INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DE SUPERPOBLACIÓN EN LAS TÉCNICAS DE MUESTREO CON PROBABILIDADES DESIGUALES

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1 Metodología de Encuestas ISSN: Vol 4, Núm 1, 00, INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DE SUPERPOBLACIÓN EN LAS TÉCNICAS DE MUESTREO CON PROBABILIDADES DESIGUALES Gonzalo Sánchez-Crespo Insttuto Naconal de Estadístca RESUMEN Los modelos de superpoblacón pueden concebrse como estrategas para la cuantfcacón de la representatvdad del error cuadrátco medo de una estmacón. La mportanca que tene el estudo de la representatvdad en los entes estadístcos hace aconsejable utlzar los modelos de superpoblacón en lugar de los cláscos, para las nvestgacones por muestreo. En este trabajo se presentan los modelos de superpoblacón orentados al muestreo con probabldades de seleccón desguales. Palabras clave: modelos de superpoblacón, muestreo con probabldades desguales, reposcón parcal, POSDEM.

2 88 G. Sánchez-Crespo Introduccón En este artículo vamos a realzar una ntroduccón sobre la forma de evaluar dstntas técncas de probabldades desguales al tempo que mostraremos la necesdad de utlzar modelos de superpoblacón al dseñar una nvestgacón por muestreo, para cuantfcar la representatvdad de la varanza o del error cuadrátco medo de una estmacón y poder elegr el método de muestreo que mejor se adapte a una determnada nvestgacón. La ntucón nos hace desconfar de la estmacón obtenda del error de muestreo (Error cuadrátco Medo ECM con una únca muestra, entre otros motvos porque la estmacón del ECM tene a su vez un error de estmacón. Para ver esto de forma senclla, pensemos en que s, por casualdad, en una determnada nvestgacón se obtene una muestra completamente homogénea, su error de muestreo, calculado con los datos obtendos de esa muestra concreta, será cero. Esto nos alerta sobre los procedmentos de cálculo del error de muestreo utlzando métodos basados úncamente en el contendo de una sola muestra, sabendo que, en este caso, el problema tampoco se resuelve utlzando técncas de remuestreo. Por otro lado, tambén tendremos que preguntar por la representatvdad de la estmacón del error de muestreo obtenda cuando podemos acceder a formar todo el espaco muestral en base a una únca poblacón. En este caso se deja de consderar que la poblacón marco está sujeta a varacones o errores aleatoros. Por ello, necestamos calcular el ECM tenendo en cuenta su heterogenedad y la posble varabldad aleatora de la poblacón, esto es sus posbles "cambos aleatoros". De ahí que obtengamos un modelo que defne y que genera poblacones con lo que podríamos llamar el molde de las poblacones que se pueden generar de una determnada clase (que por comoddad llamaremos superpoblacón pero que debera llamarse suprapoblacón. Con este modelo sí puede calcularse el ECM y su establdad. Esto nos proporcona una cota superor de error que ncluye ambos conceptos y que nos permte tener un ndcador de la representatvdad de determnadas estmacones obtendas con determnados métodos de seleccón y estmacón. Esto hay que acompañarlo con que, además, exsten métodos de muestreo especalmente sensbles a los cambos en la varabldad señalada y a los cambos en los supuestos en los que se basan. En ellos, aplcar un esquema de superpoblacón permte dsponer de estmacones más robustas, elgendo el más dóneo. Para lustrar estos conceptos y defnr alguno de los ndcadores propuestos, se va a desarrollar este tema utlzando dos ejemplos hpotétcos. Por últmo, se presenta aberta una vía de nvestgacón para la formulacón teórca de los resultados obtendos medante procesos de smulacón, referentes al valor esperado respecto del modelo de superpoblacón de la varanza del estmador del ECM. Evaluacón de métodos de muestreo Para evaluar los métodos de muestreo, utlzaremos un modelo de superpoblacón adaptado a la poblacón que queremos nvestgar. Con ello, se evta obtener resultados poco robustos o ncluso anecdótcos. En el caso de los estmadores utlzados en las

3 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo lustracones de este artículo, al ser nsesgados concden los conceptos de error cuadrátco medo del estmador y varanza del estmador, por lo que utlzaremos ambos térmnos: ECM xˆ E xˆ X ( ( El programa POSDEM (Sánchez-Crespo y Lezcano, 1999; Mateo, 000 obtene la estructura de la poblacón marco ajustando los datos con el método de los polnomos ortogonales. Posterormente es posble generar poblacones defndas por el modelo y calcular el ECM para cada poblacón y especfcacones del método de muestreo consderado. La meda del ECM calculada sobre el conjunto de las poblacones generadas, se puede consderar como una aproxmacón del valor esperado del ECM bajo un enfoque de superpoblacón. E [ ECM ( xˆ ] G g 1 ECM donde g 1,,...G representa el conjunto de poblacones fntas generadas con el modelo. Este procedmento de evaluacón está en relacón con el trabajo de Bellhouse y Rao (1975. Los resultados obtendos para modelos con grados uno y dos son concdentes con los dervados teórcamente por éstos. La varanza sobre el modelo se consdera la medda de la acuracdad del ECM. Vene dada por la expresón: V [ ECM ( xˆ ] G ( xˆ G ( ECM ( xˆ g E [ ECM ( xˆ ] g 1 Para evaluar los métodos de muestreo, utlzaremos un límte superor de confanza que tene en cuenta el valor esperado del ECM E G [ ECM ( xˆ ] y su desvacón. V ECM ( xˆ Es decr: E [ ] [ ECM ( x ˆ ] + 1,96 V [ ECM ( xˆ ] que permte dsponer de un límte de confanza que contendrá el ECM, al menos en un 95 de cada 100 poblacones generadas o potencalmente posbles de encontrar en el trabajo de campo. g

4 90 G. Sánchez-Crespo Muestreo con probabldades proporconales al tamaño Consderemos una poblacón compuesta por N undades, que queremos nvestgar medante una muestra. Representaremos cada undad por u, con 1,,...N. S dentro de cada una de estas undades, nteresa medr una característca desconocda, X, que tene asocada otra característca conocda, M, podemos utlzar la nformacón auxlar para mejorar el dseño de la nvestgacón. Para este caso lustratvo, consderamos una agenca que debe nspecconar cuatro expedentes de gasto, para conocer cuál es la cantdad de dnero que se ha gastado ndebdamente. Para esta labor nspectora, debdo a seros recortes presupuestaros y dado que el trabajo debe ser termnado en un breve espaco de tempo, la agenca no dspone de los medos necesaros para nvestgar la totaldad de los expedentes. Debdo a ello úncamente podrá nvestgar dos de los cuatro menconados. Exsten dstntas formas de elegr qué undades deben ser nvestgadas. En funcón del método de seleccón que se elja, el estudo será más o menos precso. Por tanto el objetvo ncal es elegr entre dstntos métodos de seleccón de muestras, de forma que el error cometdo debdo a que no se cubre toda la poblacón sno sólo una parte, sea el menor posble. Para responder a esta cuestón sobre qué método de seleccón es preferble, se plantea un escenaro smulado. Para ello, suponemos que la nformacón buscada, X, está ya dsponble, y que los datos de los cuatro expedentes son los que fguran en el cuadro 1. X M 1 1 Cuadro 1: relacón entre undades y tamaños. donde X representa el número de mllones que se han gastado ndebdamente en cada uno de esos expedentes y M representa una varable de clasfcacón según el tamaño del gasto total del expedente -ésmo. Tanto el tamaño de poblacón como los datos de X y de M consttuyen una smplfcacón con fnes lustratvos. En la últma parte de este artículo, se hará una smulacón más general. Elegr las undades que van a formar parte de la muestra con probabldades proporconales a una varable auxlar en este caso el tamaño de cada undad, es un proceso probablístco que puede representarse con un esquema de urnas (véase fgura 1: por cada undad, se ntroducen en la urna tantas bolas como nos ndque la varable auxlar. Después, cada undad es selecconada en funcón de s la bola que la representa es o no extraída. S el esquema de seleccón es con reposcón, después de cada extraccón devolvemos la bola a la urna y, por tanto, ésta permanecerá nvarable. S el esquema de seleccón fuese sn reposcón, entonces evtamos que una undad pueda volver a ser selecconada, sacando de la urna todas las bolas que la representan. Para comparar los resultados que vamos a obtener con el caso más smple de muestreo aleatoro donde las probabldades de seleccón de cada undad son guales, tendremos que, según se observa en el cuadro, M 1,. En tal caso, los cuatro expedentes están gualmente representados por una únca bola en la urna. Por tanto, la probabldad de ser selecconados es déntca para cualquera de ellos.

5 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo Fgura 1: esquema de urnas con seleccón proporconal al tamaño. X M Cuadro : relacón entre undades y tamaños. Para este caso, se puede comprobar fáclmente que tanto la varanza del estmador como su propa varanza toman los valores que fguran en la tabla 1. Tabla 1: varanzas en funcón del modelo de seleccón con probabldades guales. Métodos V ( xˆ V Vˆ ( xˆ Los cálculos realzados para obtener la varanza del estmador del total se basan en la expresón V ( xˆ k ( xˆ j x Mentras que, para la varanza del estmador de la varanza, se recurre a: V ( Vˆ ( xˆ j 1 k k ( Vˆ ( xˆ j V ( xˆ j 1 k [ ] Con reposcón 1 13,00 Sn reposcón 6,67 3,89

6 9 G. Sánchez-Crespo sendo k el número de muestras posbles. Para responder a la pregunta sobre s puede dsmnur la varanza del estmador al utlzar la nformacón auxlar sobre el tamaño de los expedentes, cambando las probabldades de seleccón, vamos a suponer que consderamos todas las M 1 menos M 4. Los nuevos resultados se muestran en la tabla. Tabla : varanzas en funcón del modelo de seleccón con probabldades proporconales al tamaño. [ ] Métodos V ( xˆ V Vˆ ( xˆ Con reposcón 5,00 43,75 Sn reposcón 4,17 75,35 Como puede observarse, la varanza del estmador ha dsmnudo respecto a los procedmentos con probabldades guales. Además, podemos observar que, en contra de lo que ocurría en el caso de muestreo con probabldades guales, la varanza del estmador de la varanza es menor para el modelo con reposcón que para el modelo sn reposcón. Vemos, con este caso lustratvo, que es posble obtener una menor varanza del estmador modfcando las probabldades de seleccón. No obstante, s no dsponemos de una nformacón auxlar convenente, es posble que se presenten resultados ndeseables, al partr de un modelo nadecuado. Por ejemplo, s por alguna razón contamos con tamaños asocados con cada undad que fguran en el cuadro 3, se generarían los resultados que se muestran en el cuadro 3. X M Cuadro 3: undades de tamaño desgual. Tabla 3: resultados para el cuadro 3. [ ] Métodos V ( xˆ V Vˆ ( xˆ Con reposcón 51,50 Sn reposcón 1,50 384,38 Vemos como, en este caso, al utlzar probabldades proporconales al tamaño, los resultados han sdo peores que s hubésemos utlzado probabldades guales. Esto es, s la relacón exstente entre la varable auxlar y la varable de estudo no es proporconal, puede ser mejor utlzar probabldades guales.

7 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo Muestreo con reposcón y probabldades proporconales al tamaño S usamos un esquema de seleccón con reposcón y probabldades proporconales al tamaño (Cr_ppt, la probabldad de cada undad de pertenecer a una muestra de n undades es será np. Con ello, el estmador del total será: Xˆ Cr _ ppt 1 n Consderemos el ejemplo del cuadro 1. En tal caso, las posbles muestras junto con sus valores asocados X y M, el estmador obtendo para el total y la probabldad de cada muestra serán los que constan en la tabla 4. n 1 Tabla 4: resultados de las realzacones muestrales para un modelo con reposcón y probabldades proporconales al tamaño. U,U j X, X j M, M j X ˆ Cr _ ppt P(U,U j U 1, U 1 1, 1 1, 1 6,00 1/36 U 1, U 1, 1, 1 9, 00 1/18 U 1, U 3 1, 3 1, 7,50 1/9 U 1, U 4 1, 4 1, 1/9 U, U, 1, 1 1,00 1/36 U, U 3, 3 1, 10,50 1/9 U, U 4, 4 1, 1,00 1/9 U 3, U 3 3, 3, 1/9 U 3, U 4 3, 4, 10,50 /9 U 4, U 4 4, 4, 1,00 1/9 Total 1 X p La varanza del estmador del total vene dada por la expresón: V Cr _ ppt N 1 n 1 X p p X Así, en cada muestra podemos utlzar el estmador nsesgado para la varanza dado por: Vˆ n 1 Cr _ ppt n( n 1 1 X Xˆ p Cr _ ppt

8 94 G. Sánchez-Crespo Cuyos resultados correspondentes constan en la tabla 5. Tabla 5: varanzas del estmador según la seleccón medante un modelo con reposcón y probabldades guales al tamaño. U,U j V ˆ Cr _ ppt P(U,U j U 1, U 1 1/36 U 1, U 1/18 U 1, U 3,5 1/9 U 1, U 4 1/9 U, U 1/36 U, U 3,5 1/9 U, U 4 1/9 U 3, U 3 1/9 U 3, U 4,5 /9 U 4, U 4 1/9 Total 1 Sobre el conjunto de todas las muestras posbles tenemos los sguentes resultados: E ( ˆ X E [ Vˆ ( ˆ ] V ( ˆ X Cr _ ppt X Cr _ ppt X Cr _ ppt La tabla 6 muestra estas operacones en formato de hoja de cálculo. En ella vemos, V V Vˆ ˆ 9,5. como prncpales resultados, que ( ˆ,5 y que [ ( ] X Cr _ ppt X Cr _ ppt Tabla 6: resultados ntermedos en formato de hoja de cálculo. I A, B C, D E F G HFE JGE KE(G-ΣJ^ E(F-ΣH^ X, X j M, M j p(u, U j Xˆ Cr Vˆ Cr E Cr V Cr E[ Vˆ ] Cr V[ Vˆ Cr ] 1, 1 1, 1, 3 1, 4,, 3, 4 3, 3 3, 4 4, 4 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1,,,, 1/36 1/18 1/9 1/9 1/36 1/9 1/9 1/9 /9 1/9 6,00 7,50 1,00 10,50 1,00 10,50 1,00,5,5,5 0,17 0,50 0,83 1,00 0,33 1,17 1,33 1,00,33 1,33 0,44 0,06 0,69 0,11 0,11 0,03 0,44 0,11 0,06 0,44 0,50 0,5 1,00 0,5 0,50 0,17,35 0,01 4,69 0,17 0,01 0,69 0,69 0,01 0,69 Total 1,00 1,50,50 9,50

9 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo Muestreo sn reposcón y probabldades proporconales al tamaño Ahora, s usamos un esquema de muestreo sn reposcón y probabldades proporconales al tamaño, con las condcones de Brewer, tendremos donde X Sr _ ppt n X np ˆ con E [ Xˆ ] X Con ello, la varanza del estmador del total es V N [ Xˆ Sr _ ppt ] ( p p j pj j> Sr _ ppt X X p p Y el estmador nsesgado para la varanza con muestras de tamaño dos: p j V ˆ [ Xˆ ] Sr _ ppt ( p p j pj j > p j j j X X p p 1 ( p ( ( + p j M 1 p p D 1+ 1 p 1 p j M 1 p p p j N D j En el ejemplo que estamos sguendo las muestras posbles junto con sus correspondentes cálculos y estmacones venen dadas por la tabla 7, donde vemos, como prncpales resultados, que ˆ 1, V Vˆ ˆ 7, V [ ] 79 y que ( [ ] 74 X Sr _ ppt X Sr _ ppt Tabla 7: resultados ntermedos para el modelo de muestreo sn reposcón, con probabldades proporconales al tamaño. I A, B C, D E F G HFE JGE KE(G-ΣJ^ E(F-ΣH^ p X, X j M, M, p j, j Xˆ p(u,u j Cr Vˆ Cr E Cr V Cr E[ Vˆ ] Cr V[ Vˆ Cr ] 1, 1, 3 1, 4, 3, 4 3, 4 1, 1 1, 1, 1, 1,, 1/3 1/3 1/7 1/3 /3 1/7 1/3 /3 1/7 1/3 /3 1/7 1/ /3 1/7 /3 /3 3/8 7,50 10,50 1,00 10,50 1,00 1,5 5,00 1,5 0,38 0,43 1,07 1,9 1,50 1,71 4,00 0,05 0,89 0,14 0,04 0,57 0,10 0,57 0,18 0,71 0,18 0,14 4,97 0,04,48 0,04 0,46 0,76 Total 1,00 1 1,79 1,79 7,74 j j

10 96 G. Sánchez-Crespo El prncpal nconvenente de este método es que, en certos casos, el estmador de la varanza puede ser ndetermnado debdo a que p j puede tomar el valor cero. Además, pueden presentarse estructuras de poblacón que hagan que el estmador de la varanza tome valores negatvos, lo que no tene sentdo. Como ejemplo, puede comprobarse que para los valores: M 1,1,1,3 en el caso que estamos desarrollando, tendremos una varanza ndetermnada y para M 1,1,1,6 estmacones de varanza negatvas. Muestreo con reposcón parcal y probabldades proporconales al tamaño En este caso, se puede hacer la seleccón muestral con el sguente esquema: en la prmera seleccón se utlza la medda orgnal del tamaño M, suponendo que la undad U es selecconada con probabldad: N M p donde M M M Para la segunda seleccón, se utlza la medda reducda M -b, donde la constante b se defne como: mn M Mo b n 1 n 1 donde n es el tamaño de muestra y [ ] representa el entero más próxmo. La probabldad de la undad U en la prmera seleccón es u M p p 1ª seleccón M Para la segunda seleccón, tenemos para la probabldad ncondconal de u : p u j u + p 1ª seleccón u u en la1ª seleccón M M M M M + M b M M b M M M b M + M M ( M b bm M ( M b M ( M b p Con ello, la probabldad de que la undad u pertenezca a la muestra de tamaño dos es p. Así pues, el estmador para el total es

11 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo Su varanza V Xˆ Crp n X np ( N M nb X Xˆ 1 Crp p X M b n p Fnalmente, un estmador nsesgado de la expresón anteror para n, es Vˆ ( N M b Xˆ Crp 1 X 1 X M b 4 p1 p Los resultados correspondentes a los datos del ejemplo se muestran en la tabla 8, en donde vemos, como prncpales resultados, que V [ ˆ ], 0 y que V ( V ˆ [ ˆ ] 4, 4 X Crp X Crp Tabla 8: resultados ntermedos para el modelo de muestreo con reposcón parcal. I A, B C, D E F G HFE JGE KE(G-ΣJ^ E(F-ΣH^ X, X j M, M j p(u,u j Xˆ Cr Vˆ Cr E Cr V Cr E[ Vˆ ] Cr V[ Vˆ Cr ] 1, 1, 3 1, 4, 1,, 3, 4 3, 1 3, 3, 3 3, 4 4, 1 4, 4, 3 4, 4 1, 1 1, 1, 1, 1 1, 1 1, 1,, 1, 1,,, 1, 1,, 1/30 1/30 0 /15 /15 7,50 1,00 10,50 1,00 7,50 10,50 10,50 1,00 10,50 1,00 6,00 1,50 6,00 6,00 1,50 1,50 1,50 1,50 6,00 1,50 0,30 0,50 0,60 0,30 0,70 0,80 0,50 0,70 0,60 1,40 0,60 0,80 1,40 0,80 0,03 0,4 0,07 0,03 0,0 0,7 0,4 0,0 0,07 0,03 0,07 0,7 0,03 0,7 0,0 0,10 0,40 0,0 0,10 0,10 0,10 0,0 0,40 0,0 0,53 0,0 1,07 0,53 0,0 0,7 0,0 0,0 0,7 0,03 1,07 0,7 0,03 0,7 Total 1,00 150,0 1,00,00 4,40 En resumen y consderando los tres métodos en conjunto, cuyos resultados obtendos hasta el momento se encuentran en la tabla 9, se puede conclur que la varanza del estmador del total es más pequeña para Sr_ppt. Sn embargo, s observamos la varanza del estmador de la varanza, entonces el mejor resultado corresponde a Crp_ppt. Esto es

12 98 G. Sánchez-Crespo consecuenca de que el método Sr_ppt es más nestable al estmar la varanza. S comparamos los valores obtendos al aplcar la expresón meda más tres veces la desvacón típca, con el máxmo valor que toma el estmador de la varanza, podemos observar el efecto descrto de comportamento errátco del estmador de la varanza para el método Sr_ppt. Tabla 8: comparacón entre los tres métodos. V xˆ V V xˆ V xˆ Vˆ xˆ + 3 V Vˆ xˆ [ ] [ ] Métodos ˆ ( ˆ ( Máxmo ˆ ( ( ( Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt,5 1,7,0 9,5 7,7 4, ,7 10,1 8, Un modelo de superpoblacón sencllo Hasta el momento, hemos supuesto que conocíamos los valores que toma X y que éstos eran constantes. Es posble que, en realdad, estos valores esten afectados por errores en la observacón, en la medcón, cambos por el paso del tempo en certos casos u otras causas. La cuestón es que estos valores de X pueden consderarse afectados por una varabldad aleatora. En nuestro ejemplo, para lustrar que los valores de X son, en realdad, los resultados de una realzacón aleatora, vamos a suponerlos modelados por la sguente expresón: DISTR.NORM.INV(random(;;0. con 1,,3,4. Esta expresón proporcona unos valores aleatoros que se dstrbuyen según una normal de parámetros meda y desvacón típca 0. Una realzacón nos proporconaría los valores contendos en el cuadro 4. X 0,9856,0167,705 4,0679 M 1 1 Cuadro 4: realzacones aleatoras de undades. S repetmos la generacón aleatora ocho veces, tendremos ocho poblacones smlares en cuanto a estructura pero que presentan lgeras varacones aleatoras unas de otras. Los resultados para los métodos de seleccón consderados se muestran en la tabla 10. Gráfcamente, con la fgura, podemos observar que no es posble establecer en qué medda un método es preferble a otro con el análss de los datos de una sola poblacón, puesto que esa medda depende de la poblacón concreta que se analza. Las conclusones obtendas en cuanto a la varanza del estmador, tras analzar las poblacones fntas tres o cnco (PF3, PF5, serían muy dferentes. Queremos resaltar que, en este ejemplo, y a pesar de ser muy smlares unas poblacones a otras, la octava poblacón, que es la que hemos puesto en la tabla ncal de este apartado, presenta un comportamento dferente en cuanto a establdad que las otras sete poblacones consderadas. S nuestras conclu-

13 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo sones se basaran úncamente en esta realzacón concreta, nuestras conclusones estarían afectadas por un componente anecdótco que no representa un comportamento general. Tabla 10: smulacón de resultados (modelo de superpoblacón V ( xˆ PF1 PF PF3 PF4 PF5 PF6 PF7 PF8 Valores esperados Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt 3,51,41,81,46 1,57 1,97 0,74 0,59 0,59,16 1,74 1,73 4,31,73 3,45 3,08 1,95,47 3,36,4,69 3,36,3,69,87 1,96,30 V Vˆ xˆ PF1 PF PF3 PF4 PF5 PF6 PF7 PF8 Valores [ ( ] Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt 13,78 14,6 6,45 6,55 5,49 3,0 17,50 17,40 8,38 7,03 4,58 3,09 1,3 10,77 9,3 3,73,84 1,83 13,03 10,40 6,11 18,74 7,31 8,79 esperados 17,71 9,13 5, Cr Sr Crp 0 PF1 PF PF3 PF4 PF5 PF6 PF7 PF8 ˆ. Fgura : representacón gráfca de los valores de V ( xˆ Podemos confrmar estos resultados empírcos con los obtendos teórcamente medante la expresón: E [ V Crp _ ppt ] b( n 1 n 1 R 1 E [ V _ ] M b M Cr ppt 1 b Susttuyendo los valores de n, M y b se obtene que la gananca de Crp sobre Cr, en varanza del estmador, será gual al 0%. Al susttur por los valores empírcos de las esperanzas respecto del modelo estaríamos en un 19,86%. Con ello, podemos consderar una confrmacón de los valores teórcos cas exacta. Para la comparacón entre Sr y Cr los valores obtendos serían, respectvamente, 33% y 31,7% Gráfcamente, con la fgura 3, utlzando la segunda parte de la tabla 10, podemos observar los resultados calculados para la varanza del estmador de la varanza en cada método, para el conjunto de las ocho generacones aleatoras de la poblacón fnta utlzada como patrón.

14 100 G. Sánchez-Crespo Cr Sr Crp 0 PF1 PF PF3 PF4 PF5 PF6 PF7 PF8 [ ] ˆ. Fgura 3: representacón gráfca de los valores de V V ( xˆ El método Crp_ppt mejora a los otros en cuanto a establdad de la varanza en todas las poblacones menos en la octava. Ésta es la poblacón que hemos puesto de ejemplo en este trabajo para ver que no es sufcente el análss de una sola poblacón y que es necesaro plantear un enfoque suprapoblaconal. Esta octava poblacón especal se ha obtendo después de un conjunto amplo de pruebas, smplemente con el fn de mostrar que es físcamente posble. De forma análoga al caso de varanza del estmador, s ben no está dsponble un estudo teórco, podemos llevar a cabo una cuantfcacón de la gananca de un método respecto de otro, pero esta vez en térmnos de varanza del estmador de la varanza. Así, para Crp sobre Cr, tendremos: E R 1 E y para Sr sobre Cr, será E R 1 E ( V [ Vˆ Crp _ ppt ] ( V [ Vˆ ] Cr _ ppt ( V [ Vˆ Crp _ ppt ] ( V [ Vˆ ] Cr _ ppt 1 1 5,87 17,71 9,13 17,71 66,8 % 48,4 % Una poblacón y un tamaño de muestra mayor Aquí vamos a utlzar una poblacón algo mayor que la consderada hasta ahora y realzaremos los cálculos con un programa de ordenador confecconado a medda de estas necesdades. Un tamaño de muestra de dos undades es debdo a que tene mportantes ventajas y no supone una lmtacón. Pero aquí amplaremos estas dmensones, medante una poblacón de tamaño 8, y muestras de tamaño 4 con los dferentes esquemas de probabldades desguales estudados. Para obtener muestras de mayor tamaño, recurrmos a consderar la poblacón dvdda en grupos, estratos, de 4 undades cada uno. En cada grupo, selecconamos una muestra ndependente de tamaño gual. De

15 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo esta forma, por agregacón, tenemos un total de 4 undades muestrales. Este esquema puede extenderse a cualquer tamaño de poblacón y de muestra. Las fórmulas de aplcacón, para el estmador del total, dado que la seleccón es ndependente en cada estrato, son: L Xˆ st Xˆ h h Vˆ Vˆ ( ˆ L st X h h Obtendos los valores de st V ˆ X ˆ st, con tamaños de muestra en cada estrato gual a dos undades y con las fórmulas desarrolladas para los dstntos esquemas de seleccón y estmacón con probabldades proporconales al tamaño de los apartados anterores, podremos obtener las estmacones para el total y su varanza, correspondentes a tamaños de muestra superores a dos. Al recurrr al programa de ordenador POSDEM, podemos utlzar como poblacón marco cualquer poblacón fnta. Por smplcdad, en el ejemplo utlzaremos la poblacón del cuadro 5, cuyos prncpales resultados se encuentran en la tabla 11. Xˆ y de ( X M Cuadro 5: smulacón de una poblacón. Tabla 11: comparacón entre los tres métodos. V ˆ V Vˆ ˆ Métodos ˆ ( [ ( ] Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt X st 7,735 5,7139 5,8514 X st 6,656 13,9088 1,7006 En los ejemplos anterores hemos calculado todas las muestras posbles. Cuando la poblacón y el tamaño de muestra son pequeños, esto no supone una gran dfcultad. No obstante, cuando estos aumentan, para realzar los cálculos necesaros es más convenente utlzar una representacón lo más ampla posble del espaco muestral. En este ejemplo, hemos representado el espaco de todas las muestras que es posble obtener, con un determnado procedmento de seleccón, generando un conjunto de cuatrocentas muestras con cada procedmento para cada poblacón fnta. Ahora, vamos a analzar este msmo resultado enfocándolo desde un modelo aleatoro de superpoblacón sencllo. Se trata de evtar el posble componente anecdótco que podría estar lgado más que a la forma de la poblacón y a su estructura básca, a certas combnacones de valores. Para esto, podemos representar los valores de la poblacón medante la ecuacón: X 0.99+e

16 10 G. Sánchez-Crespo donde X son los valores de la varable de estudo obtendos ajustando una funcón lneal a los datos orgnales es la pendente de la recta. 1,,...8 representa el índce de cada undad. e es un térmno aleatoro dstrbudo normal de meda cero y desvacón típca 0,1 Se recurre a la aplcacón POSDEM para modelar, medante la técnca de polnomos ortogonales, cualquer poblacón, ndependentemente de la forma que tenga. Es posble tambén, s la forma de la poblacón es muy compleja, obtener ecuacones por tramos y utlzarlas conjuntamente para representar la estructura de una poblacón. En el ejemplo, hemos obtendo un conjunto de 00 poblacones que sguen el msmo patrón de la poblacón orgnal. En cada una de ellas hemos obtendo la varanza del estmador del total. En la tabla 1 pueden observarse los resultados obtendos en las 0 prmeras realzacones y un tamaño de muestra gual a cuatro. Tabla 1: resultados de la smulacón con POSDEM para la varanza. V ( X ˆ Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt V ( X ˆ Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt Estos resultados, respecto del modelo, pueden observarse gráfcamente para el conjunto de las doscentas poblacones fntas aleatoras medante la fgura Acuracdad del estmador del total Cr_ppt Sr_ppt Poblacones Crp_ppt Fgura 4: valores para la acuracdad del estmador del total, en una smulacón de 00 poblacones.

17 Introduccón a los modelos de superpoblacón en las técncas de muestreo Igualmente, pueden a su vez resumrse medante la esperanza respecto del modelo de la varanza del estmador, según consta en la tabla 13. Tabla 13: comparacón entre los tres métodos. Métodos E [ Vˆ ( ˆ ] Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt X st 7,88 6,0 5,94 S en lugar de observar en cada poblacón el parámetro varanza del estmador, observamos el parámetro varanza de la varanza del estmador, podremos obtener una medda de la representatvdad del estmador de la varanza para cada método. Los resultados obtendos se muestran en la tabla 14 y representados gráfcamente en la fgura 5. Tabla 14: resultados de la smulacón con POSDEM para la varanza. V ( V ˆ Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt V ( V ˆ Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt Establdad del estmador de la varanza Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt Poblacones 00 Fgura 5: valores para la establdad del estmador de la varanza, en una smulacón de 00 poblacones.

18 104 G. Sánchez-Crespo El resumen de los valores esperados respecto del modelo para la varanza del estmador de la varanza de los métodos consderados se encuentra en la tabla 15. Tabla 15: comparacón entre los tres métodos. Métodos E ( V [ Vˆ ( ˆ ] Cr_ppt Sr_ppt Crp_ppt X st 59,93 115,0 3,05 En este ejemplo lustramos cómo el método con reposcón parcal puede presentar una ventaja en cuanto a precsón de las estmacones respecto del método con reposcón y, tambén, puede suponer una mejora en cuanto al método sn reposcón en el sentdo de que el estmador de la varanza que propone presenta ganancas en cuanto a representatvdad del verdadero valor. Conclusón Con un ejemplo lustratvo hemos ntroducdo al lector en las técncas de muestreo con probabldades desguales al tempo que hemos mostrado las dferencas, ventajas e nconvenentes, de unos métodos con otros. Ponendo de manfesto la necesdad de realzar dseños muestrales adaptados a cada nvestgacón por muestreo y la necesdad de la utlzacón de los modelos de superpoblacón en las nvestgacones empírcas. Para facltar esta tarea se ha utlzado el software POSDEM desarrollado con el propósto de optmzar la eleccón entre planes de muestreo alternatvos. Por últmo dejamos aberta una vía de nvestgacón para la formulacón teórca de los resultados que hemos obtendo medante procesos de smulacón referentes al valor esperado respecto del modelo de superpoblacón de la varanza del estmador del error cuadrátco medo. Los resultados muestran de forma nequívoca la necesdad de trabajar con modelos de superpoblacón como estratega para llegar a estmacones del ECM y para salvar el nconvenente del posble carácter anecdótco de la confguracón poblaconal del momento. Referencas Bellhouse, D.R. y Rao, J.N.K. (1975 Systematc samplng n the presence of a trend. Bometrka, 6, Mateo, M. (000 Posdem: seleccón entre planes de muestreo probablístco, de G. Sánchez-Crespo y A. Lezcano. Metodología de Encuestas, ( Sanchez-Crespo Bentez, G; Lezcano Lastra, A. (1999: POSDEM. Revsta Electrónca de Metodología Aplcada, 4 ( 1-36.