Modelo de Variables Instrumentales

Transcripción

1 Modelo de Varables Instrumentales Contraste de endogenedad El estmador de MCE es menos efcente que el de MCO cuando las varables explcatvas son exógenas. Las estmacones de MCE pueden tener errores estándar muy grandes. Por tanto, es necesaro tener una prueba para la endogenedad de una varable explcatva. Consderemos el sguente modelo de regresón lneal: Y Podemos establecer que: 0 k k u (3a) Eu 0 Covu, 0 Covu, 0 Covu, 0 k Entonces, podemos consderar el sguente planteamento de hpótess: H H u, 0 u, 0 0 : Cov : Cov Exogenedad Endogenedad

2 Modelo de Varables Instrumentales Ahora suponemos que dsponemos de un nstrumento váldo Z de manera que: Cov u, Z 0 La regresón reducda esta defnda por: 0 Z De donde podemos extraer: Covv, u 0 S se verfca que H relacón: u, 0 0 : Cov u Cov Z 0, k k v (3b), entonces podemos estmar la sguente v De donde se cumple que α = 0, de manera equvalente: (3c) Y 0 k k v (3d)

3 Modelo de Varables Instrumentales Por tanto, de la ecuacón (3d) contrastamos H 0 : α = 0, que sería equvalente a contrastar: H u, 0 0 : Cov Dado que v no es observable, se susttuye por el resduo de MCO vˆ de la forma reducda. Así reescrbmos (3d) de la sguente forma: Y 0 k k vˆ ˆ (3e) Con vˆ 0 Z k k S rechazamos que α endógena. es cero en el modelo (3e), conclumos que es 3

4 Modelo de Varables Instrumentales Prueba de Hausman El contraste de Hausman para el caso de r varables potencalmente endógenas contempla: Estmar las r formas reducdas correspondentes para cada una de estas varables. Obtener los resduos de cada forma reducda. Inclur como varables ndependentes cada uno de estos resduos en el modelo sn restrngr. Contrastar la sgnfcanca conjunta de dchos resduos medante el estadístco W 0 : W 0 SCRNR SCR SCR R R n k r 4

5 Modelo de Varables Instrumentales Donde: SCR NR : Suma de cuadrados de los resduos del modelo orgnal sn los resduos de las formas reducdas. SCR R : Suma de cuadrados de los resduos del modelo amplado que ncluye los resduos de cada una de las formas reducdas como varables ndependentes r: es el número de varables potencalmente endógenas. S se concluye que los resduos de las formas reducdas son estadístcamente sgnfcatvos conjuntamente, esto mplca que al menos una de las varables explcatvas es potencalmente endógena. 5

6 Modelo de Varables Instrumentales Prueba de sobredentfcacón (contraste de Hansen-Sargan) (Comando en stata: overd) Cando el modelo de regresón tene sólo una varable nstrumental por cada varable explcatva endógena, decmos que el modelo está exactamente dentfcado. Por el contraro, s tenemos más varables nstrumentales que varables explcatvas endógenas, entonces podemos contrastar s alguna de ellas no está correlaconada con el térmno de error. En síntess, en un modelo con varables nstrumentales la dentfcacón o sobredentfcacón depende del número de nstrumentos (r) y de varables endógenas (k). Los coefcentes β, β,, β k están: Exactamente dentfcados s Sobre dentfcados s No dentfcados s r=k r>k r<k 6

7 Modelo de Varables Instrumentales Procedmento. Consderemos el sguente modelo: Y 0 k k u Donde: Eu 0 Covu, 0 Covu, 0 Cov u, 4 0 Cov u, 0 k Cov u, 3 0 Alternatvamente podemos plantearlo como: Y Donde: M k kj : : 0 k k k M Número de varables endógenas en el modelo. Número de varables exógenas en el modelo. k j M kj u 7

8 Modelo de Varables Instrumentales Suponemos que el numero de nstrumentos es mayor que el numero de varables endógenas del modelo. r k Suponemos que el numero de nstrumentos es mayor que el numero de varables endógenas del modelo. Estmar la ecuacón medante MCE utlzando los r nstrumentos. u ~ Hallar los resduos. u ~ Estmar sobre todas las varable exógenas del modelo y sobre todos los nstrumentos. Obtenemos el coefcente de bondad de ajuste de la regresón: u ~ f Z, M R ~u r kj 8

9 Modelo de Varables Instrumentales Bajo la hpótess nula de que todas las VI no están correlaconadas con el termno de error,, tenemos que: u ~ ˆ~ u nr uˆ~ Donde r-k es el numero de restrccones de sobredentfcacón, es decr, el número de nstrumentos extra. ˆ~u n uˆ~ u s u u ~ ~ Susttumos por con lo que podemos reescrbr: Regla de decsón: nr ~u n ~ u~ S excede el valor crítco de la dstrbucón, al nvel se sgnfcanca establecdo, rechazamos la hpótess nula, La hpótess nula es que la seleccón de nstrumentos, en conjunto, es exógena. nr u~ rk rk rk 9

10 Modelo de Varables Instrumentales NOTA: Esta prueba no determna qué varable es la responsable de rechazar la hpótess nula de no correlacón. Cov u, 0 Sn embargo, a medda r - k es grande, podremos aplcar el proceso secuencalmente para detectar qué nstrumentos son responsables del rechazo. Z r 0

11 Datos Panel

12 Naturaleza de los modelos de Datos Panel En el ejercco empírco es mportante determnar la naturaleza de los datos dsponbles. Los modelos econométrcos utlzados para el análss económco, pueden clasfcarse desde dos puntos de vsta o dmensones: Según los datos utlzados Informacón de seres de tempo Informacón de seccón cruzada Informacón de datos panel Según las relacones supuestas entre las varables Modelos lneales y nolneales Un-ecuaconales y Mult-ecuaconales

13 Naturaleza de los modelos de Datos Panel Informacón de seres de tempo: Conjunto de datos que recoge observacones sobre los valores que toma una varable en dferentes momentos del tempo.[dmensón temporal] Informacón de corte transversal: Conjunto de datos que recoge observacones de una o más varables (undades objetvo (observacón) en un momento determna do del tempo. [Dmensón estructural] Informacón de datos agrupados o tpo panel: Conjunto de datos que combna la dmensón temporal y la dmensón estructural. Esto es, recopla nformacón de una undad de nterés para un período determnado de tempo. 3

14 Naturaleza de los modelos de Datos Panel Modelo lneal: La esperanza condconal de Y (varable de pendente), E(Y/), es una funcón lneal de los parámetros; pero pueden ser o no lneales en las varables. Modelo no lneal: La esperanza condconal de Y (varable dependente), E(Y/), no es una funcón lneal de los parámetros; ndependentemente de que sea o no una funcón lneal con las varables. 4

15 Naturaleza de los modelos de Datos Panel Modelo un-ecuaconal: Son aquellos donde exste sólo una varable dependente y una o más varables explcatvas. Esto es las estmacón y/o predccón del valor esperado de Y condconado a valores fjos de. Así la causaldad va de a Y. Modelo mult-ecuaconal: En estos modelos hay más de una ecuacón; una para cada una de las varables mutuamente dependentes o endógenas. En tales sstemas la dreccón de causaldad corre en dos sentdos; es decr, Y esta determnada por las y algunas de las `s están, a su vez, determnadas por las Y`s. 5

16 Naturaleza de los modelos de Datos Panel El objetvo del análss de datos en panel, es capturar la heterogenedad no observable, ya sea entre las undades de corte transversal o en el tempo. Esta heterogenedad no es capturada n en estudos de seres tempo n tampoco con los de corte transversal. La técnca de dato panel permte un análss dnámco, ya que al ncorporar la dmensón temporal de los datos enrquece el estudo, partcularmente en períodos de cambos sgnfcatvos. En suma, la metodología panel permtrá analzar dos aspectos relevantes de la heterogenedad no observable: Los efectos ndvduales específcos. Los efectos temporales. 6

17 Naturaleza de los modelos de Datos Panel Efectos ndvduales específcos: Fuentes de varabldad Son aquellos que perturban de forma desgual a cada uno de los agentes económcos u objetos de estudo contendos en la muestra. Estos efectos son nvarables en el tempo y afectan de manera drecta las expectatvas de las undades de estudo ( por ejemplo, el cambo técnco, acceso a mercado de captales, etc). Efectos temporales: Son aquellos que afectan por gual a todas las undades de corte transversal del estudo pero que son varables en el tempo (por ejemplo, choques macroeconómcos). 7

18 Ventajas y desventajas de los modelos de Datos Panel Ventajas Permte obtener un mayor número de observacones que ncrementa los grados de lbertad y reduce la multcolnealdad entre las varables ndependentes. Captura la heterogenedad no observable de los datos, ya sea entre los agentes económcos u objetos estudo (datos de corte transversal), o a través del tempo (datos de seres de tempo). La ncorporacón en el análss de dcha heterogenedad permte controlarla y evtar sesgos en los resultados. En vrtud de lo anteror, el uso de la metodología de datos de panel permte una mayor capacdad para dentfcar y medr algunos efectos que no son detectados en datos puros de corte transversal o de seres de tempo. 8

19 Ventajas y desventajas de los modelos de Datos Panel Ventajas Permte una estmacón efcente. Ayuda a analzar de mejor manera la dnámca de los procesos (cclos) de ajuste económcos, especalmente en perodos de cambos estructurales. Reduce los problemas de sesgo en las estmacones por el problema de varables omtdas. Así msmo, elmna los sesgos dervados de la agregacón de las undades de corte transversal. Desventajas Problemas asocados a la recoleccón de datos. Dstorsones dervadas por errores de medda y de seleccón. Dstorsones asocadas a la longtud de las seres de tempo, que por lo general son reducdas en los conjuntos de datos, lo anteror conlleva a que los procedmentos de estmacón e nferenca se realcen con base en las undades de corte transversal. 9

20 Especfcacón general de un modelo de Datos de Panel Consderemos la sguente especfcacón de datos panel: Y t t t t k kt u t () Con,, N y t,, T En su versón compacta tenemos: Y t t k j j jt u t () Donde y t ndcan la undad de corte transversal y el tempo, respectvamente. En tanto α recoje la heterogenedad no observable del modelo y β los parámetros de pendente de las k varables. Por últmo, consttuye la -ésma observacón en el momento t de las k varables explcatvas y u el térmno de error para en el perodo t. 0

21 Especfcacón general de un modelo de Datos de Panel Reescrbendo el térmno de error, ε t, tenemos: t v u t t (a) Donde, v captura la heterogenedad no observable que varía entre las undades transversales pero no en el tempo. En tanto que δ t representa la heterogenedad no observable que varía en el tempo, pero no entre las undades transversales. Fnalmente, u t es el térmno de error puramente aleatoro. Así tenemos: Y t En la práctca, el modelo de componentes de error en un sentdo (oneway) es la especfcacón panel habtual. En este tpo de modelos se (b) asume que δ t =0, quedando: t k j j v u jt t t

22 Especfcacón general de un modelo de Datos de Panel Dentro del modelo de componentes de error en un sentdose dstnguen 3 formulacones (atendendo los supuestos acerca de la heterogenedad no observable): a) Modelo agrupado de efectos comunes (pooled), donde la heterogenedad no observable no exste, esto es, v = α es gual a un escalar; b) Modelo de efectos fjos. En esta formulacón se asume que v varía entre las undades de estudo pero no en el tempo; c) Modelo de efectos aleatoros. Esta especfcacón supone que los efectos ndvduales v no son ndependentes entre sí, sno que están dstrbudos alrededor de un valor dado.

23 Modelo de Panel Agrupado El modelo más smple para analzar el enfoque de datos de panel es omtendo las dmensones del espaco y el tempo (modelo agrupado o pooled ), estmado medante MCO. En esta formulacón se satsface α t = α (v = α), así tenemos: Y t t t kt u t (3) Con u t ~ N(0, u ) La regresón agrupada toma la nformacón como un todo sn dscrmnar los datos temporales o transversales, esto asume que supone que los regresores están correlaconados con u t. Sn embargo, cuando s persste cov( t,u t ) 0; entonces la regresón agrupada estará sesgada. Esta correlacón es debda a un error de especfcacón por la ausenca de alguna varable relevante o por la exstenca de cualdades nobservables de cada ndvduo. 3

24 Modelo de Panel de Efectos Fjos En esta formulacón (estmador wthn o ntragrupo) la heterogenedad no observable es constante en el tempo y pero varable entre las undades de corte transversal, así tenemos que: Y t t t kt u t (4a) Donde v, reescrbendo tendremos: Y t t t kt v u t (4b) En esta formulacón, el térmno de error está consttudo por un componente constante (v ) y otro puramente aleatora (u t ). La prmera representa el efecto ndvdual específco para cada undad de corte transversal (cada ndvduo tene un punto de orgen (ordenadas) dstnto. En tanto el segundo representa el térmno de error puramente aleatoro que cumple los requstos de MCO. En este modelo tendremos N térmnos ndependentes que recogen las dferencas entre los dstntos ndvduos, qué sgnfca? 4

25 Modelo de Panel de Efectos Fjos Se asume, prmero, que el efecto ndvdual está correlaconado con las varables explcatvas, es decr: corr(, u) Empero, se cumple que las varables explcatvas no están correlaconados con el termno de error, esto es: El estmador de efectos fjos tene la ventaja de que permte conocer los separadamente y evta una sobrestmacón de los estmadores. Una forma de estmar esta especfcacón es ntroducendo una varable dummy por cada ndvduo, esto es: 0 E( u t, ) kt 0 Y t N k pd pt j p j jt u t (4c) 5

26 Modelo de Panel de Efectos Fjos Donde consttuye el efecto del prmer ndvduo, el cual se utlza como categoría base; d p representa varables bnaras que toman valor s el dato corresponde al ndvduo p y cero en otro caso; mentras que p captura los coefcentes de las varables fctcas y representan el grado en que los valores de los nterceptos del resto de ndvduos dferen respecto del ntercepto base (v.gr. + representa el efecto ndvdual del ndvduo ). La prncpal desventaja de este tpo de modelacón se asocada con el hecho que se necestan estmar los (,, k ) junto con los k parámetros β j. En paneles cortos, estmar los parámetros β j necestaría N, en caso contraro se tene un problema de estmacón sesgada por estmar nfntos parámetros auxlares. Con ello, perdda de grados de lbertad, aumento de la posbldad de multcolnealdad y heteroscedastcdad. Para evtar este problema, se realza una transformacón del modelo para elmnar p. 6

27 7 Modelo de Panel de Efectos Fjos El problema se resuelve estmado el modelo donde las varables se toman como desvacones respecto a las medas ndvduales. Reescrbmos el modelo (4a) de la sguente manera: k k u Y (4d) Restando (4d) a (4a) tendremos: t u u y y u y De esta especfcacón se obtene el estmador de efectos fjos, β EF, medante MCO. (4e)

28 Modelo de Panel de Efectos Aleatoros En esta especfcacón se asume que la heterogenedad no observada es una varable aleatora, por lo tanto el efecto ndvdual se descompone de la sguente forma: Y t t t w t w u t kt w u Donde w representa una varable aleatora. Así, w captura el componente de error para los datos de corte transversal y u t las perturbacones de la combnacón de los datos temporales y de corte transversal. En ambos casos se cumple: w ~ N(0, ) y ~ N(0, ). En este caso, los errores son homoscedastcos, ya que: v Pudendo reescrbr la ecuacón como: Compactando tenemos: w u t u t (5) t w u 8

29 Modelo de Panel de Efectos Aleatoros Qué sgnfca que w es una varable aleatora? Sgnfca que no hay segurdad del valor exacto en el orgen que pueda tener cada ndvduo, sólo sabemos que éste gravtará en torno a un valor central. Sn embargo, los térmnos de error de un ndvduo en dos puntos dferentes de tempo están correlaconados. En este caso, la estmacón por MCO del modelo sería nefcente por presentar problemas de autocorrelacón. Para corregr este problema se emplea el método de MCG a la sguente especfcacón: y t y t (5a) y t y Donde: k t k kt t (5b) T w u 9

30 Modelo de Panel de Efectos Aleatoros Cuando el estmador de λ es gual a cero, entonces la estmacón de la especfcacón (5b) es gual a la regresón del modelo agrupado; por otro lado, cuando el estmador de λ es gual a, la estmacón es consstente pata Efectos Fjos. Este estmador asume la condcón de que los efectos ndvduales no están correlaconados con las varables explcatvas del modelo, esto es: corr(, u) 0 30