Un ejemplo de Análisis Factorial de Correspondencias

Transcripción

1 Estadístca Anàls de Dades (curs ) Un ejemplo de Análss Factoral de Correspondencas Se trata de estudar la estructura de las ventas de una empresa que dstrbuye 10 productos en 8 mercados. Para ello vamos a analzar la tabla que recoge en flas los productos y en columnas los mercados. La nterseccón de la fla y la columna j, recoge el valor de las ventas del producto en el mercado j. No nteresa poner de manfesto las dferencas absolutas que exsten entre las ventas de dos productos, sno que s dos productos se reparten en las msmas proporcones en los dstntos mercados, se consderan guales: tenen los msmos perfles. De la msma forma se consderan dos mercados semejantes s tenen la msma proporcón de gasto en cada uno de los artículos, ndependentemente del volumen de gasto. El peso del mercado (producto) es proporconal a su mportanca en el conjunto, e gual al volumen de ventas en ese mercado (producto) entre las ventas totales. Al calcular la dstanca j-cuadrado entre dos productos se alla el cuadrado de las dferencas entre las proporcones de los productos en dada cudad y se pondera por el nverso del peso de cada cudad para evtar que pequeñas dferencas entre cudades de gran volumen de compra nfluyan muco. La sguente tabla recoge el valor de las ventas de cada uno de los 10 productos en cada mercado durante el año 000. producto A B C D E F G H I J Margen actvo Tabla de correspondencas mercado MR1 MR MR3 MR4 MR5 MR6 MR7 MR8 Margen actvo Hemos recogdo en flas los productos (por orden de antgüedad en el mercado) y en columnas los mercados por ser nferor el número de éstos, pues el análss es totalmente smétrco. El total de cada línea recoge las ventas de cada producto en este año y el total de cada columna las ventas en cada mercado. La nerca total de la nube es I = f. d ( H, H ) f m =. j f f j. j f. f. j χ = n donde H m es el centro de gravedad de la nube. La prmera componente prncpal maxmza la nerca de la nube proyectada f F. 1 1

2 Estadístca Anàls de Dades (curs ) En la práctca suelen ser sufcentes dos o tres ejes para estudar la relacón entre flas y columnas. Es posble entonces obtener una vsón global bastante buena s se representan smultáneamente los puntos flas y columna sobre el plano formado por los dos prmeros ejes, que recoge mayor cantdad de nformacón. Esta representacón smplfcada será tanto más fel cuanto mayor sea el porcentaje de nerca explcada por los dos ejes. Para obtener mayor precsón en la magen se completa con los ejes tercero, cuarto, etc. El gráfco se nterpreta como sgue: 1. S dos flas (columnas) tenen una estructura semejante, su stuacón será próxma sobre el plano (no sempre es certo la nversa; depende de la caldad de representacón de los puntos).. La stuacón cercana de un punto fla y un punto columna j sólo se puede nterpretar s están alejados del orgen, en la perfera de la nube, consecuenca de las relacones barcéntrcas, pues en caso contraro la proxmdad entre y j puede deberse o no a que tenga mportanca en j o la nversa, sno que las que tenen mportanca sobre j son e que se allan muy alejadas de j y en extremos opuestos. 3. Cuando una fla tene un perfl próxmo al perfl medo, tene un comportamento medo, se encontrará próxma al orgen. Para nterpretar la magen ay que conocer la sgnfcacón de los ejes sobre los cuales emos proyectado la nube y estudar la forma de ésta. Para ello es necesaro calcular unos coefcentes o ayudas a la nterpretacón, pues la vsón drecta del gráfco puede nducr a errores. Para cada elemento fla y columna se calculan: Contrbucón absoluta CTA : Expresa la partcpacón que tene el elemento en la nerca explcada por el factor f. F CTA = f F Esta contrbucón depende no sólo de su dstanca al orgen (centro de gravedad) o desvacón de la meda, sno tambén de su peso. Contrbucón relatva CTR : Recoge la partcpacón del factor en la explcacón del elemento. Mde la caldad de representacón de sobre el eje F CTR = ; CTR ( ) = 1 d ( H, ) H m. Para nterpretar los resultados proporconados por el ordenador se consulta en prmer lugar la traza, valores propos y porcentaje de nerca explcada por los ejes. Se observa que con sólo dos factores se explca más de las ¾ partes de la nformacón recogda, el 76,8% de la nerca total de la nube. Es decr, al consderar úncamente dos varables, reducendo la dmensón de 8 a mantenemos el 76,8% de la nformacón y con tres dmensones el 87,9%.

3 Estadístca Anàls de Dades (curs ) Dmensón Total Resumen Confanza para el Valor Proporcón de nerca propo Correlac Desvacón ón Valor propo Inerca C-cuadrado Sg. Explcada Acumulada típca,18,047,58,58,010,03 a. 63 grados de lbertad,147,0,40,768,009,100,010,111,879,070,005,054,933,055,003,034,967,047,00,04,991,08,001,009 1,000,090 96,785,000 a 1,000 1,000 producto A B C D E F G H I J Total actvo Puntuacón en la dmensón Examen de los puntos de fla a De los puntos a la nerca de la dmensón Masa 1 Inerca 1 1 Total,030,363 -,047,006,018,000,150,00,15,014,769-1,738,010,039,95,180,6,80,141,188,01,004,03,039,65,05,470 a. Normalzacón Smétrca,099,105,38,001,005,038,16,560,7,94,465,169,016,9,057,870,077,947,019,99 -,475,003,008,09,107,18,88,046,46-1,03,013,013,45,048,764,81,096 -,500,09,008,111,09,671,079,750,149 -,735,00,00,370,000,879,000,879,11 -,489 -,8,009,13,061,68,153,835 1,000,090 1,000 1,000 Contrbucón De la dmensón a la nerca del punto mercado MR1 MR MR3 MR4 MR5 MR6 MR7 MR8 Total actvo Puntuacón en la dmensón Examen de los puntos columna a Masa 1 Inerca 1 1 Total,146 -,789,151,04,419,03,845,01,866,109,050,448,006,001,149,011,583,594,07 -,894 -,38,019,65,07,645,079,75,403,88 -,378,016,154,39,456,59,985 a. Normalzacón Smétrca De los puntos a la nerca de la dmensón Contrbucón De la dmensón a la nerca del punto,061 -,089,097,003,00,004,040,03,071,15,5,554,014,156,60,514,390,904,048 -,079,503,005,001,083,013,358,371,036,075,67,003,001,017,013,113,16 1,000,090 1,000 1,000 3

4 Estadístca Anàls de Dades (curs ) La nterpretacón de los ejes es fundamental, y para evtar errores es necesaro segur una sere de pautas. - En prmer lugar se buscan aquellos puntos (j) de mayor CTA. - Dentro de éstos se separan los puntos que se proyectan del lado postvo de los que ntervenen del lado negatvo, que estarán en oposcón. - Se estuda la caldad de representacón CTR de estos puntos. S un punto tene un CTR pequeño es de suponer que tenga un papel mportante sobre otro eje, y para su estudo sería necesaro consderar el conjunto de los ejes. - Se buscan aquellos puntos (j) que s ben no contrbuyen a la formacón del factor, sí se encuentran ben representados (CTR alto). Estos puntos son lustratvos de la sgnfcacón del eje. De esta forma tenemos los elementos necesaros para la nterpretacón de los ejes. Puesto que el eje es una nueva dmensón que condensa y resume crteros nterrelaconados, se puede, a veces, dar un sgnfcado a este eje. Es relatvamente fácl cuando ay elementos muy ben representados sobre los ejes y opuestos entre sí. A menudo se nterpreta por oposcón de adjetvos como mercados rurales y urbanos, etc. Una vez eco este análss en cada unos de los conjuntos de flas y columnas, se ponen estas nterpretacones en relacón para obtener los resultados del análss, tenendo sempre cudado de nterpretar las proxmdades entre puntos fla y columna úncamente cuando se encuentran en la perfera de la nube, pues es entonces cuando por las fórmulas de transcón podemos afrmar que desempeña un papel mportante en j o recíprocamente. No ocurre así con los puntos próxmos al orgen de coordenadas o centros de gravedad de la nube. Las tablas de la págna anteror recoge los pesos o coordenadas, contrbucones absolutas y relatvas. Comenzaremos analzando las flas aunque gualmente podríamos comenzar por las columnas. El prmer factor explca el 5,8% de la varabldad de la nube. Cuatro productos explcan cas la totaldad del factor, E en el campo postvo (CTA = 9,%) e I, J y H en el negatvo. Estos cuatro puntos tenen contrbucones relatvas altas, y son muy nferores las de los demás productos. En el espaco de mercados tambén son cuatro los que determnan el factor, MR4 y MR6, stuados en el campo postvo, se oponen a MR1 y MR3 stuados en el negatvo. Todos ellos tenen buena caldad de representacón sobre el eje, aunque en el caso de MR4 y MR6 su CTR se stúa en torno al 50%, lo que nos ace suponer que tendrán gran contrbucón sobre otro eje, y para su nterpretacón será necesaro consderarlos conjuntamente. Los restantes puntos tenen CTR cas nulas. En consecuenca, este factor se caracterza porque opone los mercados MR4 y MR6 caracterzados por el producto E a MR1 y MR3 asocados a H, I y J. El segundo factor explca el 4% de la varanza. Opone MR4 a MR6 a MR (CTA 39,%, 6% y 14,9%). Tambén el MR7 aunque no contrbuye muco tene una correlacón sgnfcatva. Para el estudo de los mercados MR4 y MR6 abrá que consderar el plano en su conjunto sobre el cual la caldad de representacón es cas perfecta. En cuanto a los productos, B y G stuados ambos en el campo negatvo tenen las mayores contrbucones. En oposcón con una CTA pequeña pero ben correlaconado se encuentra D y en menor medda C. En consecuenca, podemos asocar los productos B y G al MR4 y en oposcón los mercados MR, MR6 y MR7. Para mayor precsón es necesaro consderar el plano cuyas proxmdades se observan sobre el gráfco. 4

5 Estadístca Anàls de Dades (curs ) Gráfco del Análss factoral de correspondencas 1,000 0,500 Factor 0,000-1,000-0,500 0,000 0,500 1,000-0,500 Producto Mercado -1,000-1,500 -,000 Factor 1 Los productos H, I y J se encuentra en F 1 < 0 y su correlacón con el segundo eje es muy pequeña. Son bastante próxmos, lo cual ndca smltud de perfles. Se dstrbuyen de forma semejante. En las msmas crcunstancas se encuentran los mercados MR1 y MR3, que tenen característcas semejantes (como se ve en la tabla de correspondencas). En vrtud de de las fórmulas barcéntrcas, podemos nterpretar las proxmdades entre productos y mercados. Los productos H, I y J (los de más recente lanzamento) se asemejan en que an encontrado un mercado propco en MR1 y MR3, en los que an penetrado con fuerza (en mayor proporcón que en el conjunto del mercado), consttuyendo una parte mportante de sus adquscones. MR1 tene mayor peso que MR3, por lo que tendrá mayor mportanca en el perfl de los productos, pero nnguno de los dos mercados se puede consderar como los de mayor mportanca global, sno que se caracterzan por ser los de mayor renta per cápta (una nformacón adconal). Así pues, comprobamos en este análss que los nuevos productos, las nnovacones se ntroducen con mayor facldad en los mercados de mayor renta per cápta. En el cuarto cuadrante se stúan los productos G y B, ben correlaconados con el segundo factor y muco más alejados del orgen que MR4, lo que ndca que se drgen fundamentalmente a este mercado. S todo el producto B fuera a MR4, dado que el valor propo (en SPSS es la nerca) del segundo eje es 0,0, la proyeccón de B debería de estar a una dstanca del orgen de 1 0,0 = 6, 8 veces la de MR4. Como se stúa aproxmadamente cnco veces más alejado, podemos pensar que unas ¾ partes del producto se colocan en MR4. Éste se asoca sobre el prmer factor al producto E de mayor peso que el anteror y que ocupa cas la tercera parte del MR4. Al ser MR4 un mercado de gran volumen, tambén tene una nfluenca mportante en el producto E. 5

6 Estadístca Anàls de Dades (curs ) El MR6 se stúa en el prmer cuadrante muy ben representado sobre el plano. Sobre el prmer factor se asoca al producto E que le caracterza y sobre el segundo a C y D, segundo y tercer productos en volumen de ventas en ese mercado. El MR7 se stúa sobre el segundo factor más alejado que E, prncpal producto consumdo en él y en oposcón a B. El MR5 está mal representado sobre el plano y muy próxmo al orgen, luego, presenta un perfl o estructura de compra semejante al perfl de ventas de la empresa. Se puede consderar como una pequeña reproduccón del mercado global, característca mportante a la ora de realzar una encuesta de reducdo coste. Se observa en este ejemplo cómo es necesaro nterpretar el gráfco tenendo en cuenta las ayudas a la nterpretacón. Los pesos nos an ayudado a determnar s la proxmdad entre mercado y producto se debe a que los mercados tenen muca mportanca para ese producto o a la nversa.,0 Puntos de columna y de fla 1,5 1,0,5 0,0 -,5 MR1 H I J MR3 MR7 MR6 MR MR8 DC MR5 E A MR4 F Dmensón -1,0-1,5 -,0 -,0-1,5-1,0 -,5 0,0 G,5 B 1,0 1,5,0 mercado producto Dmensón 1 Gráfco producdo por el SPSS Bblografía ABASCAL, ELENA y GRANDE, ILDEFONSO, Métodos multvarantes para la nvestgacón comercal, Arel Economía, Barcelona, SANTESMASES, MIGUEL, Dseño y análss de encuestas en nvestgacón socal y de mercados, Ed. Prámde, Madrd,

7 Estadístca Anàls de Dades (curs ) ANALISIS FACTORIAL DE CORRESPONDENCIAS SEGUN EL PROGRAMA DYANE TABLA: MR1 MR MR3 MR4 MR5 MR6 MR7 MR A 53,00 9,00 0,00 146,00 16,00 47,00 15,00,00 B 11,00 11,00 1,00 119,00 5,00 0,00 1,00 0,00 3 C 190,00 179,00 93,00 563,00 86,00 49,00 5,00 37,00 4 D 147,00 134,00 55,00 395,00 59,00 145,00 59,00 31,00 5 E 61,00 371,00 19, ,00 180,00 488,00 175,00 19,00 6 F,00 14,00 7,00 98,00 6,00 19,00 6,00,00 7 G 6,00 0,00 63,00 80,00 17,00 41,00 9,00 17,00 8 H 33,00 118,00 76,00 30,00 6,00 97,00 40,00 47,00 9 I 30,00 157,00 11,00 478,00 9,00 10,00 108,00 50,00 10 J 47,00 111,00 109,00 453,00 84,00 79,00 34,00 34,00 INERCIA TOTAL: 0,08989 JI-CUADRADO: 96,7853 EJE 1 EJE VALORES PROPIOS: 0,0474 0,016 CONTRIBUCION A LA INERCIA: 5,7530 4,0065 VECTORES PROPIOS: 1,6917 0,3944-0,1065 1,1674 1,9164-0,9955-0,618-0,9864 0,1907 0,517-1,1193 1,4459 0,1685 1,3133-0,1601 0,6971 ESTUDIO DE LAS COLUMNAS E J E 1 E J E COOR- CORRE- % INER. COOR- CORRE- % INER. DENADA LACION EXPLIC. DENADA LACION EXPLIC MR1 0,368 0,845 41,9 0,058 0,01,8. MR -0,03 0,011 0,1 0,171 0,583 14,86 3. MR3 0,417 0,645 6,50-0,146 0,079 7,15 4. MR4-0,135 0,456 15,39-0,145 0,59 39,18 5. MR5 0,04 0,040 0, 0,037 0,031 0,39 6. MR6-0,44 0,514 15,6 0,1 0,390 6,06 7. MR7 0,037 0,013 0,14 0,193 0,358 8,35 8. MR8-0,035 0,013 0,09 0,10 0,113 1,74 ESTUDIO DE LAS FILAS E J E 1 E J E COOR- CORRE- % INER. COOR- CORRE- % INER. DENADA LACION EXPLIC. DENADA LACION EXPLIC A -0,169 0,150 1,80-0,018 0,00 0,05. B -0,359 0,180 3,90-0,666 0,6 9,54 3. C -0,088 0,65,7 0,077 0,05 3,87 4. D -0,049 0,16 0,51 0,091 0,559 3,84 5. E -0,17 0,870 9,15 0,065 0,077 5,69 6. F -0,139 0,107 0,77-0,18 0,18,89 7. G -0,115 0,048 1,8-0,461 0,764 45,19 8. H 0,34 0,671 11,08 0,080 0,079,86 9. I 0,343 0,879 36,97 0,001 0,000 0, J 0,8 0,68 1,7-0,108 0,153 6,06 7

8 Estadístca Anàls de Dades (curs ) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS EJES FACTORIALES VARIABLES COLUMNA: Códgo Sgnfcado A MR1 B MR C MR3 D MR4 E MR5 F MR6 G MR7 H MR8 VARIABLES FILA: Códgo Sgnfcado A B 3 C 4 D 5 E 6 F 7 G 8 H 9 I 10 J EJES 1 y : EJE F G B H A E EJE D C 6 7 8