III CONGRESO COLOMBIANO Y I CONFERENCIA ANDINA INTERNACIONAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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1 III CONGRESO COLOMBIANO Y I CONFERENCIA ANDINA INTERNACIONAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES TUTORIAL: ANÁLISIS MULTIOBJETIVO CONSIDERANDO INCERTIDUMBRE E IMPRECISIÓN Patrca Jaramllo A. y Rcardo A. Smth Q. Insttuto de Sstemas y Cencas de la Decsón Facultad de Mnas Unversdad Naconal de Colomba, Medellín, Colomba OBJETIVO Presentar los conceptos y metodologías fundamentales para la resolucón de problemas de Optmzacón con Múltples Objetvos, consderando además Incertdumbre e Imprecsón, tanto en los datos del problema como en la estructura de preferencas del decsor. Las metodologías presentadas se basan en la Programacón Estocástca y en la Lógca Dfusa.

2 PROGRAMA. La toma de decsones bajo múltples objetvos 2. Metodologías cláscas: 3. La consderacón de la Incertdumbre. Crteros de Incertdumbre- Método PROTRADE. 4. La consderacón de la Imprecsón en Análss Multobjetvo. AMO bajo Lógca Dfusa 5. Casos de Aplcacón MÓDULO. LA PROGRAMACIÓN MULTIOBJETIVO 2

3 . Conceptos Generales 2. Métodos AMO 3. Pesos de Importanca relatva 4. Propuesta Formulacón del problema AMO Max Z(x)=(Z (x),z 2 (x)...z q (x)) Z (x) sujeto a: A c Z max g (x) < b S(x) g 2 (x) < b 2... g k (x) < b k Produccón económca ($) a Z mn d S B Hectáreas preservadas en estado satsfactoro 3

4 EJEMPLO: Planfcacón de la produccón de una papelera Dos posbles productos: x : pulpa de celulosa obtenda por medos mecáncos x 2 : pulpa de celulosa obtenda por medos químcos. Capacdad máxma de produccón (Ton/da) Jornales requerdos (jor/un) Margen Neto ($/ton) Demanda Bológca de O (un/ton) X x Los costos fjos de la papelera se estman en $/día. La empresa desearía, al menos, cubrr los costos fjos. Las preferencas de la empresa se concretan en: Maxmzacón del margen Neto (objetvo económco) Mnmzacón del daño generado en el río en el que la papelera verte sus resduos productvos (objetvo ambental). Objetvos Maxmzar Z = 000x x 2 Margen bruto Maxmzar Z 2 = -x -2 x 2 Demanda de O Restrccones x 300 y x (capacdad de produccón) x + x (empleo) 000x x (margen bruto) x, x 2 0 4

5 Puntos extremos A X (ton) 0 X2 (ton) 00 Z (u.m) Z2 Demanda de O 200 X 2: pasta por medos químcos (ton) A B C Zona factble B C D E D E 400 X : pasta por medos mecáncos (ton) Matrz de Pagos Z 2: Demanda bológca de oxígeno (undades día) E A C X (ópt) D X (ópt) 2 B Zona factble Optmo Frontera efcente Z Z z : Margen bruto (mles u.m.da) 5

6 Z (x) A c Z max a d Z mn S B Z 2 (x) Solucón Pareto Optma Se dce que una solucón x* es Pareto óptma s y solo s no exste otra x S, tal que Z (x) Z (x*) para todo y Z j (x) Z j (x*) para al menos un j Z (x) Produccón económca ($) A c a Z mn d S Z max B Hectáreas preservadas en estado satsfactoro 6

7 SOLUCIÓN MCDM x OPTIMA SATISFACTORIA EFICIENTE Tpos de problemas según el ambente de certdumbre Ambente de certdumbre Ambente de resgo Ambente de ncertdumbre Ambente de Imprecsón 7

8 EJEMPLOS AMO. Problema del transporte: Mnmzar Costos Maxmzar Rapdez de entrega Maxmzar el trato especal de certos clentes en partcular Mnmzacón de los resgos de transporte Maxmzar Cumplmento de los contratos programados. 2. Problema de asgnacón de tareas Mnmzar Costos Mnmzar tempo Maxmzar caldad en la realzacón de tareas 3. Problema del PERT-COSTE: Mnmzar costos Mnmzar duracón 4. Programacón de nversones Maxmzar Atencón a la demanda futura Mnmzar el uso de los recursos fnanceros dsponbles Mnmzar Contamnacón de medo ambente Mnmzar Impactos socales 8

9 5. Problema de la produccón y dstrbucón Maxmzar los benefcos por ventas Maxmzar la produccón de todos los artículos Mnmzar rupturas de stock Mnmzar horas ocosas Mnmzar horas extra Mnmzar sobreproduccón 6. Problemas de Gestón Ambental Mnmzar Impactos Ambentales Maxmzar poblacón Benefcada Maxmzar benefcos económcos Métodos de Análss Multobjetvo Generan un conjunto de SND M. de las Restrccones M. de las Ponderacones Generan una SND Factores Ponderantes Programacón de compromso Programacón por metas Ordenan un conjunto de alternatvas Dscretas ELECTRE I,II, III y IV PROMETHEE AHP 9

10 Cas todos los métodos se basan en optmzar una nueva funcón que ntegra todas las funcones objetvo en una sola, de la forma: w Z' ( x) + w2z' 2( x) wqz' q( x) Z' ( x) Dstanca al deal Dstanca al peor valor Utldad Etc. I. Método de los factores ponderantes Maxmzar Z( x) Z w max Z Z mn mn + w 2 Z2( x) Z max Z Z 2 mn 2 mn w Z ( x) Z max Z Z mn mn... + w q Z ( x) Z Z q max q Z mn q mn q Sujeto a x S Donde w = Peso de mportanca relatva del objetvo 0

11 Factores Ponderantes Z (x) w 2 w S Z 2 (x) Maxmzar Z Z Z w + w 2 + w ' w... ' ' Z Z2 Z q Z Z q ' q Z 2: Demanda bológca de oxígeno (undades día) A C B Optmo Frontera efcente z : Margen bruto (mles u.m.da)

12 II. Programacón de compromso Asume que las preferencas de un decsor pueden expresarse como una dstanca métrca entre dos puntos: el deal y el nvel alcanzado por una solucón. El método obtene la solucón factble más cercana al punto deal: Mnmzar D p Z D p Z max Z 2 Famla de funcones de dstanca D p = n p ( A, B ) = { A B } p A a c b B Dstanca Manhattan (cudad) p=, D = a + b Dstanca Eucldana p=2, D 2 = (a 2 + b 2 ) /2 = c Dstanca Tchebysheff, p=, D = max (a,b) 2

13 Formulacón para la Programacón de Compromso: Mn D p q ( x) = w = x S Z Z max max Z d Z ( x) mn p p Programacón de compromso p= : Mn Max w x S Z Z max max Z ( x) mn Z Esto es equvalente a: Mn λ Sujeto a: max Z Z ( x) w λ, =,... q max mn Z Z x S 3

14 Lo cual da una solucón equlbrada, pues satsface la sguente relacón entre objetvos: Z w Z max max Z ( x) = w Z mn 2 Z Z max 2 max 2 Z ( x) =... = w Z 2 mn 2 q Z max q max q Z Z ( x) Z q mn q S todos los pesos w son guales: Métrca = Z Z max Z 2 4

15 S todos los pesos w son guales: Métrca = 2 Z Zmax Z 2 Métrca = S todos los pesos w son guales: Z Zmax Z2 5

16 Planfcacón de la produccón de una papelera Objetvos Maxmzar Z = 000x x 2 Margen bruto Maxmzar Z 2 = -x -2 x 2 demanda de O Restrccones x 300 y x (capacdad de produccón) x + x (empleo) 000x x (margen bruto) métrca=,w =0.5, w 2 = (000x x Mn Sujeto a: x 300 x x + x x x ) 200 ( x ( 600) 2 x2 Solucón: x = 0 Z = $ x 2 =200 ) Z 2 = 400 undades 6

17 métrca=2,w =0.5, w 2 = (000x x2 ) Mn Sujeto a: x 300 x x + x x x ( x 2x2 ) ( 600) Solucón: x = 0 Z = $ x 2 =98.36 Z 2 = undades / 2 Sujeto a: métrca=, w =0.5, w 2 =0.5 Mnmzar λ (000x ) 0.5 x 2 λ ( x 2 ) 0.5 x 2 λ 200 ( 600) x 300 x x + x x x Solucón: x = 0 Z = $ x 2 =9 Z 2 = 38.8 undades 7

18 En resumen: D Z (0 3 $) 600 Z 2 (un. ) 400 Z (%) 60 Z 2 (%) 50 D D Z 2: Demanda bológca de oxígeno (undades día) A p= p=2 p= Z max z : Margen bruto (mles u.m.da) 8

19 III. Programacón por Metas El método obtene la solucón factble más cercana al punto meta. Punto deal: Vector de todos los óptmos ndependentes de los objetvos - No puede ser superado Punto Meta: Vector de todos los nveles deseados por el decsor para los objetvos- Puede ser superado Z Ideal Meta Z* Z 2 9

20 Los Pesos de Importanca Relatva W Descrben la mportanca relatva de cada objetvo. S: w k : peso asgnado a Z k w m : peso asgnado a Z m Z k es w k /w m veces más mportante que Z m Compensacón El decsor está dspuesto a ganar una undad de Z m y perder w m / w k undades de Z k, para que su satsfaccón no cambe Z k -w m /w k w m Z m +w k Z k =U Z m 20

21 Desventajas de los pesos. Dfcultad práctca en darle un valor numérco W ? Desventajas de los pesos 2. Asumen tasas constantes de ntercambo 3. Se solctan al prncpo del proceso 2

22 4. Para dferentes combnacones de pesos puede obtenerse la msma solucón Z k Z m Propuesta: eben buscarse formas de expresar las preferencas de decsor consderando que: os ntercambos propuestos por el decsor deben consderar en que nvel se encuentran los logros actuales. La búsqueda debe ser dnámca y no estátca = proceso teratvo e requeren de parámetros de sgnfcado más 22

23 Búsqueda por navegacón Z (x) Z max S Z 2 (x) Búsqueda por navegacón Z (x) Z max Z j- S Z 2 (x) 23

24 Búsqueda por navegacón Z (x) Z max + Z j Z j- S Z 2 (x) Búsqueda por navegacón Z (x) Z max S Z 2 (x) 24

25 Búsqueda por navegacón Z (x) Z max S Z 2 (x) Búsqueda por navegacón Z (x) Z max S Z 2 (x) 25

26 Basado en la teoría del comportamento complacente Optmo a Z j- + Z j Peor Objetvo j - Objetvo j Objetvo j + Dada una solucón actual, tal que se desea mejorar el logro del objetvo k, a expensas del objetvo en un sacrfco Z Maxmzar Sujeto a: (x) Z k Z j (x) Z (x) j Z x S Donde j representa los valores de Z j correspondentes a los nveles marcados en las barras desplazables de cada uno de los objetvos j. 26

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30 Ventajas Permte que el decsor, a la luz de la nformacón que se le presenta progresvamente, vaya atrapando la solucón correspondente a su verdadera estructura de preferencas, Ventajas Da nformacón sobre las posbles consecuencas de las accones, ayudándo a entender las relacones en el espaco de decsón del problema. Permte analzar smultáneamente el espaco de todos los objetvos y de todas las varables de decsón 30

31 Ventajas No asume ndependenca entre objetvos, pero permte percbr dependenca entre objetvos. No permte ncompatbldades en los parámetros de preferenca Ventajas Exste una alta posbldad de hacer análss de sensbldad muy completos que puedan llevar a dentfcar solucones robustas. Las funcones pueden ser no lneales o lneales No requere llevar los objetvos a una msma undad (Normalzacón) 3