AYUDA PARA EL PROGRAMA "MULTIVARIATE CONTROL CHARTS SIMULATOR".

Transcripción

1 AYUDA PARA EL PROGRAMA "MULTIVARIATE CONTROL CHARTS SIMULATOR". Índce. 1. Introduccón. 2. Prmera aproxmacón al programa. 3. Característcas adconales. 4. Lmtacones del programa. 5. El caso especal unvarante. 6. Referencas. 1. Introduccón. La fnaldad del programa "Multvarate Control Charts Smulator" es proporconar al usuaro una herramenta senclla, pero a la vez potente, capaz de estudar el comportamento de los gráfcos de control de caldad multvarante más ctados en la bblografía. En concreto, los gráfcos mplementados son: El gráfco MEWMA (Multvarate Exponentally Weghted Movng Average Control Chart). Lowry, Woodall, Champ y Rgdon (1992). El gráfco MC1 (gráfco CUSUM multvarante). Pgnatello y Runger (1990). El gráfco MCUSUM (gráfco CUSUM multvarante). Croser (1988). A su vez, es posble combnar cada uno de estos tres gráfcos con el T 2 de Hotellng, obtenendo de esta forma ses posbles opcones a elegr. Los tres gráfcos anterormente 1

2 ctados pueden smularse para el caso unvarante, es decr, cuando sólo se controla una característca de caldad. De esta forma el programa tambén puede smular el gráfco EWMA, y los casos unvarantes del MC1 y MUSUM, que resultan ser gráfcos de sumas acumuladas muy potentes, con una potenca ncluso superor al gráfco CUSUM. Además, estos gráfcos unvarantes pueden combnarse con el gráfco X de Shewhart. El programa proporcona medante smulacón la sguente nformacón: ARL (Average Run Length) y SDRL( Standard Devaton of Run Length) para un descentrado (dstanca de Mahalanobs) determnado. Hstograma de los valores de RL (Run Length). Funcón de dstrbucón de los valores de RL. Comparacón del hstograma y de la funcón de dstrbucón de RL con el gráfco T 2 de Hotellng, caso multvarante, o con el gráfco de Shewhart (caso unvarante). Como se explca con detalle más adelante, se ha cudado la forma en que el usuaro puede almacenar la nformacón que proporcona el programa. En concreto, el usuaro puede: Copar al portapapeles los resultados obtendos en la smulacón. Obtener opconalmente un fchero de texto con los resultados de la smulacón, ncluyendo todos los valores de RL obtendos. Copar al portapapeles el hstograma que muestra la dstrbucón de los valores de RL, para así poder utlzarlo en otras aplcacones. 2

3 2. Prmera aproxmacón al programa. La fgura 1 muestra el contendo del programa cuando se ejecuta el fchero Mcharts.exe, cuyo cono es, sn cambar las opcones que aparecen por defecto. Como puede verse, el programa empeza preparado para smular el gráfco MEWMA, con la opcón de utlzar la fórmula asntótca para la matrz de varanzas covaranzas de los valores de Z, es decr, Σ Z r = Σ. S se seleccona la opcón "Exact", tal y como se 2 r r 1 (1 r) r [ ] muestra en la fgura 2, la matrz utlzada es Σ = Σ Z 2 2. Los tres gráfcos smulados requeren sempre una nformacón que se ha agrupado bajo el nombre de "General Inputs". La fgura 3 muestra estos valores ha ntroducr. Como puede verse, se trata del número de varables, p (tres varables en el ejemplo que se muestra), el tamaño de muestra, n (1 ítem por muestreo), la dstanca de Mahalanobs, d (d = 1) y el número de rachas en el gráfco a smular (5000). El usuaro puede cambar estos valores a dscrecón, con la únca lmtacón de que el número de rachas ha de ser nferor o gual a 25000, y que el número de varables ha de ser menor o gual a 30, con excepcón del gráfco MC1, dónde está lmtado a 20. Recordemos al lector que en los ses gráfcos que se smulan la potenca depende del valor 2 λ = nd. Por tanto, las combnacones de n y d que proporconen el msmo λ producrán los msmos valores de ARL 1. 1 El caso unvarante es explcado con detalle en el apartado 5 de esta ayuda. 3

4 Fgura 1. 4

5 Fgura 2. Fgura 3. A contnuacón se ntroducen los datos necesaros para smular el gráfco selecconado. El programa sólo permte ntroducr los datos para el gráfco elegdo. En el ejemplo, como el gráfco selecconado es el MEWMA, se ha de ntroducr, ver fgura 4, el valor del límte de control (11.52 en el ejemplo mostrado), el valor de r (0.16) y el tpo de matrz (asntótca). Los valores que aparecen por defecto (para los tres gráfcos sn combnar con el T 2 ) son los que producen, aproxmadamente, un valor de ARL = 200 para p = 3 y d = 0. Fgura 4. En el caso de que se desee smular el gráfco selecconado combnandolo con el T 2 de Hotellng (o con el X en el caso unvarante), se debe selecconar la caslla correspondente, actvándose la opcón de ntroducr el límte de control para el gráfco de Hotellng. La fgura 5 muestra este proceso. Fgura 5. 5

6 Con los datos ntroducdos hasta ahora ya podemos smular el gráfco. Para ello hay que hacer clck en el botón, o apretar "Enter". La fgura 6 muestra los resultados obtendos para un ejemplo. Los valores de la smulacón se encuentran en la ventana "Results" (fgura 7). La ventana "Results" puede ser modfcada por el usuaro (puede escrbr en ella) y puede copar el contendo que seleccone con el ratón de esta ventana al portapapeles de Wndows. Además, s se realzan varas smulacones, el contendo de todas ellas se queda almacenado en esta ventana. Es posble ver todo el contendo utlzando las flechas de desplazamento, como en cualquer ventana de Wndows. 6

7 Fgura 6. 7

8 Fgura Característcas adconales. 3.1 Grabacón de los resultados en un archvo. El programa permte grabar los resultados de la smulacón en un archvo cuyo nombre elge el usuaro. Al selecconar la opcón "Wrte to a Fle" (fgura 8) se actva la opcón de escrbr el nombre del fchero. Fgura 8. S no se ndca la trayectora antes del nombre del fchero, el archvo se crea en el carpeta donde se ejecuta el programa. El fchero es de tpo "texto" y puede ser edtado con cualquer edtor de archvos texto. La fgura 9 muestra el contendo de este archvo para una smulacón efectuada con el gráfco MC1. S el usuaro quere obtener los valores de RL producdos en la smulacón, sólo tene que coparlos de este fchero, a partr de "Follow 8

9 Run Length Values". Por últmo, destacar que sólo se produce la grabacón del archvo después de apretar "Start", es decr, después de realzar una smulacón. Fgura Dstrbucón de los valores de RL. El gráfco "RL Dstrbuton" muestra al usuaro el hstograma obtendo con los valores de RL para el ejemplo smulado. El gráfco que ha sdo selecconado se representa en color rojo. En azul, aparece la dstrbucón de los valores de ARL para el gráfco T 2 con las 9

10 sguentes condcones: 1) Se utlza como valor de ARL bajo control para el gráfco T 2 el ntroducdo en. 2) Los valores que se dbujan del gráfco T 2 corresponden al valor de 2 λ = nd ntroducdo por el usuaro en "General Inputs". 3) Cada vez que se cambe el valor de ARL bajo control la curva para T 2 se vuelve a dbujar. Así pues, para que la comparacón entre ambos gráfcos, el selecconado por el usuaro y el T 2, sea justa, se debe fjar para el gráfco T 2 el valor de ARL bajo control que tenga el gráfco selecconado cuando d = 0. A partr de ese momento podemos hacer comparacones para dstntos valores de λ. El usuaro debe tener en cuenta que el hstograma mostrado reproduce de forma aproxmada la dstrbucón de los valores de RL. Resulta mucho más precso utlzar la nformacón que se obtene en la funcón de dstrbucón para realzar cálculos sobre cómo se dstrbuyen estos valores. Los valores dbujados para el gráfco T 2 no son calculados por smulacón, sno empleando la dstrbucón ch-cuadrado no central 2. Tambén con esta dstrbucón se calcula la funcón de dstrbucón de los valores de RL para el gráfco T 2. Por ejemplo, ndca que el 6.7 % de los valores de RL son guales o nferores a 10, para los valores de ARL bajo control y de λ que el usuaro ha ntroducdo prevamente. Cada vez que cambemos el punto donde queremos obtener la funcón de dstrbucón, se calcula su valor en ese punto. En el caso del gráfco selecconado este cálculo se realza con los datos de la smulacón, y aparece en. Así pues, en este ejemplo mostrado, el 33.81% de los valores smulados son guales o menores que 15. Tambén aquí se recalcula el valor de la funcón de dstrbucón cada vez que se cambe el punto a calcular. 2 En el caso unvarante se emplea la dstrbucón normal. 10

11 3.3 Opcones avanzadas en el gráfco "RL Dstrbuton". A contnuacón se comentan algunas característcas avanzadas que posee el gráfco "RL Dstrbuton" Número de barras para el hstograma. El programa seleccona el número de barras para el hstograma de forma automátca, realzando unos cálculos nternos. Esta característca suele funconar correctamente, sempre que el número de valores de RL smulados sea sufcentemente grande (aprox. mayor de 1000). El usuaro puede modfcar el número de barras a su voluntad, utlzando la opcón. El cambo sólo se puede producr s el programa ya ha realzado la smulacón y ha calculado automátcamente un número de barras prevamente. El gráfco se redbuja cada vez que el usuaro camba el número de barras Copar el gráfco al portapales. S posconamos el puntero del ratón sobre el gráfco, y hacemos doble-clck, el gráfco se copa al portapapeles de Wndows. A partr de ese momento se puede pegar en cualquer otra aplcacón. La magen es del tpo "btmap". S la operacón se realza satsfactoramente se oye un sondo de confrmacón. 11

12 3.3.3 Zoom y desplazamento en el gráfco. Para realzar zoom en una zona del gráfco hay que selecconarla con el ratón, elgendo prmero la esquna superor zquerda de la zona a amplar, y termnar con la nferor derecha. Se puede realzar zoom varas veces. Para volver al gráfco orgnal hay que selecconar con el ratón un área rectangular (cualquer área del gráfco), como s quséramos hacer zoom, pero empezando por la esquna nferor derecha y termnando por la superor zquerda. Esta operacón deshace todos los zooms que se huberan realzado. Podemos desplazar el gráfco arrba-abajo y/o derecha-zquerda s mantenemos pulsado el botón derecho del ratón sobre el gráfco y movemos el ratón. S queremos volver al gráfco ncal debemos realzar la msma operacón descrta anterormente para deshacer el zoom. 4. Lmtacones del programa. Por razones de memora se han lmtado el número de varables a 30, salvo para el gráfco MC1 (que requere un almacenamento de datos mucho más costoso) donde se ha lmtado a 20. Por la msma razón se ha lmtado el número de rachas a para todos los gráfcos. En cuanto a la longtud de racha máxma que admte el programa durante la smulacón tenemos los dos sguentes casos: 1) Gráfco MC1. Longtud máxma = S se sobrepasa este valor durante la smulacón de este gráfco aparece una ventana de avso (fgura 10). En ese caso esa racha se descarta y se comenza con la smulacón de otra racha. Este problema sólo puede aparecer cuando el valor de ARL bajo control sea elevado y d = 0. 12

13 Fgura 10. 2) Resto de gráfcos. Longtud Máxma = Este valor corresponde al entero más grande posble con 32 bts. 5. El caso especal unvarante. Como ya se comento anterormente, es posble utlzar este programa para el caso unvarante, p = 1. El gráfco MEWMA se converte entonces en el gráfco EWMA. El programa no utlza una rutna especal para smular el EWMA, sno que se utlza la msma rutna que para el MEWMA. El gráfco MEWMA tene como procedmento de cálculo el sguente: S X r es el vector de medas muestrales obtendo en el muestreo -ésmo, calcularemos el vector Z r como: r Z r r = rx + ( 1 r) Z 1 Con Z r 0 = 0. El estadístco a dbujar T 2 tene como expresón: T r = Z Σ 2 1 Z r Z El gráfco muestra señal de falta de control cuando T 2 > CL, donde CL > 0. 13

14 S ahora hacemos p = 1, las expresones anterores quedan de la sguente forma: Z = rx + ( 1 r) Z 1 T = Z Z = Z 2 2 Téngase en cuenta que para la smulacón se utlzan valores tpfcados. Así pues, s utlzamos la msma subrutna que en el MEWMA para p = 1, tenemos que estamos smulado el gráfco EWMA al cuadrado. Por tanto, hay que utlzar como límte de control en la procedmento que utlza el programa el cuadrado del valor que se utlzaría en el EWMA. Sn embargo, el usuaro debe utlzar los valores habtuales de límte de control para el EWMA, ya que nternamente se elevan al cuadrado (sólo cuando p = 1) para poder utlzar la msma rutna de smulacón que en el MEWMA. En resumen, el usuaro puede smular el EWMA con los valores de límte de control y de parámetro r que aparecen recomendados en la bblografía de control de caldad unvarante. En cuanto a los gráfcos MC1 y MCUSUM, es posble utlzarlos cuando p =1. En la bblografía no aparecen estudadas sus propedades para el control de una sola varable. En las smulacones realzadas se ha comprobado que tenen una potenca mejor que el gráfco CUSUM, tal y como se muestra más adelante. Así pues, descrbamos estos gráfcos cuando p = 1. El gráfco MC1 tene por procedmento, para cualquer valor de p, el sguente: Sea X r j el vector de medas muestrales obtendas en el muestreo j. En prmer lugar, se calcula el vector D, correspondente al últmo muestreo realzado, muestreo -ésmo. 14

15 r D = r X j j= l + 1 El valor a dbujar es MC, que tene por expresón: MC = max r 1 2 { 0,( D Σ D ) } 1 / k l r 2 2 donde k 2 > 0 y l = l , s MC -1 > 0 l = 1, en caso contraro. Se produce una señal de falta de control tan pronto como MC > h 3, donde h 3 > 0. Cuando p = 1, las anterores expresones quedan, para el caso de que se utlcen valores tpfcados de la varable que se está controlando, MC = max D = X j j= l { 0,( D D ) 1/ k l } = max{ 0, D k l } sendo la expresón para l la msma que en el caso anteror. En este caso resulta evdente que no se requere elevar al cuadrado los valores del límte de control para poder utlzar la msma subrutna en la smulacón, puesto que al valor que se obtene en la forma cuadrátca se le aplca sempre la raíz cuadrada. En el caso del gráfco MCUSUM, se descrbe a contnuacón su expresón general, para cualquer valor de p. Se calcula el vector C, que tene por expresón: 15

16 r C r r r r 1 ( S + X ) Σ ( S + X ) = 1 1 1/ 2 Los valores de S son: r S S r r = 0 s C k1 r r r r = ( S 1 + X )(1 k1 / C ) s C > k1 donde S 0 = 0 y k 1 > 0. El valor que se dbuja, Y, tene por expresón: Y = r r 1 ( S Σ S ) 1/ 2 El gráfco muestra señal de falta de control cuando Y > h 2, sendo h 2 > 0. Cuando p = 1, obtenemos: 1/ 2 {( S + X )( S + X )} = ( S X ) C + = S = 0 s C k1 S = ( S 1 + X )(1 k1 / C ) s C > k1 1/ 2 ( SS ) S Y = = Así pues, obtenemos tambén un gráfco unvarante de sumas acumuladas. Tambén aquí no resulta necesaro programar una rutna específca para el caso unvarante, n es necesaro elevar el valor de límte de control al cuadrado, pues tambén en este caso la rutna se encarga de hallar sempre la raíz cuadrada del estadístco a dbujar. Para los tres gráfcos unvarantes que puede smular este programa la dstanca de Mahalanobs se converte en el parámetro de descentrado δ m m 0 1 =, donde m 0 y σ 0 son σ 0 16

17 la meda y desvacón típca del proceso cuando este se haya bajo control, y m 1 es la meda cuando el proceso se haya fuera de control. Este valor de δ se ntroduce en el programa en el lugar correspondente a la dstanca de Mahalanobs. Por últmo, señalar que es posble añadr a estos gráfcos unvarantes el uso combnado de, en este caso, el gráfco X de Shewhart. Por otra parte, cuando se ntroduce en el programa el valor "1" en la caslla correspondente al número de varables, se modfcan los textos del programa donde aparecía "T 2 ", que se converten a "X". Como prueba de la efcaca de los gráfcos de sumas acumuladas unvarantes que smula el programa, se reproduce a contnuacón una comparacón de su potenca con respecto al gráfco CUSUM. Los tres gráfcos tene un valor de ARL bajo control gual a 168. Los valores para el CUSUM han sdo obtendos de Lucas y Croser (2000). Los valores para MC1 y MCUSUM han sdo obtendos por smulacón con el programa Mcharts.exe con rachas. No se ha empleado el "Fast Intal Response" en nnguno de estos gráfcos. δ CUSUM h = 4; k = 0.5; S 0 = 0 MC1 CL =3.64; k 2 = 0.5 MCUSUM CL = 3.729; k 1 =

18 6. Referencas. Croser (1988). Multvarate Generalzatons of Cumulatve Sun Qualty Control Schemes. Technometrcs, 30. Lowry, Woddall, Champ and Rgdon (1992). A Multvarate Exponentally Weghted Movng Average Control Chart. Technometrcs, 34 (1). Lucas and Croser (2000). Fast Intal Response for CUSUM Qualty-Control Schemes: Gve your CUSUM a Head Start. Technometrcs, 42 (1). Pgnatello and Runger (1990). Comparsons of Multvarate CUSUM Charts. Journal of Qualty Technology,