1. Matrices Introducción (Miguel de Guzmán) 1.2. Matrices: definiciones. 1 - Matrices c rafaselecciones

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1 - Matrices c rafaselecciones Matrices Introducción Miguel de Guzmán Cuando uno trabaja ordenadamente con sistemas de ecuaciones lineales, pronto se percata de que está escribiendo muchas veces los mismos símbolos superfluamente 3x+4y 5z 7 Del sistema 8x +6z 3 la información esencial queda perfectamente expresada así 2x+3y +5z con el consiguiente ahorro de esfuerzo Así es como se introdujo en matemáticas la noción de matriz como una tabla de números Una vez más se pone de manifiesto la potencia y eficacia de la simbolización bien escogida Las matrices se pueden sumar, multiplicar por un número, multiplicar entre sí bajo ciertas condiciones y vienen a resultar como una ampliación de la noción de número, que está llena de sentido y se presta a un gran número de aplicaciones muy interesante, como verás al comienzo de este tema Nuestra cultura está llena de matrices de númerosel horariode los trenes que ves en cada una de nuestras estaciones es una matriz de doble entrada, la tabla de cotizaciones de la Bolsa en cada uno de los días de la semana es otra, en matemáticas, las matrices que aparecen tienen en general una estructura muy rica por tener un sentido muy preciso y muy informativo la suma de dos de ellas, su producto y otras muchas operaciones que con ellas se pueden llevar a cabo Esto ha conducido a un gran desarrollo originado a finales del siglo XIX, del álgebra lineal que ha tenido una intensa repercusión en campos tales como las ecuaciones diferenciales, el análisis funcional, la optimización, y consiguientemente, en muchos aspectos de la economía y de la física actuales Cuando las matrices son de pequeño tamaño, como las que en este tema se presentan, su manejo se puede realizar con papel y lápiz de modo sencillo Pero no es infrecuente, en las aplicaciones prácticas, encontrarse con matrices de miles de filas y columnas El ordenador, que es el lápiz y el papel de la nueva matemática a partir de la segunda mitad del siglo XX, puede tratar tales matrices, y los sistemas de ecuaciones asociados, en pequeñísimas fracciones de segundo, haciendo posible en nuestro tiempo lo que era un sueño hace ochenta años 2 Matrices: definiciones Una matriz es una caja rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas El número de filas y columnas determinan la dimensión de la matriz 2 3 Por ejemplo M es una matriz de 2 filas y 3 columnas o, expresándolo mejor, es una matriz 2 3, o podemos decir que M M 2 3 que representa al conjunto espacio vectorial de todas las matrices 2 3 Una matriz 3 es, por ejemplo, 2 5 6, por eso le llamamos vector-fila o matriz fila

2 2 Una matriz 2 es, por ejemplo, 2 5, y se le llama vector-columna o matriz columna Matriz nula es aquella formada únicamente por ceros En M 2 3 la matriz nula es Se llama matriz opuesta de A a ij a la matriz A a ij a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n En general una matriz A M m n se representa A a ij a m a m2 a m3 a mn donde a ij representa el elemento de la matriz A a ij colocado en la fila i-ésima y columna j-ésima Dos matrices A a ij y B b ij se dice que son iguales si son de la misma dimensión y además a ij b ij para cualesquiera i, j Se llama matriz traspuesta de A M m n a la matriz A t M n m que se obtiene intercambiando en A filas por columnas Por ejemplo, si A A t Se llama diagonal principal a los elementos a a 22 a 33 Tienen especial importancia las matrices de M n n, es decir las llamadas matrices cuadradas, pues tienen el mismo número de filas que de columnas Dentro de las cuadradas distinguimos: Matriz diagonal: Aquella que salvo la diagonal principal sus términos son todos nulos Un ejemplo de matriz diagonal en M 3 3 es Matriz identidad o unidad: Matriz diagonal con en todos los términos de su diagonal pricipal En M 2 2 es I 2 En M 3 3 es I Matriz triangular: La que tiene nulos todos los términos bajo la diagonal principal Matriz simétrica: Se llama así a la que tiene iguales los términos que ocupan posiciones simétricas respecto a la diagonal principal, es decir, siempre a ij a ji para cualesquiera i, j Matriz antisimétrica: Se llama a la que tiene opuestos los términos que ocupan posiciones simétricas respecto a la diagonal principal, es decir, siempre a ij a ji para cualesquiera i, j Ejemplo de matriz simétrica es y de antisimétrica

3 - Matrices 3 3 Suma de matrices Si A a ij y B b ij son matrices de M m n, se define de forma natural la matriz suma A+B a ij +b ij a ij +b ij Nota: Obviamente las matrices solo se pueden sumar si son de la misma dimensión Así que sumamos término a término: Producto de un número por una matriz Si r es un número y A a ij una matriz de M m n, se define de forma natural la matriz producto r A ra ra ij ra ij El número multiplica a todos los términos de la matriz: Reflexión: Si te das cuenta, las operaciones descritas son exactamente las mismas que tenemos en R 3 por lo que este es completamente isomorfo pregunta a tu profesor a M 3 o a M 3 Más aún, M 2 3, por ejemplo, es completamente equivalente como espacio vectorial a R 6 5 Producto de matrices El producto de matrices es, aparentemente, muy peculiar Es una especie de generalización del producto escalar de vectores y es caprichoso en cuanto a las dimensiones Definimos el producto de una matriz-fila n por una matriz-columna n como el número: por ejemplo: a a 2 a 3 a n b b 2 b 3 b n a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 + +a n b n En general, dadas A a ij M m n y B b ij M n k definimos la matriz A B c ij M m k como aquella en que el elemento c ij es el producto de la fila i de A por la columna j de B

4 4 c ij a i a i2 a i3 a in b j b 2j b 3j a i b j +a i2 b 2j +a i3 b 3j + +a in b nj b nj y atención: las n columnas de A deben igualar a las n filas de B, siendo el resultado m k por ejemplo: c c 2 c 3 c 4 c 2 c 22 c 23 c A M 2 3 B M 3 4 A B M 2 4 Nota I: Al final del capítulo tienes dos preciosas aplicaciones prácticas del producto de matrices a situaciones de la vida real Nota II: SisetrabajaconmatricescuadradasdeM n n elproductosíesunaoperacióncerrada pueslas dimensiones serán siempre n n En álgebra superior se dice que M n n es, además de espacio vectorial, un anillo cuyo neutro es la matriz unidad Puedes comprobar fácilmente para cualquier m M 3 3 que I 3 es neutro: I 3 M a b c d e f g h i a b c d e f g h i M y que M I 3 M Nota III: Se cumplen la propiedad asociativa A B C A B C y la propiedad distributiva A B+C A B+A C y lo puedes probar de forma elemental, por ejemplo en M 2 2 Pero, atención!, el producto de matrices no es conmutativo En general A B B A Puedes comprobarlo tú con Matriz inversa DadaAmatrizcuadrada,sellamamatrizinversadeA,siexiste,alamatrizA quecumple Comprueba que la matriz inversa de A es la matriz B si A y B { A A I A A I Para saber si una matriz tiene inversa y calcularla, se necesita una nueva herramienta que veremos en el próximo capítulo: el determinante

5 - Matrices 5 7 Rango de una matriz Dada A a ij a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Con A llamaremos A,A 2,A 3, A m a cada uno de los vectores-fila A i a i,a i2,,a in y llamaremos A,A 2,,A n a cada uno de sus vectores-columna A j A,2,3 A 2 4,5,6 A y la matriz la podemos considerar formada por filas A 4 A A 2 A A 3 a j a 2j a mj 3 6 o por columnas A A A 2 A 3 Se define entonces el rango por filas de A como el rango de {A,A 2,A 3, A m }, es decir, como el mayor número de vectores-fila linealmente independientes de A, y el rango por columnas el rango de { A,A 2,A 3, A n}, es decir, como el mayor número de vectores-columna de A que son LI Si a la matriz anterior, por ejemplo, le calculamos ambos rangos: rango por filas rango por columnas vemos que ambos rangos son el mismo número Esto ocurre siempre Este importantísimo resultado, ambos rangos son el mismo número, llamado rango de la matriz A, lo ilustraremos en un apéndice al final del capítulo

6 6 8 Dos ejemplos de aplicación del producto de matricesmiguel de Guzmán Ejemplo : Los consumos anuales de cuatro familias α, β, γ y δ en pan, carne y mantequilla vienen dados en la matriz A Los precios por kilo de esos mismos productos en los años 200, 2002, 2003, 2004 y 2005 vienen en la matriz B La matriz A B nos da el gasto total en esos productos de cada familia en cada año: A M 4 3 α β γ δ pan carne mant B M 3 5 pan carne mant ,8 0,87 0,95,05 7,70 7 7,50 8 8,60 8,40 9, ,50 C A B M 4 5 α β γ δ , ,85 738,40 543,60 reflexiona mientras completas el producto de las dos matrices y comprendes que el producto de la matriz de consumos por la matriz de precios nos da la matriz de gastos de cada familia en cada año Ejemplo 2: Mediante los grafos que ves se dan los vuelos del país A al país B y los del país B al país C, especificando los aeropuertos de salida y llegada Estas posibilidades se describen mediante las matrices M matriz de los vuelos entre A y B y N matriz de los vuelos entre B y C A B C A B B 2 C A 2 B 3 C 2 A 3 B 4

7 - Matrices 7 M A A 2 A 3 B B 2 B 3 B N B B 2 B 3 B 4 C C Observa cómo las matrices M y N cuentan los vuelos considerados Veamos que el número de combinaciones que hay saliendo de cada aeropuerto de A y llegando a cada uno de C, haciendo escala en un aeropuerto de B, se obtiene mediante el producto M N Por ejemplo, para ir de A a C se puede hacer pasando por B de 3 3 formas distintas; pasando por B 2, 0 no hay vuelo de A a B 2 ; pasando por B 3, de 2 2 formas distintas; y pasando por B 4, de 0 formas; total: Observa lo que se ha hecho para multiplicar la primera fila de M por la primera columna de N A B B 2 B C B 4 y así se obtiene: M N el 0 de la matriz producto, por ejemplo, significa que no se puede ir de A 3 a C por ningún camino 9 Ilustración-demostración de por qué el rango por filas y el rango por columnas son el mismo número

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