ELEMENTOS FINITOS PROBLEMA ELIPTICOS
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- Vanesa del Río Castellanos
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1 Análisis Nuérico II Volúenes Finitos Probleas Elípticos ELEMENTOS FINITOS PROBLEMA ELIPTICOS 1/46
2 Análisis Nuérico II Eleentos Finitos Probleas Elípticos ELEMENTOS FINITOS PROBLEMA ELIPTICOS Forulación Débil Discretización Forulación Variacional Método de Ritz Discretización del Funcional Probleas de Capa Líite /46
3 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Débil PROBLEMA BASE Forulación diferencial: u f ( u, x, y) 0 en u( x, y) u sobre u ( x, y ) q sobre n u clase C 1 3/46
4 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Débil FORMULACION PONDERADA u f wd u u wd 1 u q wd n 0 4/46
5 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Débil INTEGRACION POR PARTES u u. wd fwd w d n 1 1 u u u wd q wd n 0 w 0 u u sobre w w sobre 1 5/46
6 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Débil FORMULACION DEBIL u. wd fwd qwd 0 u u sobre 1 u clase C 1 (Soluciones débiles o generalizadas) 6/46
7 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización DISCRETIZACION DEL DOMINIO Eleentos finitos triangulares 7/46
8 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización NUMERACION DE NODOS n: nueración global, 1 n N N: cantidad total de nodos k: nueración local, 1 k K K: cantidad de nodos por eleento n = 58 k = K = 3 n = 4 k = 3 n = 57 k = 1 8/46
9 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización G ): ( k G CONECTIVIDAD : nueración de eleento, 1 M M: cantidad total de eleentos # nodo global de nodo local k de eleento 7 (1) 57 n = 58 k = G G 7 () 58 7 (3) 4 n = 4 k = 3 {x n,y n }: coordenadas de los nodos =7 n = 57 k = 1 9/46
10 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización DISCRETIZACION DE LA FUNCION u n : valores nodales (incógnitas) Método nodal u u n ( k) n G ): ( k 10/46
11 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización FUNCION INTERPOLANTE M u( x, y) u ( x, y) u ( x, y) u ( x, y) K k1 1 N ( x, y) u si ( x, y) e ( k) ( k) 0 si ( x, y) e N ): ( k funciones de fora (k) 1 11/46
12 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización wn : FUNCIONES DE PESO tantas coo incógnitas l : eleentos que contienen nodo n, n 1 l L n L n : cantidad de eleentos Método de Bubnov-Galerkin: l N( k )( x, y) si ( x, y) e l wn ( x, y) 0 si ( x, y) e l l n G k l ( ) l n 1/46
13 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización ECUACIONES DISCRETAS u. w d fw d qw d 0 n n n M u( x, y) u ( x, y) 1 w ( x, y) n l N( k )( x, y) si ( x, y) e l 0 si ( x, y) e l l 13/46
14 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización PRIMER TERMINO Ln K l l l n ( k ) ( k ) ( kl ) l1 k1 e l u. w d u N. N d l. l np ( k ) ( k ) l l a N N d e p G l ( k ) u. w d a u Ln K n np p l1 k1 n G k l ( ) l 14/46
15 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización ENSAMBLE Eleento : 1 k,k K e. ( k ) ( k ') np N N d a n G( k ') p G( k ) 15/46
16 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización DESAGREGADO a np np np np e ( k) ( k') N N d x x n G( k ') np e ( k) ( k') N N d y y p G( k ) 16/46
17 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización (1) NORMALIZACION INTEGRALES (3) e F N ( k ) x, y d 1 (3) N(1), 1 N(), N(3), () 0 (1) 0 1 () 3 x N, x k1 3 k1 ( k) ( k) y N, y ( k) ( k) e F N x, y d J F N, d ( k) ( k) e 17/46
18 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización NORMALIZACION INTEGRALES J x x xy,, y y l l l x1 x13 y1 ly13 l x x x1 () (1) l x x x13 (3) (1) l y y y1 () (1) l y y y13 (3) (1) 18/46
19 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización CALCULO DE INTEGRALES np e N( k) N( k') d x N l N l N x ( k ) y13 ( k ) y1 ( k ) x l x1 x13 ly1 l y13 l J N N N N 1; 1 (1) (1) N 1; 0 () () N 0; 1 (3) (3) np J e N N N N d x x x x ( k ) ( k ') J ( k ) ( k ') 19/46
20 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización CALCULO DE INTEGRALES N x l () y13 N l l (1) y13 y1 x N x l (3) y1 n G p G (1) (1) J ly 13 l y1 1 np l y1 ly13 J 0/46
21 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización f Si f f(u): ( x, y, u) SEGUNDO TERMINO M f ( x, y, u) f ( x, y, u) K k 1 1 N ( x, y) f si ( x, y) e ( k) ( k) 0 si ( x, y) e ( k) ( k ) ( k ) ( k ) f f x y u (,, ) 1/46
22 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización SEGUNDO TERMINO fw d Ln K n np p l1 k1 f ( l np k ) n N N l d l e n G k l ( ) p G l ( k ) l /46
23 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización q TERCER TERMINO B b q( x, y) q ( x, y) b1 R b b b ( r) ( r) ( x, y) r1 N ( x, y) q si ( x, y) g 0 si ( x, y) g b ( b, b ) ( r) ( r) ( r) q q x y b b 3/46
24 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización TERCER TERMINO qw d Sn R q n nt t s1 r1 N bl b nt ( r) n N ld bl g n G k bl ( ) b t G l ( r ) l 4/46
25 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización RESULTADOS Prier problea: x 1/3 Método u 1 u Dif. finitas 0, ,06891 RP-Moentos 0, ,06888 RP-Galerkin 0, ,06805 EF-Galerkin 0, ,06751 Analítico 0, ,0680 5/46
26 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Variacional PROBLEMA BASE Forulación diferencial: u f ( u, x, y) 0 en u( x, y) u sobre u ( x, y ) q sobre n u clase C 1 6/46
27 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Variacional FORMULACION PONDERADA u f wd u u wd 1 u q wd n 0 7/46
28 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Variacional FORMULACION DEBIL u. wd fwd qwd 0 Variación débil: w u( x, y) u sobre u u 0 sobre 1 (caso particular) f ( u, x, y) u g( x, y) 1 8/46
29 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Forulación Variacional FORMULACION VARIACIONAL 1 1 u u ug d qu d 0 Funcional: 1 1 I( u) u u ug d qud I 0 u( x, y) u sobre 1 9/46
30 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Método de Ritz FUNCION APROXIMANTE 1 1 I( u) u u ug d qud u( x, y) u sobre Aproxiación: u N i1 i i ( x, y) (satisface condiciones de borde geoétrica) 1 30/46
31 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Método de Ritz PLANTEO I 0 I 0, i 1,... N i i son las incógnitas; étodo odal 31/46
32 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Método de Ritz SEGUNDO PROBLEMA 1D 0 (0,1) dx du u(0) 0 (1) dx du u x en q 1 1 I( u) u u ug d qud u( x, y) u sobre 1 I u u uxdx qu dx 0 1 1du 1 ( ) (1) u(0) 0 3/46
33 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Método de Ritz SOLUCION 1 ( x) sen( x) ( x) u( x) sen( x) x 1 I I 1 0 x sen( x) u( x) (1 q) x (solución exacta) cos(1) 33/46
34 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización del Funcional SEGUNDO PROBLEMA 1D Se procede en fora análoga al caso de partida desde la forulación débil 34/46
35 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización del Funcional FUNCION INTERPOLANTE u ( x, y) M u( x, y) u ( x, y) N ): ( k K k1 1 N ( x, y) u si ( x, y) e ( k) ( k) 0 si ( x, y) e funciones de fora 35/46
36 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización del Funcional PLANTEO I( u, u... u ) 1 N I 0, n 1,.. N u n 36/46
37 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización del Funcional PRIMER TERMINO K K 1 1 u d u( k ) u ( k ') N( k ). N( k ') d e k' 1 k1 1 I( u) u d e 1 k1 u n e K u d a u np p n G k ( ) p G( k ) l a N ). N d np ( k n e 37/46
38 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Discretización del Funcional SISTEMA DISCRETO Resulta idéntico al obtenido desde la forulación débil con el étodo de Bubnov-Galerkin 38/46
39 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite PROBLEMA BASE u u u u U V x y x y u. w d U. uw d 0, U ( U, V ) n n 39/46
40 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite FUNCION INTERPOLANTE u ( x, y) M u( x, y) u ( x, y) N ): ( k K k1 1 N ( x, y) u si ( x, y) e ( k) ( k) 0 si ( x, y) e funciones de fora 40/46
41 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite FUNCIONES DE PESO Método de Petrov-Galerkin: SUPG w ( x, y) n N h. N si ( x, y) e l l 0 si ( x, y) e ( k ) ( k ) l l l l ( ) n G k l l 41/46
42 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite CASO 1D d u du U, 0 x L, dx dx u(0) u, u( L) u Solución cerrada: u( x) u 1 e o u u 1e L o o x Pe L Pe L UL Pe 4/46
43 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite FORMULACION DEBIL L du dw du n n dx dx dx 0 U w dx 0 w n ( x) dn N x si x x n1 n1 () () dx n dn n (1) (1) N x si x x dx n n 43/46
44 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite FUNCIONES DE FORMA N x x n1 n1 () () ( x) n1 n1 x() x(1) dw dx n x 1 n1 n1 () (1) x x 1 x n1 n1 () (1) N n (1) ( x) si x si x (igual que Bubnov-Galerkin) x x n n x x x n () x n n () (1) 44/46
45 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite ECUACION ENSAMBLADA 1 u n1 un un 1 un 1 un 1 0 Pg Pg Ux Si = 0: étodo centrado inestabilidad Si = 1/: upwinding (U > 0) 45/46
46 Eleentos Finitos Probleas Elípticos Probleas de Capa Líite VALOR OPTIMO DEL PARAMETRO Si Pg Pg coth coth : Pg Pg 1 u( x n1) u( xn) u( xn 1) u( xn 1) u( xn 1) 0 Pg solución analítica verifica exactaente ecuación nuérica 46/46
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