Algebra Lineal XVII: Multiplicación de matrices y transformaciones lineales.

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1 Algebra Lineal XVII: Multiplicación de matrices y transformaciones lineales José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato jrico@ugtomx En la nota anterior se mostró la relación estrecha entre la suma y multiplicación escalar de transformaciones lineales y la suma y multiplicación escalar de matrices En estas notas se mostrará la relación, igualmente estrecha, entre la multiplicación de matrices y la composición de transformaciones lineales El objetivo final es la definición del álgebra de matrices Figure 1: Representación Gráfica de la Composición de Transformaciones Lineales 1 Matriz representativa de la composición de transformaciones lineales En las notas Álgebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales se definió la composición o producto de transformaciones lineales De manera mas específica sean S : V V y T : V V dos transformaciones lineales El producto o composición de transformaciones lineales, TS, es el mapeo TS : V V (TS)( v) = T[S( v)] v V La figura 1 provee de una representación gráfica de la composición o producto de transformaciones lineales Note que, en general, el producto ST no está definido Sean B V = { v 1, v 2,, v n }, B V = { v 1, v 2,, v m} y B V = { v 1, v 2,, v r} bases de V, V y V respectivamente Estas suposiciones implican que dimv = n, dimv = m, dimv = r Mas aún, sea M 1

2 la matríz representativa de S respecto a las bases B V = { v 1, v 2,, v n }, B V = { v 1, v 2,, v m} donde M viene dado por m 11 m 12 m 1n m 21 m 22 m 2n M S,BV,B V = m m1 m m2 m mn Entonces, S( v 1 ) = m 11 v 1 +m 21 v 2 ++m m1 v m = S( v 2 ) = m 12 v 1 +m 22 v 2 ++m m2 v m = S( v n ) = m 1n v 1 +m 2n v 2 ++m mn v m = m m i1 v i m m i2 v i m m in v i Similarmente, sea N la matriz representativa de T respecto a las bases B V = { v 1, v 2,, v m} y B V = { v 1, v 2,, v r} donde N viene dado por n 11 n 12 n 1m n 21 n 22 n 2m N T,BV,B V = n r1 n r2 n rm Entonces, Entonces, se tiene que T( v 1) = n 11 v 1 +n 21 v 2 ++n r1 v r = T( v 2) = n 12 v 1 +n 22 v 2 ++n r2 v r = T( v m) = n 1m v 1 +n 2m v 2 ++n rm v r = (TS)( v j ) = T[S( v j )] = T[m 1j v 1 +m 2j v 2 ++m nj v n] r r n i1 v i n i2 v i r n im v i = m 1j T( v 1)+m 2j T( v 2)++m nj T( v n) = m 1j [n 11 v 1 +n 21 v 2 ++n r1 v r]+m 2j [n 12 v 1 +n 22 v 2 ++n r2 v r] ++m nj [n 1n v 1 +n 2n v 2 ++n rn v r] = [m 1j n 11 +m 2j n 12 ++m nj n 1n ] v 1 +[m 1j n 21 +m 2j n 22 ++m nj n 2n ] v 2 ++[m 1j n r1 +m 2j n r2 ++m nj n rn ] v r Entonces,lamatrizrepresentativadelatransformaciónlinealTS,respectoalasbasesB V = { v 1, v 2,, v m }, del espacio vectorial V y B V = { v 1, v 2,, v r} del espacio vectorial V denotada por P TS,BV,B V, esta 2

3 dada por y tendrá en la columna j los siguientes elementos p 11 p 12 p 1m p 21 p 22 p 2n P TS,BV,B V = p r1 p r2 p rm p 1j = m 1j n 11 +m 2j n 12 ++m nj n 1n = n 11 m 1j +n 12 m 2j ++n 1n m nj = n 1k m kj, p 2j = m 1j n 21 +m 2j n 22 ++m nj n 2n = n 21 m 1j +n 22 m 2j ++n 2n m nj = n 2k m kj, p rj = m 1j n r1 +m 2j n r2 ++m nj n rn = n r1 m 1j +n r2 m 2j ++n rn m nj = n rk m kj, De manera mas general, el elemento de la matriz P localizado en la i-ésima fila y la j-ésima columna estará dado por p ij = m 1j n i1 +m 2j n i2 ++m nj n in = n i1 m 1j +n i2 m 2j ++n in m nj = n ik m kj, este elemento es el resultado de multiplicando los elementos correspondientes de la i ésima fila de la matriz N con la j ésima columna de la matriz M y sumando los productos correspondientes Definición de multiplicación de matrices Sea M M m n y N M n r Entonces, la multiplicación de matrices P = M N es una matriz perteneciente a M m r, tal que el elemento de P localizado en la i ésima fila y la j ésima columna, denotado p ij está dado por p ij = m i1 n j1 +m i2 n j2 ++m in n jn = m ik n kj, Este resultado se obtiene multiplicando la i ésima fila de M por la j ésima columna de N Además, esta definición implica que si N y M son las matrices representativas de T y S entonces P = NM es la matriz representativa de la transformación TS, con respecto a las bases B V = { v 1, v 2,, v n }, B V = { v 1, v 2,, v r}, denotada por P TS,BV,B V Es importante notar que para que la operación de multiplicación de matrices pueda definirse, es necesario que el número de filas de la matriz N sea igual al número de columnas de la matriz M Si esta condición se satisface, las matrices se dice que son conformables Teorema Suponga que las operaciones de suma y multiplicación de matrices indicadas a continuación pueden realizarse, entonces, se tienen las siguientes propiedades 1 La multiplicación es asociativa (AB)C = A(BC) 2 En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa AB BA 3

4 3 La multiplicación es distributiva respecto a la adición (A+B)C = AC +BC, y C(A+B) = CA+BA 4 La multiplicación conmuta con la multiplicación por escalar λ(ab) = (λa)b = A(λB) Finalmente, se probará un último resultado que permite emplear la matriz representativa de una transformación lineal para determinar la imagen de un vector bajo la transformación lineal Teorema Sea T : V V una transformación lineal y sea M T,BV,B V la matriz representativa de T respecto a la base B V del espacio vectorial V y a la base B V del espacio vectorial V Entonces, si X el vector coordenado de un vector v V respecto a la base B V del espacio vectorial V, entonces Y BV = M T,BV,B V X BV es el vector coordenado de T( v) respecto a la base B V del espacio vectorial V 1 Prueba Sea B V = { v 1, v 2,, v n }, B V = { v 1, v 2,, v m} entonces, M, la matriz representativa de T respecto a las bases B V y B V está dada por m 11 m 12 m 1n m 21 m 22 m 2n M BV,B V = m m1 m m2 m mn Entonces Por lo tanto v = x 1 v 1 +x 2 v 2 ++x n v n donde X x 2 = x n x 1 T( v) = x 1 T( v 1 )+x 2 T( v 2 )+ +x n T( v n ) = x 1 (m 11 v 1 +m 21 v 2 + +m m1 v m)+x 2 (m 12 v 1 +m 22 v 2 + +m m2 v m) + +x n (m 1n v 1 +m 2n v 2 + +m mn v m) = (m 11 x 1 +m 12 x 2 + +m 1n x n ) v 1 +(m 21 x 1 +m 22 x 2 + +m 2n x n ) v 2 + +(m m1 x 1 +m m2 x 2 + +m mn x n ) v m Por lo tanto, el vector coordenado de T( v) respecto a la base B V está dado por m 11 x 1 +m 12 x 2 + +m 1n x n m 11 m 12 m 1n x 1 m 21 x 1 +m 22 x 2 + +m 2n x n Y = = m 21 m 22 m 2n x 2 = M B V,B V X m m1 x 1 +m m2 x 2 + +m mn x n m m1 m m2 m mn x n 1 Debe notarse que X puede considerarse como una matriz de una columna y tantas filas como la dimensión de V, similarmente, Y puede considerarse como una matriz de una columna y tantas filas como la dimensión de V 4

5 2 Problemas Resueltos Problema 1 Considere los siguientes espacios vectoriales y sus respectivas bases, R 2 y B R 2 = {(1,2),(2,1)}, P 2 (x) y B P 2 (x) = { p 1 (x) = 1,p 2 (x) = 1+x,p 3 (x) = 1+x 2} y M 2 2 y {[ ] [ ] [ ] [ ]} B M 2 2 =,,, Considere las siguientes transdormaciones lineales Determine: S : R 2 P 2 (x) S(a 1,a 2 ) = (a 1 a 2 )+a 2 x+a 1 x 2 [ ] T : P 2 (x) M 2 2 T(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 a2 a ) = 1 a 0 a 2 a 1 1 La transformación lineal compuesta TS : R 2 M La matriz representativa, M, de la transformación lineal S : R 2 P 2 (x) respecto a las bases B R 2 y B P 2 (x) 3 La matriz representativa, N, de la transformación lineal T : P 2 (x) M 2 2 respecto a las bases B P 2 (x) y B M La transformación lineal compuesta TS : R 2 M La matriz representativa, P, de la transformación lineal TS : R 2 M 2 2 respecto a las bases B R 2 y B M Verifique que la matrix P está dada por NM Resultados Para la matriz representativa de la transformación S, se tiene que S(1,2) = 1+2x+x 2 = 4(1)+2(1+x)+1(1+x 2 ) S(2,1) = 1+x+2x 2 = 2(1)+1(1+x)+2(1+x 2 ) Por lo tanto, la matriz M S,BR 2,B P 2 (x) está dada por M S,BR 2,B P 2 (x) = Para la matriz representativa de la transformación T, se tiene que T(1) = = T(1+x) = = T(1+x ) = = Por lo tanto, la matriz N T,BP 2 (x),b M 2 2 está dada por N T,BP 2 (x),b M 2 2 =

6 Respecto a la transformación lineal compuesta TS : R 2 M 2 2, se tiene que (TS)(a 1,a 2 ) = T [S(a 1,a 2 )] = T [ (a 1 a 2 )+a 2 x+a 1 x 2] [ ] a = 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 Para la matriz representativa de la transformación (T S), se tiene que [ ] [ ] [ ] [ ] [ T(1,2) = = T(2,1) = = ] Por lo tanto, la matriz representativa P (TS),BR 2,B M está dada por 2 2 P = y puede probarse que P (TS),BR 2,B M 2 2 = = 3 Problemas Propuestos = N T,BP 2 (x),b M 2 2 M S,BR 2,B P 2 (x) Problema 1 Considere la transformación lineal T : P 3 R 3 dada por T(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 ) = (a 0 2a 3,a 1 +2a 2,a 2 a 3 ) y considere las bases B P 3 = {1,1+x,x 2,x 2 +x 3 } y B R 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} 1 Pruebe que T es realmente una transformación lineal 2 Pruebe que B P 3 = {1,1+x,x 2,x 2 +x 3 } y B R 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} son realmente bases de los espacios vectoriales P 3 y R 3 3 Determine M la matriz representativa de T respecto a las bases B P 3 y B R 3 4 Encuentre la imagen bajo T del polinomio p(x) = 3 x+x 2 5x 3 5 Encuentre X el vector coordenado de p(x) respecto a la base B P 3 = {1,1+x,x 2,x 2 +x 3 } 6 Determine el vector Y = M X 7 Verifiqueque Y eselvectorcoordenadodet(p(x))respectoalabaseb R 3 = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} Problema 2 Considere la transformación lineal T : P 2 P 2 dada por T(p(x)) = p(x+2) T(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ) = a 0 +a 1 (x+2)+a 2 (x+2) 2 = (a 0 +2a 1 +4a 2 )+(a 1 +4a 2 )x+a 2 x 2 y considere la base B P 2 = {1,x,x 2 } 1 Pruebe que T es realmente una transformación lineal 6

7 2 Pruebe que B P 2 = {1,x,x 2 } es realmente una base de los espacios vectoriales P 2 3 Determine M la matriz representativa de T respecto a la base B P 2 = {1,x,x 2 } 4 Encuentre la imagen bajo T del polinomio p(x) = 3 x+x 2 5 Encuentre X el vector coordenado de p(x) respecto a la base B P 2 = {1,x,x 2 } 6 Determine el vector Y = MX 7 Verifique que Y es el vector coordenado de T(p(x)) respecto a la base B P 2 = {1,x,x 2 } 7