Simetría en química. Laura Gasque

Transcripción

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2 Simetría en química Laura Gasque

3 Laura Gasque

4 Bibliografía básica Primeras tres o cuatro clases: Unidad I y II del curso de Cálculo II Cotton F.A. Chemical Applications of Group Theory 3ª Ed. John Wiley & Sons, ( NO USAR VERSIÓN EN ESPAÑOL) Harris, D.C and Bertolucci, M.D. Symmetry and spectroscopy. Dover Publications, (13 USD en Amazon) Laura Gasque

5 Evaluaciones Tareas? Simetría en Química I Primer parcial: a casa dentro de 4 semanas Segundo parcial - final: Una parte a casa y otra en vivo, dentro de 8 semanas Simetría en Química II 50% Problema individual oral y escrito 50% Examen Final Laura Gasque

6 Por qué es relevante este curso? Nos va a ayudar a conocer algunas propiedades muy importantes de las soluciones de la Ecuación de Schroedinger: * elect : Orbitales atómicos, Orbitales moleculares, Términos espectroscópicos, predicción de transiciones electrónicas, en el espectro UV-vis) * nucl : Funciones de onda vibracionales (Modos normales de vibración) Transiciones vibracionales (IR y Raman) Laura Gasque

7 La solución de la ecuación de Schroedinger* para cualquier molécula.... debe ser base de alguna representación irreducible del grupo puntual al que pertenece la molécula * elect, nucl, tot Poner mucha atención en el LENGUAJE!! Laura Gasque

8 Empezaremos por el Álgebra lineal porque: Las soluciones de una ecuación diferencial, como la ecuación de Schroedinger, son base de algún espacio vectorial. Las operaciones de simetría son transformaciones lineales de R 3 R 3. El concepto de representación irreducible une al Algebra Lineal con la Teoría de Grupos, ayudándonos a conocer cualitativamente a las funciones de onda. Laura Gasque

9 Conceptos que tenemos que recordar: Espacios vectoriales Subespacios Bases Dependencia e independencia lineal PURO REPASO Súper rápido Matrices Con su extraña multiplicación Laura Gasque

10 ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una operación binaria ( suma ) definida entre ellos y un producto escalar definido entre uno de sus elementos y un elemento de un Campo K (por. ej. los números reales), tal que: Para la operación binaria, V V V se cumple: Conmutatividad Asociatividad Existencia del elemento neutro para esa operación Existencia de los inversos para todos los elementos Para el producto escalar K x V V se cumple: Asociatividad a (b u) = (a b) u Existencia del neutro para el producto escalar Distributividad del producto escalar sobre la suma vectorial (escribirlo) Distributividad de la suma escalar sobre el producto escalar (escribirlo) Laura Gasque

11 Ejemplos muy conocidos Los vectores en R 2 (parejas ordenadas de números reales) R 2 = (a,b) a,b R Los vectores en R 3 (ternas ordenadas de números reales) R 3 = (a,b,c) a,b,c R i.e. las flechas de la física Laura Gasque

12 Otros ejemplos más interesantes Las funciones (continuas en un intervalo): f C (a,b) La suma entre ellas... La multiplicación de ellas por números reales... Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial? Revisen la definición... ESPACIO VECTORIAL (V) = Un conjunto de objetos con una o... Laura Gasque

13 Subespacios Vectoriales Definición: Un subconjunto U de un espacio vectorial V es un subespacio de V si él mismo es un espacio vectorial. Criterio del subespacio (teorema) Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y bajo el producto escalar. Laura Gasque

14 Son espacios vectoriales los siguientes conjuntos de vectores en R 2? V 1 = (0,0), (1,1),(2,2), (3,3) V 2 = (a,a) a R V 3 = (a,2a) a R V 4 = (a, a+1) a R podemos hacer una generalización geométrica? Laura Gasque

15 P = el conjunto de todos los polinomios: P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 1 x + a o Ejemplos con funciones Son funciones continuas? Cumplen con las propiedades de la definición de Espacio Vectorial? Este conjunto (P) satisface el criterio del subespacio? Cumple con el criterio del subespacio? Un subconjunto de V es un E.V. si es cerrado bajo la suma vectorial y bajo el producto escalar. Otro ejemplo P 3 = P(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o a R P 3 P C (a,b) Laura Gasque

16 Más ejemplos de subespacios de funciones f(x) = sen x; g(x) = cos x f: R R g: R R T = a senx + b cosx a, b R Cumple con el criterio del subespacio? f(x) = sen x; p(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n ax +a 0 f: R R g: R R TP = a senx + b p(x) a, b R Cumple con el criterio del subespacio? Laura Gasque

17 Dependencia e independencia lineal Laura Gasque

18 Dependencia lineal Lenguaje formal: Un conjunto de n vectores v i es linealmente DEPENDIENTE si existe un conjunto de a i (distinto de a i =0 i) tal que a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v a n v n = 0 Lenguaje común: Un conjunto de vectores es linealmente DEPENDIENTE, si cualquiera de ellos puede expresarse como una combinación lineal de los demás. Laura Gasque

19 Independencia lineal Lenguaje formal: Un conjunto de vectores v i es linealmente independiente si la única posibilidad de que a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 3 v a n v n = 0 es que a i = 0 i Lenguaje común: Un conjunto de vectores v i es linealmente independiente si no es posible expresar a cualquiera de ellos como combinación lineal de los demás. Laura Gasque

20 Ejemplos (relevantes) de dependencia e independencia lineal con vectores en C Sean 1, 2, y 3 funciones C 1 = = Sean 1, 2, y 3 funciones C 1 = = = y 3 son l.d. ó l.i.? 3 = y 3 son l.d. ó l.i.? Tarea? Laura Gasque

21 Tarea... Laura Gasque

22 Base de un espacio vectorial: Definición: Un subconjunto S V es una base de V si: Es linealmente independiente Genera a todo el espacio vectorial Laura Gasque

23 Ejemplos en R n R 3 = (a,b,c) a,b,c R Base canónica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) qué otra? Probar que (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) es una base para R 3 Tarea? Laura Gasque

24 Anti-ejemplos para bases en R 3 Por qué (1,0,0), (0, 2, 0) no es una base de R 3 Por qué (1,1,1), (2,1,0) (0,-1,-2) no es una base de R 3 Tarea? Laura Gasque

25 Ejemplos de bases en un espacio de funciones Series de Taylor (combinaciones lineales de polinomios) Series de Fourier (combinaciones lineales de senos y cosenos) Laura Gasque

26 Ortogonalidad de vectores Laura Gasque

27 Producto interior o producto escalar: Definición Es una operación binaria entre vectores cuyo producto es un escalar, que debe cumplir las siguientes propiedades: u v = v u v, u V u (v+w) = (u v) + (u w) v, u, w V u v = (u v) = u v v, u V, K u u 0 v V, u u = 0 si y solo si u= 0. Laura Gasque

28 Producto escalar para vectores en R n Ya se lo saben Es fácil ver que cumple con las propiedades Laura Gasque

29 Producto escalar para funciones Sean f y g funciones continuas de R n R n f g = a b fg dx Cumple con las propiedades? Laura Gasque

30 Definición de ortogonalidad Dos vectores son ortogonales si u v = 0 Tarea: Traer un ejemplo de dos funciones ortogonales Laura Gasque