Tema 4 : TRACCIÓN - COMPRESIÓN

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1 Tema 4: Traccón - Compresón Tema 4 : TRCCIÓ - CMPRSIÓ G Prof.: Jame Santo Domngo Santllana.P.S.-Zamora (U.S.) - 8 1

2 Tema 4: Traccón - Compresón ITRDUCCIÓ Una seccón de una pea está solctada a Traccón-Compresón cuando la resultante de las fueras nterores tene la componente R G R TRCCIÓ (>) CMPRSIÓ (<) g. 4.1 n este tema se estudará sóldos que sólo trabajen a TRCCIÓ-CMPRSIÓ, es decr, sóldos en los que en todas sus seccones tan sólo apareca la componente R de las fueras nterores. jemplos: as BRRS que componen las cerchas o vgas en celosía os CBS que sujetan barras g os DPSITS o RCIPITS a PRSIÓ

3 Seccón 4.: Tensones 4..-TSIS Consderemos una barra prsmátca trabajando a Traccón-Compresón cortemos por una seccón recta transversal de la msma (). G g. 4.3 Para ver como se dstrbuen las fueras nternas o tensones en dcha seccón, tomemos en un punto (,) cualquera de la seccón, un elemento dferencal de área: d. as tensones serán, según lo vsto en la seccón 1.6: G d d τ τ g. 4.4 según las relacones tensones-solctacones, ecuacones (1.6): T. d V τ. d V τ. d ( τ. τ. ). d M.. d M.. d Se ha tendo en cuenta que al trabajar la seccón sólo a Traccón-Compresón: V V T M M Con estas 6 ecuacones por s solas no se podrá determnar las tensones:, τ, τ. Para poder calcularlas se recurrrá a hpótess 3

4 Tema 4: Traccón - Compresón a hpótess que resuelve la ndetermnacón del sstema de ecuacones anterormente planteado, es la IPÓTSIS D BRUII o de CSRVCIÓ D S SCCIS PS, que dce: las seccones transversales del prsma que eran planas perpendculares a su línea medía antes de la deformacón, al producrse ésta, se trasladan paralelamente a sí msmas, permanecendo planas perpendculares a dcha línea meda sta hpótess se puede comprobar epermentalmente sometendo a Traccón una barra prsmátca en la que se han traado prevamente sobre su superfce una retícula de líneas rectas, unas perpendculares otras paralelas al eje longtudnal del prsma a b a b c d c d g. 4.5 Se observa que todas las líneas rectas, paralelas al eje longtudnal, alargan por gual, con lo cual se podrá decr que la deformacón longtudnal untara es constante, es decr: ε X cte n vrtud de ello según la le de ooke: ε cte. ε cte cte levando esta conclusón a la prmera de las ecuacones anterormente planteadas:. d ( s cte). d. de donde : cte G cte / g. 4.6 Se observa gualmente que cualquer rectángulo formado por la retícula de líneas rectas, por ejemplo el abcd, después de la deformacón, se transforma en el rectángulo a b c d por tanto sgue mantenendo sus ángulos rectos, es decr, no se producen deformacones angulares. sí pues: γ γ γ τ τ τ por la le de ooke: γ γ γ con lo cual: G G G τ τ τ 4

5 Seccón 4.: Tensones 5 Conclusón: n una barra prsmátca que trabaje sólo a TRCCIÓ-CMPRSIÓ, las componentes del estado de tensones en un punto cualquera de la msma serán : bservacón: a seccón por donde se corta la barra prsmátca para obtener las componentes del estado de tensones en un punto, es una seccón recta transversal, es decr, perpendcular al eje de la barra. Pero s en lugar de cortar la barra por la seccón recta transversal, la cortamos por una seccón nclnada B, las tensones correspondentes las podríamos obtener a partr de las ecuacones matrcales (1.9), vstas en la seccón 1.3 o ben a través del círculo de Mohr. sí: conocdas las componentes del estado de tensones en el punto, al cortar por la seccón recta transversal : a tensón sobre la seccón nclnada, B, será: as tensones normal cortante serán: cte τ τ τ G /cte ρ τ G B G B u g. 4.8 cte τ τ τ.cos cos. sen ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ τ ρ sen u..cos.cos. g. 4.7 (4.1) (4.) (4.3) P

6 Tema 4: Traccón - Compresón Dagramas de ueras ormales: stos dagramas nos dan las fueras normales en cada seccón de la barra prsmátca. jemplo: Representemos los dagramas de fueras normales para la barra prsmátca de la fgura, sometda a las fueras 1 que se ndcan. Seccón recta Transversal () 1 1 G g. 4.9 tramo 1 : tramo : 1 1 / 1 / cte / ( 1 - )/ cte tramo 3 : 1 1 / 1 / cte Barras prsmátcas de seccón varable. Concentracón de Tensones: Para valores de pequeños cte 6 g. 4.1 Para valores de grandes cte

7 Seccón 4.: Tensones n general, en las barras prsmátcas con varacón brusca de seccón cte ma ma m n meda m n meda g curre que en los puntos prómos a donde se detecta el cambo brusco de seccón, esto es, en los puntos : m n ndcados en las fguras, se producen tensones superores a la tensón meda a medda que nos vamos alejando de ellos, las tensones van dsmnuendo, llegando a producrse tensones nferores a la tensón meda en los puntos mas dstantes de ellos. a tensón máma se obtene: ma k. med k. sendo k 1 " coefcente de concentracón detensones" (4.4) l valor de k va a depender de: Tpo de solctacón: Traccón, león, etc.. Geometría dmensones del cambo de seccón Tpo de materal es un valor que se puede obtener epermentalmente bservacón: a concentracón de tensones adquere mucha mportanca en el cálculo de peas sometdas a cargas repetdas o de fatga, pues en estos casos, en los puntos m n, donde se concentran las tensones donde aparecen las ma, son los puntos donde romperán las barras. 7

8 Tema 4: Traccón - Compresón Para dsmnur el efecto de estas concentracones de tensones debemos de tratar de dseñar cambos suaves de seccón. ma m n meda ma m n meda g. 4.1 ma k. med k. k >> 1 ma k. med k. k DRMCIS Conocdas, en la seccón anteror, las Componentes del estado de tensones en un punto de una barra prsmátca que trabaje a Traccón-Compresón, la obtencón de las Componentes del estado de deformacones, en dcho punto, se obtendrán aplcando la e Generalada de ooke: ε ε ν. ε ν. γ γ γ (4.5) 8

9 Seccón 4.3: Deformacones Desplaamento u de una seccón de una barra: l aplcar a una barra de longtud, una fuera de traccón, ésta sufrrá un alargamento total cada una de las seccones de la barra sufrrán desplaamentos u. os desplaamentos u de las seccones se calcularán de la sguente forma: 1 d 1 u g ( d) Por defncón: ε ( d) ε. d. d d u( 1) 1 ( d) d. d. largamento total de la barra : ( d). d. d.. d. (4.6) Casos partculares: S: cte cte cte.. (4.7) S,,, varían pero de forma dscreta (a saltos):.. (4.8) 9

10 Tema 4: Traccón - Compresón 4.4.-RSUCIÓ D CSS IPRSTÁTICS Cuando en una barra o en una estructura el número de ecuacones de equlbro es nferor al número de ncógntas, se dce que es un caso perestátco º CUCIS QUIIBRI < º ICÓGITS CS IPRSTÁTIC Éstos casos suelen darse cuando la barra o la estructura tenen apoos (lgaduras) de más. Para resolver pues un caso hperestátco no serán sufcentes las cuacones de equlbro se buscarán para complementarlas cuacones de Deformacón, de tal forma que se cumpla: º CUCIS QUIIBRI + º CUCIS D DRMCIÓ º ICÓGITS l estudo de este apartado se desarrollará a través de la resolucón de varos ejemplos jemplo 1º: Barra empotrada en ambos etremos sometda a una fuera R R B 1 g cuacón de equlbro: Incógntas: R, R B R + R (4.9) B s un CS IPRSTÁTIC!, tene apoos de más (está doblemente empotrada con un solo empotramento sería sufcente). a barra ISSTÁTIC sería: R pero está barra no sería equvalente a la dada, para que fuera equvalente sería: 1 1

11 Seccón 4.4: Resolucón de casos hperestátcos barra ISSTÁTIC QUIVT: R R B con la condcón (ecuacón de deformacón): (4.1) 1 tramo 1 : R R R + - tramo : R B g R B R B Desarrollando la ecuacón (4.1), por la epresón dada en (4.8):. R. R B (4.11) resolvendo el sstema de ecuacones formado por la ecuacón de equlbro (4.9) la ecuacón de deformacón (4.11): R RB 1 + (4.1) jemplo º: Barra empotrada en ambos etremos sometda a un ncremento de temperatura: Tensones de orgen térmco R T> R B cuacón de equlbro: R R (4.13) Incógntas: R, R B g s un CS IPRSTÁTIC!, tene apoos de más (está doblemente empotrada con un solo empotramento sería sufcente). B 11

12 Tema 4: Traccón - Compresón barra ISSTÁTIC QUIVT: R T> R B con la condcón (ecuacón de deformacón): (4.14) tramo --: - R R B R B R B g Desarrollando la ecuacón (4.14) aplcando el Prncpo de Superposcón de fectos: ( T ) + ( R ) B T> ( T ).. T coef. dlatacón térmco R B RB. ( RB ). resolvendo el sstema de ecuacones formado por la ecuacón de equlbro (4.13) la ecuacón de deformacón (4.15): R R... T (4.16) B RB... T + (4.15). las tensones que se habrán generado en la barra empotrada por efecto del ncremento de temperatura serían: RB.. T (4.17) bservacón: as tensones se han orgnado porque debdo al T>, al querer dlatar la barra no poder hacerlo al estar doblemente empotrada, presonará a los empotramentos por consguente aparecerán las reaccones en éstos. sto no pasaría s hubese habdo un solo empotramento la barra hubese poddo dlatar lbremente T> 1

13 Seccón 4.4: Resolucón de casos hperestátcos jemplo 3º: Barra pretensada de hormgón armado Dado que el hormgón es un materal que resste mu mal los esfueros de traccón, podremos mejorar su resstenca a la traccón s ntroducmos en él redondos de acero prevamente tracconados. l procedmento será el sguente: 1ª fase: Se toman redondos de acero los estramos someténdolos a una fuera de traccón de X Kg. X redondo de acero X la tensón a que estará sometdo el redondo de acero será: X c sendo c área de la seccón del redondo de acero ª fase: Sn destensar todavía los redondos de acero, añadmos el hormgón esperamos a que éste fragüe, cuando esto ocurra, el redondo de acero se habrá quedado totalmente adherdo al hormgón. n éste nstante destensamos los redondos de acero, lberándolos de la fuera X a los que les teníamos sometdos como consecuenca de ello el redondo de acero tenderá a acortarse arrastrará con él al hormgón, provocando en él una compresón. s ocurrrá: redondo de acero hormgón X X g Para calcular la parte de la fuera X que absorberá tanto el redondo de acero como el hormgón, se seccona transversalmente la barra estudamos el equlbro de una de las dos partes secconadas X c cuacón de equlbro: Incógntas: c, X + c (4.18) s un CS IPRSTÁTIC!, tene materales de más. Se añadrá una ecuacón de deformacón 13

14 Tema 4: Traccón - Compresón a ecuacón de deformacón será, al quedar el redondo de acero el hormgón fuertemente adherdos, se acortarán por gual, es decr, se cumplrá: c (4.19) desarrollando esta ecuacón: c.. (4.).. c c resolvendo el sstema de ecuacones formado por la ecuacón de equlbro (4.18) la ecuacón de deformacón (4.): c X. c. c c. c +. X. c. c. +. (4.1) las tensones correspondentes serán: c c c X. c c. + c. X. c. + c. (4.) con lo que sumando las tensones obtendas en ambos materales después de estas dos fases, quedarán: c + c c X c X. c. c c +. X. c. + c. (4.3) Conclusones: la barra de hormgón armado pretensado al estar prevamente trabajando a compresón, como consecuenca del pretensado, mejorará su capacdad para resstr maores esfueros a traccón. Ésta conclusón se puede aprecar a través del dagrama tensones-deformacones: f u Resstenca a la traccón ε f u Resstenca a la traccón ε g ormgón normal ormgón pretensado 14

15 Seccón 4.4: Resolucón de casos hperestátcos jemplo 4º: Defectos de montaje Se quere montar la estructura que se ndca en la fgura 4., que estará formada por tres barras del msmo materal ( Kg/cm ) de la msma seccón ( cm ). as barras se deberán artcular en 1 3 g. 4. l tratar de efectuar el montaje se observa que la barra central 1, en lugar de tener la longtud, tene de longtud: +, con lo cual al r a acoplarlas en, se dará la sguente stuacón: 1 3 g. 4.1 Se supone que el valor de es pequeño el montador, en lugar de serrar la barra 1 para elmnarlo, aplca un esfuero de traccón a las barras 3, alargándolas hasta hacerlas concdr con el etremo de la barra 1. Una ve acopladas las tres barras en, lbera a las barras 3 del esfuero a las que la sometó. Como consecuenca de ello, las barras 3 que estaban alargadas, tratarán de acortarse arrastrarán con ellas a la barra1 comprméndola. nalmente tendremos las tres barras acopladas en el punto. 1 3 g

16 Tema 4: Traccón - Compresón sí pues, debdo al montaje se han ntroducdo esfueros (tensones) en las tres barras. Planteemos el cálculo de los valores de esos esfueros: stablecamos el equlbro de fueras de las tres barras en el punto : 3 1 bservacón: al ser las deformacones pequeñas se supondrá que el ángulo que forman las barras nclnadas 3, al quedar undas en, es. cuacones de equlbro: Incógntas: 1,, 3. sen. sen 3.cos +.cos 1 3 (4.4) s un CS IPRSTÁTIC!, tene barras de más. Se añadrá una ecuacón de deformacón a ecuacón de deformacón a plantear será una que relacone el alargamento de las barras 3 con el acortamento de la 1. Para ello en la sguente fgura se ha amplado el detalle de las unones de las barras. de la fgura se pueden obtener las sguentes relacones: 3. cos δ δ.cos cos cos δ 1 g. 4.3 (4.5) resolvendo el sstema formado por las ecuacones: (4.4) (4.5), se obtendrán: 1,, 3 dvdendo por las áreas de las seccones de las barras, se obtendrían: 1,, 3 16

17 Seccón 4.5: Recpentes a presón Conclusones: las tensones que estarán sometdas las barras de la estructura cuando tengan que soportar una carga determnada, se le añadrán estas tensones debdas al montaje como normalmente éstas no estaban prevstas en el dmensonamento de las barras por el proectsta de las msmas, la estructura podría llegar a fallar RCIPITS PRSIÓ as formas más comunes de los recpentes a presón para contener líqudos o gases a presón en su nteror, son las esfercas las clíndrcas. Dstncón entre recpentes a presón de pared delgada de pared gruesa: e r r e r m e espesor r e rado eteror r rado nteror r m rado medo ( r e + r ) / r rado en una poscón cualquera r PRD DGD: r m 1.e g. 4.4 PRD GRUS: r m 1.e RCIPITS PRSIÓ D PRD DGD : Dado que el espesor e de la pared es pequeño en relacón con el rado, la pared del depósto se comportará como s fuese una membrana no tendrá resstenca a la fleón. as tensones están dstrbudas unformemente a través del espesor de la pared no tenen componente radal. Recpentes esfércos de pared delgada: Debdo a la presón nteror p, un elemento de esfera estará sometdo a las tensones ndcadas en la fgura. Dada la smetría de la esfera las tensones serán unformes a lo largo de toda ella tensón anular p presón nteror g

18 Tema 4: Traccón - Compresón Secconando la esfera por la mtad planteando el equlbro de fueras de una de las dos partes secconadas, se tendrá: e ppresón r m r m g π. rm. e p. π. rm p. r m. e Área proectada sobre la que actúa p (4.6) Recpentes clíndrcos de pared delgada: tensón longtudnal tensón anular p presón nteror g. 4.7 Debdo a la presón p en el nteror del clndro, un elemento de clndro estará sometdo a las tensones 1 ndcadas en la fgura. Secconando transversalmente el clndro planteando el equlbro de una de las partes secconadas, se tendrá: e p 1 r m g. 4.8 Área sobre la que se proecta p 1.. π. rm. e p. π. rm 1 p. r m. e (4.7) 18

19 Seccón 4.5: Recpentes a presón Secconando ahora longtudnalmente el clndro estudando el equlbro de una de las partes: e p.r m g. 4.9 Área proectada sobre la que actúa p... e p.. rm. p. r m e (4.8) RCIPITS PRSIÓ D PRD GRUS : n este caso, al ser maor el espesor de la pared del depósto, no se podrá asmlarlo a una membrana las tensones tendrán ahora tambén componente radal no serán unformes a lo largo del espesor de la pared Para este caso nos lmtaremos a epresar las fórmulas de cálculo sn su demostracón. Recpentes esfércos de pared gruesa: 3 tensón anular 3 tensón radal p presón nteror g. 4.3 Debdo a la presón en el nteror de la esfera, un elemento de ésta estará sometdo a las tensones 3 ndcadas, tensones que ahora no serán unformes a lo largo del espesor de la pared. Sus valores son: 19

20 Tema 4: Traccón - Compresón Tensón para una poscón r cualquera Tensón máma p. r.( re +. r ) r.( r r ) e MX 3 3 p.( re +. r ) 3 3.( r r ) e (se dará en los puntos de la superfce nteror) p. r.( re r ) r.( r r ) e (4.9) 3 MX p (4.3) (se dará en los puntos de la superfce nteror) Recpentes clíndrcos de pared gruesa: tensón longtudnal tensón anular 3 tensón radal p presón nteror g Tensón para una poscón r cualquera Tensón máma p. r 1 1MX re r re r p. r.( r + r ) (unforme en todos los puntos de la pared) p.( r e e MX r.( re r ) re r p. r + r (se dará en los puntos de la superfce nteror) ) 3 p. r r.( r e.( re r r ) ) (4.31) 3 MX p (4.3) (se dará en los puntos de la superfce nteror)

21 Seccón 4.6:Introduccón al dmensonamento a resstenca de elementos metálcos a traccóncompresón 4.6.-ITRDUCCIÓ DIMSIMIT RSISTCI D MTS MTÁICS SICITDS TRCCIÓ-CMPRSIÓ (ormatva DB-S-) l propósto de esta asgnatura tal como ndcamos en el tema de Introduccón, es la de dar unos conocmentos base para poder calcular las tensones deformacones que se producen en el nteror de los cuerpos al someterlos a cargas eternas. Todo ello con el propósto de posterormente poder dseñar dmensonar los dversos elementos correspondentes a las structuras metálcas, de hormgón o de otros materales, lo que corresponderá a otras asgnaturas. o obstante con el objetvo de poder dar una aplcacón drecta a los conocmentos que se van adqurendo en esta asgnatura, se ndcarán los aspectos más generales, de forma smplfcada sn entrar en muchos detalles casuístcas, del dmensonamento a resstenca de elementos metálcos sometdas a traccón-compresón, según lo ndcado en la ormatva española: CT-DB-S-. (Para más detalles de este dmensonamento ver la ctada ormatva). Para el dmensonamento a resstenca de elementos metálcos habrá que hacer varas comprobacones: unas relatvas a las seccones de las peas otras relatvas a las propas barras. RSISTCI D S SCCIS TRCCIÓ-CMPRSIÓ n la seccón 3. se ndcaron los crteros a utlar para los dmensonamentos elástco plástcos. n esta seccón los aplcaremos al caso de la Traccón-Compresón 1.-Crtero elástco de dmensonamento: ste crtero no se podrá aplcar al caso de la Traccón-Compresón, dado que en este tpo de solctacones, al tener todos los puntos de la seccón la msma tensón, todos llegarán a la ve a alcanar la tensón del límte elástco f..-crtero plástco de dmensonamento: Consderemos una seccón en la que todos sus puntos haan alcanado la tensón del límte elástco (ver fg. 4.3) G f d pl,d.f d f d f d cte f d g. 4.3 bservacón: Se ha tomado la tensón del límte elástco, a mnorada: f d (seccón 3.6. ecuacón 3.15) 1

22 Tema 4: Traccón - Compresón Se denomna resstenca plástca de una seccón a traccón o compresón: ( pl,d) al valor: pl,d.f d (4.33) sí pues para la comprobacón a resstenca de una seccón trabajando a traccón, se aplcará la fórmula: sendo: *. f pl, d *.γ (ver seccón 3.6, ecuacón 3.17). l valor de se obtendrá del dagrama de esfueros d (4.34) pl,d.f d la resstenca plástca de la seccón para el cálculo 3.-Crtero de Von Mses de dmensonamento: S aplcásemos el crtero de dmensonamento de Von-Mses (seccón 3.7), llegaríamos al msmo resultado. n efecto, la ecuacón (3.6) de Von Mses es: τ f * * * * * d * * * * * sendo : τ susttuendo * * f d o lo que es lo msmo. f d la msma epreson del crtero plástco de dmensonamento RSISTCI D S BRRS TRCCIÓ-CMPRSIÓ a resstenca de las barras a traccón o compresón serán las msmas que las de sus seccones, es decr la resstenca plástca de su seccón: pl,d. o obstante s la barra estuvese trabajando a compresón, habría que estudar además su posble nestabldad o pandeo, lo que estudaremos en el tema nº 1 de esta asgnatura.