Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal.

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1 Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@ugto.mx En estas notas, se presentan algunos de los conceptos mas importantes para el análisis de transformaciones lineales. 1 Espacio Nulo de una Transformación Lineal. En esta sección definiremos el espacio nulo, también conocido como kernel o núcleo de una transformación lineal. Definición del espacio nulo de una transformación lineal. Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K. El espacio nulo de la transformación lineal, T, denotada N T o ker(t), se define como N T V, tal que N T = { v V T( v) = 0 V } En simples palabras, el espacio nulo de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores de V cuya imagen es el vector 0 V. Teorema. El espacio nulo de la transformación lineal, T, es un subespacio de V. Prueba: Es suficiente probar que el espacio nulo es un subconjunto cerrado respecto a la adición y a la multiplicación por escalar. Suponga que v 1, v 2 N T y λ K, entonces 1. Cerrado respecto a la adición. Considere T( v 1 + v 2 ) = T( v 1 )+T( v 2 ) = 0+ 0 = 0 v 1 + v 2 N T, y el espacio nulo está cerrado respecto a la adición. 2. Cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Considere T(λ v 1 ) = λt( v 1 ) = λ 0 = 0. λ v 1 N T, y el espacio nulo está cerrado respecto a la multiplicación por escalar. N T V. Definición de la Nulidad de una Transformación Lineal. La dimensión del espacio nulo de una transformación lineal T, se denomina la nulidad de T y se denota por ν(t). 1

2 Figure 1: Representación Gráfica del Espacio Nulo y Rango de una Transformación Lineal. Debemos recordar que aplicando la definición del rango de una trasformación, función o mapeo a una transformación lineal T,que se denomina R T, se tiene que R T = { v V T( v) = v para algún v V}. Teorema. El rango de una transformación lineal T, R T, es un subespacio de V. Prueba: Nuevamente es suficiente probar que el conjunto está cerrado respecto a la adición y a la multiplicación por escalar. Suponga que v 1, v 2 R T y λ K, entonces 1. Cerrado respecto a la adición. Puesto que v 1, v 2 R T existen v 1, v 2 V tales que T( v 1 ) = v 1 y T( v 2 ) = v 2 Puesto que V es un espacio vectorial, v 1 + v 2 V y T( v 1 + v 2 ) = T( v 1 )+T( v 2 ) = v 1 + v 2., v 1 + v 2 R T y R T está cerrado respecto a adición. 2. Cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Puesto que V es un espacio vectorial, λ v 1 V y T(λ v 1 ) = λt( v 1 ) = λ v 1., λ v 1 R T y R T está cerrado respecto a la multiplicación por escalar. Definición del Rango de una Transformación Lineal. La dimensión del rango de una transformación lineal T, se denomina la rango de T y se denota por ρ(t). Teorema. Una transformación lineal T : V V es inyectiva si, y sólo si, N T es exclusivamente el vector { 0}. Prueba: Suponga que T es inyectiva, entonces T( v 1 ) = T( v 2 ) implica que v 1 = v 2. Sea v N T arbitrario, entonces T( v) = 0 puesto que T( 0) = 0, se tiene que T( v) = T( 0) por lo tanto v = 0 2

3 Se concluye pues, que N T = { 0}. Suponga que N T = { 0} entonces si T( v 1 ) = T( v 2 ) T( v 1 v 2 ) = 0., v 1 v 2 N T, pero puesto que N T = { 0} entonces y la transformación lineal es inyectiva. v 1 v 2 = 0 v 1 = v 2 Teorema. Sea T : V V una transformación lineal inyectiva, entonces si { v 1, v 2,..., v n } es linealmente independiente entonces {T( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es linealmente independiente. En otras palabras, una transformación lineal inyectiva preserva la independencia lineal de los subconjuntos. Prueba: Considere la combinación lineal 0 = λ 1 T( v 1 )+λ 2 T( v 2 )+...+λ n T( v n ) = T(λ 1 v 1 +λ 2 v λ n v n ). λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n N T = { 0}, sin embargo, si { v 1, v 2,..., v n } es linealmente independiente, la única solución posible es la trivial, λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. el conjunto {T( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es linealmente independiente. Corolario. Sea T : V V una transformación lineal inyectiva, entonces si B = { v 1, v 2,..., v n } es una base de V, entonces, T(B) = {T( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es una base de R T. Prueba: Por el teorema anterior T(B) = {T( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es linealmente independiente, por lo tanto, es suficiente probar que T(B) genera a R T. Sea v V un elemento arbitrario del rango de T, entonces, recordando que Entonces R T = { v V T( v) = v para algún v V}. v = T( v) = T(λ 1 v 1 +λ 2 v 2 + +λ n v n ) = λ 1 T( v 1 )+λ 2 T( v 2 )+ +λ n T( v n ). T(B) genera a R T y T(B) es una base para R T. Corolario. Sea T : V V una transformación lineal inyectiva, entonces ρ(t) = dim(r T ) = dim(v). Prueba: Por el corolario anterior T(B) = {T( v 1 ),T( v 2 ),...,T( v n )} es una base de R T, entonces ρ(t) = dim(r T ) = dim(v). Teorema. Sea T una transformación lineal de un espacio vectorial finito dimensional V sobre otro espacio vectorial V, ambos definidos sobre un campo K. Sea { v 1, v 2,..., v q } una base para el espacio nulo de T y { v 1, v 2,..., v q, v q+1,..., v n } sea una base de V. Entonces {T( v q+1 ),...,T( v n )} es una base para R T. Prueba: Por las suposiciones del teorema, ν(t) = q, si q = 0, entonces T es inyectiva y este teorema se reduce al primero de los dos corolarios anteriores. Suponga, pues, que q 1, que { v 1, v 2,..., v q } es 3

4 una base para el espacio nulo de T y que { v 1, v 2,..., v q, v q+1,..., v n } es una base de V. Sea v V arbitrario, entonces T( v) es un elemento arbitrario del R T dado por T( v) = T(λ 1 v 1 +λ 2 v 2 + +λ q v q +λ q+1 v q+1 + +λ n v n ) = λ 1 T( v 1 )+λ 2 T( v 2 )+ +λ q T( v q )+λ q+1 T( v q+1 )+ +λ n T( v n ) = λ q+1 T( v q+1 )+ +λ n T( v n ). {T( v q+1 ),...,T( v n )} genera R T, mostraremos ahora que este conjunto es linealmente independiente. Suponga, por contradicción, que existen escalares λ q+1,...,λ n no todos iguales que 0, tal que 0 = λ q+1 T( v q+1 )+ +λ n T( v n ) = T(λ q+1 v q+1 + +λ n v n ) λ q+1 v q+1 + +λ n v n N T. De aquí que λ q+1 v q λ n v n = λ 1 v 1 +λ 2 v λ q v q λ 1 v 1 +λ 2 v λ q v q λ q+1 v q+1... λ n v n = 0., { v 1, v 2,..., v q, v q+1,, v n } es linealmente dependiente y no puede ser una base para V, una contradicción de las suposiciones iniciales. Corolario. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional y T una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V. Entonces ρ(t)+ν(t) = dimv Prueba: Por el teorema anterior n = dimv, q = ν(t) y n q = ρ(t) por lo tanto dimv = n = q +(n q) = ν(t)+ρ(t). A partir de estos resultados, es posible obtener algunos resultados respecto a transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dimv > dimv, entonces T no puede ser sobreyectiva. Prueba: Si T es sobreyectiva ρ(t) = dimv y ν(t) 0, entonces dimv = ν(t)+ρ(t) o ρ(t) = dimv ν(t) dimv = ρ(t) = dimv ν(t) o dimv dimv Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dimv > dimv, entonces T no puede ser inyectiva. Prueba: T es inyectiva si y sólo si ν(t) = 0, además ρ(t) = dimr T dimv entonces dimv = ν(t)+ρ(t) = 0+ρ(T) = ρ(t) dimv dimv dimv Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dimv dimv, entonces T no puede ser biyectiva. Prueba: Si dimv > dimv, entonces T no puede ser inyectiva. Si dimv < dimv entonces T no puede ser sobreyectiva. Teorema. Sea T : V V una transformación lineal tal que dimv = dimv, entonces: 4

5 1. Si T es inyectiva, entonces T es biyectiva. 2. Si T es sobreyectiva, entonces T es biyectiva. Prueba: Suponga que T : V V es inyectiva, entonces ν(t) = 0, por lo tanto dimv = dimv = ν(t)+ρ(t) = 0+ρ(T) = ρ(t). R T = V y T es sobreyectiva. Suponga que T : V V es sobreyectiva, entonces ρ(t) = V, por lo tanto ρ(t) = dimv, de aquí que dimv = ν(t)+ρ(t) = ν(t)+dimv. y T es inyectiva. ν(t) = dimv dimv = 0 Figure 2: Representación Gráfica de una Transformación Compuesta. Teorema. Sean S : V V y T : V V dos transformaciones lineales tales que la composición TS : V V está definida, entonces ρ(ts)+dim(r S N T ) = ρ(s). Prueba. Sea T la restricción de la transformación lineal T sobre el rango de S, es decir T : R S < V V T ( v ) = T( v ) v R S Puede probarse que T es una transformación lineal. Entonces, aplicando el teorema anterior a la transformación lineal T, se tiene que ρ(t )+ν(t ) = dim(r S ) = ρ(s). Puede probarse que R T = R TS por lo que ρ(t ) = ρ(ts) De manera semejante, el espacio nulo de T está definido por N T = { v v R S, v N T } = R S N T, se tiene que ρ(ts)+dim(r S N T ) = ρ(s). 5

6 2 Ejercicios. Problema 1. Para cada una de las siguientes transformaciones, T, pruebe que son lineales, y determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal. 1. T : R 2 R 2 T(x 1,x 2 ) = (x 1 +x 2, x 2 ) 2. T : R 2 R 2 T(x 1,x 2 ) = (x 1,0) 3. T : R 3 R 3 T(x 1,x 2,x 3 ) = (x 2 x 3,2x 1 +x 2,0). 4. T : R 3 R T(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 x 2 +2x 3 ). 5. T : R 2 R 3 T(x 1,x 2 ) = (x 1,x 2,x 1 +x 2 ). 6. T : R 3 R 2 T(x 1,x 2,x 3 ) = (x 3,x 1 +x 2 ). Problema 2. Para cada una de las siguientes transformaciones, T, pruebe que son lineales, y determine el espacio nulo y rango de la transformación lineal. 1. T : P 3 R 4 T(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 ) = (a 0 a 1,a 2,a 3,0) [ ] 2. T : R 4 M 2 2 a T(a 1,a 2,a 3,a 4 ) = 1 a 1 +a 2 a 2 +a 3 a 1 +a 4 6