Transformaciones lineales

Transcripción

1 - Si y son espacios vectoriales de una función T : recibe el nombre de transformación. Los espacios y se llaman, respectivamente, dominio y codominio de la transformación. 2- Sea T : una transformación: i)se llama recorrido de T al conjunto T( ) T( v) v ii)se llama núcleo de T al conjunto N( T) v T( v) 0 3- Sean y dos espacios vectoriales sobre un campo K. Una transformación T : es lineal si v, v2 y K : T( v v ) T( v ) T( v ) i) 2 2 ii) T( v) T( v) 4- Si T : es una transformación lineal entonces T(0 ) 0 5- Si T : es una transformación lineal, entonces: i)t() es un subespacio de ii)n(t)es un subespacio de 6- Sea T : una transformación lineal. Si v, v2,..., vn entonces el conjunto ( ), ( ),..., ( ) G T v T v2 T v n es una base de, es un generados de T( ). /rrch/202

2 7- Si es un espacio de dimensión finita y T : es una transformación lineal, entonces dim=dimt()+dimn(t) 8- Sean y espacios vectoriales con dim=n y dim=m; y sean v v v w, w2,..., wm bases de y, respectivamente., 2,..., n y Si T : es una transformación lineal, existe una y solo una matriz M ( T ), de mxn, tal que 2 M ( T) ( v) T( v ) v v Las n columnas de dicha matriz son los vectores T ( v ), T ( v ),..., T( v ) 9-2 n Si es un espacio vectorial de dimensión n, entonces la matriz asociada a la trasformación identidad I, referida a cualquier base de, es la matriz identidad I n 0- Sea T : una transformación lineal y sean, dos bases de y, respectivamente; entonces: R M ( T) dim T( ) - Sean S y T dos transformaciones de en. Se dice que S y T son iguales, lo cual se denota mediante S=T, cuando S( v) T( v), v /rrch/202

3 2- Sean S y T dos transformaciones de y y sea K el campo sobre el cual esta definido el espacio : i)la suma de S y T es una transformación de en, denotada con S+T y definida por ( S T)( v) S( v) T( v) ; v ii)el producto de un escalar K por la transformación S es una transformación de en, denota con S y definida por ( S)( v) S( v) ; v 3- Si S y T son transformaciones lineales, entonces S+T y S también son lineales 4- Sean y dos espacios vectoriales sobre un campo K, y sea L(,) el conjunto de todas las transformaciones lineales de en. El conjunto L(,) es un espacio vectorial sobre K. 5- Sean y dos espacios vectoriales sobre un campo K, con dim =m y dim =n, y sea L(,) el conjunto de todas las transformaciones lineales de en, Si y son bases de y respectivamente; entonces S, T L(, ) y K; i) M ( S T) M ( S) M ( T) ii) M ( S) M ( S) 6- Si T : y S : son dos transformaciones, SoT es una transformación de U en definida por ( SoT )( u) S T( u) ; u U 7- Si T : U y S : son transformaciones lineales, entonces SoT es una transformación lineal. 8- /rrch/202

4 Si T : U y S : son transformaciones lineales y,, C son bases de U, y respectivamente, entonces M ( SoT ) M ( S) M ( T) 9- C C Sean U,, y X espacios vectoriales sobre un campo K; y F, G, H, S, T transformaciones lineales cualesquiera entre los espacios que se indica F : U G : U H : X S : T : Entonces: i)so(f+g)=sof+sog ii)(s+t)of=sof+tof iii) ( SoF ) ( S) of So( F), K iv)ho(sof)=(hos)of v) ToI T, I ot T donde I e I respectivamente. son las transformaciones identidad en los espacios y 20- Si T : es una transformación, se llama inversa de T a una transformación T : i) T ot I ii) ToT I tal que donde I e I son las transformaciones identidad en y en respectivamente. /rrch/202

5 2- Sea T : una transformación, se dice que i)t es uno a uno si T( v ) T( v2) v v2; v, v2 ii)t es sobre si T()= iii)t es biyectiva si es uno a uno y es sobre 22- Sea T : una transformación. T existe si y solo si T es biyectiva. 22- Si F : U y T : son dos transformaciones biyectivas, y es un escalar del campo sobre el que están definidos y entonces: i) T es única ii) ( T ) iii) ( ToF) T F ot iv) ( T ) T, si Sean T : una transformación lineal. Si transformación lineal. 24- T existe entonces es una Sean un espacio de dimensión finita y T : una transformación lineal. existe si y solo si dim = dim y NT ( ) (0 ) 25- Sean T : una transformación lineal, un espacio en dimensión finita y, bases de y respectivamente: i) T existe si y solo si M ( T ) no es singular T ii)si T existe, entonces M ( T ) M ( T) /rrch/202