Resumen 2: Espacios vectoriales

Transcripción

1 Resumen 2: Espacios vectoriales 1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial V sobre K, un cuerpo, está formado por elementos denominados vectores, los cuales pueden sumarse internamente y también multiplicarse por escalares del cuerpo K (obteniendo de esta multiplicación de nuevo vectores). De hecho para que se denomine espacio vectorial tienen que cumplirse todos los axiomas correspondientes: por un lado los de grupo abeliano para V con la suma +, y además las propiedades pseudodistributivas, pseudoasociativa y pseudoelemento neutro. Así los v V son vectores; ylosλ K son escalares. Propiedad: λv =0si y sólo si λ =0ó v =0. Ejemplos: 1. Sea K = R el cuerpo de los números reales y consideremos el conjunto V = R 2 = {(x, y) :x, y R} Se define la suma interna + y la multiplicación externa en V coordenada a coordenada: Dados u = (x, y), v =(z, t) V definimos u + v = (x, y)+(z,t) =(x + z,y + t) Dados u = (x, y) V y λ R definimos λ u = λ (x, y) =(λ x, λ y). R 2, con estas operaciones anteriormente definidas, es un R-espacio vectorial. El vector cero es (0, 0). Igual con (R 3, +, ), (R 4, +, )..., (R n, +, ) 2. Consideremos V = P 2 [R], el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales, es decir, V = {ax 2 + bx + c : a, b, c R} Definimos una suma interna + y una multiplicación por escalares del siguiente modo: Dados ax 2 + bx + c, dx 2 + ex + f V definimos (ax 2 + bx + c)+(dx 2 + ex + f) =(a + d)x 2 +(b + e)x +(c + f) y dados ax 2 + bx + c V y λ R definimos 1

2 λ (ax 2 + bx + c) =λax 2 + λbx + λc En definitiva se define la suma y la multiplicación en cada coeficiente. P 2 [R], con estas operaciones anteriormente definidas, es un R-espacio vectorial. En este espacio vectorial el vector nulo es el polinomio 0=0+0x +0x 2 De modo análogo se definen P 3 [R], P 4 [R]..., P n [R]. 2 Subespacios vectoriales Definición: W V si: 1. Para todo par de vectores u, v W se tiene que u + v W ;y 2. Para todo vector u W y todo escalar λ K se tiene que λu W. O equivalentemente si: 3. (Caracterización de subespacio) Dado un subconjunto W de V, se tiene que W es un subespacio de V si y sólo si para cada par de vectores u, v W y cada par de escalares λ, μ K, setienequeλu + μv W. Propiedades: 1. Si W V.Entonces0 W. 2. Si W V,entonces(W, +, ) (con las operaciones suma y multiplicación externa heredadas de V ) es un espacio vectorial. Asociados a un espacio vectorial V siempre aparecen al menos el subespacio total V y el subespacio nulo {0}. 3 Sistemas de vectores Un sistema de vectores de un espacio vectorial V es una colección (finita)devectoresv 1,v 2,..., v n de V 2

3 3.1 Combinaciones lineales. Subespacio generado. Sistema generador v es CL de los vectores v 1,v 2,..., v n si v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n para algunos λ 1, λ 2,...λ n K. El vector nulo es siempre CL de cualquier sistema de vectores. <v 1,v 2,..., v n >= {λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n : λ 1, λ 2,...λ n K} es el subespacio generado por los vectores v 1,v 2,..., v n. Se dice que el sistema {v 1,v 2,..., v n } es un SG de V si V =< v 1,v 2,..., v n > (si todo vector de V es CL de los vectores v 1,v 2,..., v n ). Si sobre un SG de V realizamos alguna de las siguientes manipulaciones el sistema resultante es de nuevo SG de V : 1. Trasformaciones elementales de Gauss. 2. Eliminar vectores del sistema que sean CL de los demás. 3.2 Dependencia e independencia lineal Los vectores v 1,v 2,...,v n son LI, cuando la única CL de ellos que da como resultado el vector 0 es la CL en la que todos los escalares son nulos. En caso contrario son LD. Propiedades: En un espacio vectorial V se tiene que: 1. Un sistema escalonado es LI si y sólo si no tiene filas (vectores) nulas. 2. Las transformaciones de Gauss conservan la dependencia o independencia lineal de un sistema. 3. Todo sistema de vectores que contenga al vector nulo es LD. 4. Todo sistema de vectores que tenga algún vector repetido es LD. 5. Un sistema formado por un sólo vector es un sistema LD si y sólo si el vector es nulo. 6. Los vectores u, v son LD si y sólo si son proporcionales. 7. Los vectores u 1,u 2,..., u n son LD si y sólo si alguno de ellos es CL del resto. 8. Todo sistema de vectores que contenga a un sistema LD es LD. 9. Todo sistema de vectores contenido en un sistema LI es LI. 10. Si un sistema de vectores es LI entonces las CL lineales del sistema no se repiten, es decir, cada vector que es CL del sistema puede ponerse sólo de una forma como CL del sistema. Propiedad: En un sistema de vectores de R n, si al escalonar nos aparece el vector nulo el sistema será LD. Por contra si conseguimos escalonar hasta el final el sistema sin que aparezca el vector nulo, será un sistema LI. 3

4 4 Bases y dimensión de un espacio vectorial Definición: Base de V = SG de V y LI. Base canónica. Por ejemplo la de R 3 es {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Para cualquier vector se tiene que (x, y, z) =x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) Teorema de la base: Todo espacio vectorial (no nulo) tiene alguna base. Además, todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. dim V =n o de vectores de las bases de V. dim R n = n. dim 0 = 0 Propiedades: Sea V un espacio vectorial no nulo de dimensión n, yx = {v 1,v 2,..., v k } un sistema de vectores de V. 1. De todo SG de V se puede extraer una base de V. El número de vectores de un SG de V es siempre mayor o igual que la dimensión de V. 2. Todo sistema LI de V se puede extender a una base de V. El número de vectores LI de V es siempre menor o igual que la dimensión de V. 3. Si el número de vectores de un sistema coincide con la dimensión de V, entonces es una base de V es un SG de V es un sistema LI de vectores de V. Propiedad: Si U V entonces dim U dim V y se da la igualdad si y sólo si U = V. 4.1 Rango de un sistema de vectores Definición: Rango(v 1,v 2,...,v k )=dim<v 1,v 2,..., v k >. Si estamos en R n esto es lo mismo que el rango de la matriz cuyas filas (o columnas) son los vectores. Propiedades El rango se conserva al: 1. Quitar algún vector que sea CL de los restantes. 2. Aplicar las transformaciones de Gauss. Además, dado un sistema formado por k vectores de un espacio vectorial V se tiene que: 1. El sistema es LI si y sólo si su rango es k. 2. Es un SG de V si y sólo si su rango es dim V. 4

5 4.2 Coordenadas respecto de una base B = {v 1,...,v n }=base de V, u V ;lascoordenadas del vector u en la base B son los escalares (únicos) x 1,..., x n tales que u = x 1 v x n v n. Las denotaremos por u B =(x 1,..., x n ). Ejemplos: En cualquier base las coordenadas del vector nulo son todas cero. Si estamos en los espacios vectoriales de la forma R n y tomamos como base la canónica, las coordenadas de un vector (x 1,..., x n ) R n en esta base son x 1,..., x n : (x 1,..., x n )=x 1 (1, 0,..., 0) + x 2 (0, 1,...,0) x n (0, 0,..., 1) 4.3 Cambio de base La matriz cambio de base de B a B 0, M B B 0, está formada, por columnas, por las coordenadas respecto de B 0 de los vectores de B. Además, para cualquier u V se cumple que u B 0 = M B B 0 u B. Esa fórmula puede verse de otro modo, igualando cada coordenada en lo constituyen las ecuaciones cambio de base de B a B 0. Propiedades: 1. La matriz M B B 0 es invertible y su inversa es M B 0 B. 2. Si C es la base canónica entonces las columnas de M B C son los vectores de la base B. 3. M B1 B 3 = M B2 B 3 M B1 B 2 para bases cualesquiera B 1, B 2 y B Tomando en la fórmula anterior B 2 = C entonces M B1 B 3 =(M B3 M C ) 1 B1 C cualesquiera B 1 y B 2. para bases 5 Ecuaciones de los subespacios A partir de un SG (si puede ser, mejor que sea una base) de un subespacio U de R n se pueden obtener tanto ecuaciones ecuaciones paramétricas como implícitas de U. Las primeras se caracterizan porque aparecen x 1,..., x n, las incógnitas del espacio R n, como CL de parámetros. Las segundas son de la forma CL de x 1,..., x n igual a 0. Observaciones: 1. Un mismo subespacio puede estar representado por diferentes bases, y por lo tanto por diferentes ecuaciones paramétricas o diferentes ecuaciones implícitas. 2. Dado U K n, si llamamos A alamatrizdecoeficientes del sistema de ecuaciones implícitas de U debe cumplirse que U + r(a) =n. 5

6 6 Suma e intersección de subespacios Suma: U + W = {u + w u U, w W } Intersección U W = {v V v U, v W } Propiedad: La suma y la intersección de subespacios nos da en cada caso de nuevo un subespacio. Propiedad:Uniendo sendos SG de U y W obtenemos un SG de U + W. Propiedad: Las ecuaciones implícitas de U junto con las de W constituyen unas ecuaciones implícitas de U W. Fórmula de las dimensiones: Suma directa: dim(u + W )+dim(u W )=dimu +dimw 1. La suma es directa si y sólo si la dimensión de la suma es la suma de las dimensiones si y sólo si la unión de bases de cada subespacio es una base de la unión. 2. Para 2 subespacios equivale a que la intersección dé 0. 6