspuesta si A M n (K) es invertible entonces A t también es invertible y (A t ) 1 = (A 1 ) t

39 inversa del producto demostración demostración alcanza ver que (A 1 ) t es inversa a derecha de A t A t (A 1 ) t = (A 1 A) t = I t = I propiedad que vimos hoy: A t B t = (BA) t

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