ALGEBRA LINEAL - Práctica N 4 - Segundo Cuatrimestre de 2006 Determinantes

Transcripción

1 ALGEBRA LINEAL - Práctica N 4 - Segundo Cuatrimestre de 2006 Determinantes Ejercicio. Calcular el determinante de las siguientes matrices: i) iv) ( ) ii) v) 4 5 ( 2 ) iii) vi) Ejercicio 2. Calcular el determinante de las matrices elementales definidas en el ejercicio 6 de la práctica 2. Ejercicio 3. i) Sea A K n n una matriz triangular superior. Probar que det(a) = n A ii. ii) Calcular el determinante de A K n n siendo a a a n a n i= Ejercicio 4. i) Si A K n n (, B ) K m m y C K n m, sea M K (n+m) (n+m) la matriz de bloques definida A C por M =. Probar que det(m) = det(a). det(b). 0 B ii) Sean r, r 2,..., r n N y para cada i, i n, sea A i K r i r i. Se considera la matriz de bloques A A A Calcular det(m). M = A n.

2 Ejercicio 5. Calcular los determinantes de las siguientes matrices: n x a a... a n a x a... a i) n ii) a a x... a a a a... x x... x x x 0... x x iii) x x... 0 x x x... x 0 Ejercicio 6. i) Calcular inductivamente el determinante de A R n n : ii) Calcular inductivamente el determinante de la matriz compañera A K n n : t a 0 t a 0 t a a t a n t + a n. Ejercicio 7. Dada la matriz de Vandermonde: V (k, k 2,..., k n ) = probar que det (V (k, k 2,..., k n )) = i<j n k k k n k 2 k kn k n k2 n kn n (k j k i ). Sugerencia: Sin perder generalidad se supone que k i k j si i j. Si se considera el determinante de V (k, k 2,..., k n, X) como polinomio en X probar que k,..., k n son sus raíces y factorizarlo. 2,

3 Observación: Si α 0, α,..., α n K son escalares distintos, V (α 0, α,..., α n ) resulta inversible. Sea (V (α 0, α,..., α n )) t K (n+) (n+) y sean β 0, β,..., β n K. Entonces el sistema A.x = (β 0, β,..., β n ) tiene solución única (x 0, x,..., x n ) K n+ y P = n x i.x i es el polinomio interpolador de Lagrange tal que P (α i ) = β i (0 i n) i=0 Ejercicio 8. Calcular los siguientes determinantes: + a + b + c + d i) + a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + a 3 + b 3 + c 3 + d 3 + a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ii) a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 a 4 b 4 c 4 d 4 Ejercicio 9. Sea (a ij ) R 3 3 tal que A. 2 = 2. Si det(a) = 3, calcular el 7 determinante de la matriz a 2 a 22 a a + 2a 3 a 2 + 2a 23 a 3 + 2a 33 Ejercicio 0. Dadas las matrices A, B R 2 2 ( ) 3 2 y B = ( ) 2, 3 probar que no existe ninguna matriz C GL(2, R) tal que A.C = C.B. Y si no se pide que C sea inversible? 0 2 Ejercicio. Sea A R 3 3 la matriz 0 2 y sea B R 3 3, B = (b ij ), una matriz tal que det(a + B) = det(a B). Probar que B es inversible si y sólo si b b 2. Ejercicio 2. i) Sea A R 4 4 la matriz a b c d b a d c c d a b. d c b a Probar que el sistema A.x = 0 tiene solución única si y sólo si a, b, c y d no son todos iguales a cero. ii) Analizar la validez de la afirmación anterior si A C

4 Ejercicio 3. Sea A K n n y sea r K. Probar que existe x K n, x 0, tal que A.x = r.x si y sólo si det(a r.i n ) = 0. Ejercicio 4. Sean α,..., α n R, todos distintos y no nulos. Probar que las funciones e αx,..., e αnx son linealmente independientes sobre R. Deducir que R R no tiene dimensión finita. Sugerencia: Derivar n veces la función n c i e αix. i= Ejercicio 5. matrices: i) ( ) Calcular el determinante, la adjunta y la inversa de cada una de las siguientes ii) iii) cos θ 0 sen θ iv) 0 0 sen θ 0 cos θ Ejercicio 6. Sea A una matriz inversible. Calcular det(adj A). Qué pasa si A no es inversible? Ejercicio 7. i) Resolver los siguientes sistemas lineales sobre Q empleando la regla de Cramer: a) { 3.x x 2 = 3 x + 7.x 2 = 4 b) { 3.x 2.x 2 + x 3 = 0 x + x x 3 = 2.x + x x 3 = 2 x + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x c) + 2.x 2 4.x 3 + x 4 = x x 2 x 3 x 4 = 4 5.x + x 2 3.x x 4 = 0 ii) Resolver el siguiente sistema lineal sobre Z 7 empleando la regla de Cramer: 3x + y + 2z = x + z = 6 2x + 2y + z = 3 Ejercicio 8. Sea A Z n n tal que det(a) = ó det(a) =. Probar que para todo b = (b,..., b n ) Z n, existe un único x = (x,..., x n ) Z n tal que A.x = b. a b c Ejercicio 9. Sea A R 3 3 la matriz d e f. Se sabe que g h i b c a 2 c a b det 2 e f = 0, det d 4 f = 0, y det d e 2 = 0. 5 h i g 0 i g h 5 Calcular det A. 4

5 Ejercicio 20. Sea A K m n. i) Probar que son equivalentes: a) rg(a) s b) A admite una submatriz de s s con determinante no nulo. ii) Deducir que rg(a) = máx{s N 0 / A admite una submatriz de s s con determinante no nulo}. Ejercicio 2. i) Sea A K 3 3 no inversible tal que A.A 33 A 3.A 3 0. Calcular la dimensión de S = {x K 3 / A.x = 0}. ii) Sea A K n n no inversible tal que adj(a) 0. Calcular rg(a) y rg(adj(a)). Ejercicio 22. i) Calcular el área del paralelogramo generado por los vectores (2, ) y ( 4, 5). ii) Mismo problema para (3, 4) y ( 2, 3). iii) Calcular el área de un paralelogramo tal que 3 de sus vértices están dados por los puntos (, ), (2, ) y (4, 6). iv) Calcular el volumen del paralelepípedo generado por (,, 3), (, 2, ) y (, 4, ). v) Mismo problema para ( 2, 2, ), (0,, 0) y ( 4, 3, 2). Ejercicio 23. i) Sea (a ij ) K 6 6. Con qué signos aparecen los siguientes productos en det(a)? a) a 23.a 3.a 42.a 56.a 4.a 65 b) a 32.a 43.a 4.a 5.a 66.a 25 ii) Sea (a ij ) K 5 5. Elegir todos los posibles valores de j y de k tales que el producto a j.a 32.a 4k.a 25.a 53 aparezca en det(a) con signo + iii) Sea (a ij ) K 4 4. Escribir todos los términos de det(a) que tengan al factor a 23 y signo + iv) Sin calcular el determinante, calcular los coeficientes de X 4 y de X 3 en 2.X X 2 det X 3 2 X. X 5

6 v) Sin calcular el determinante, calcular el coeficiente de a 6 y el de b 6 en b a a b a det a b a b. a b a b a (*) Ejercicio 24. Sean A, B, C, D K n n. Sea M K 2n 2n la matriz de bloques ( ) A B M =. C D Probar que si A GL(n, K), det(m) = det(a.d A.C.A.B). Si además A.C = C.A entonces det(m) = det(a.d C.B). 6