Programación lineal (+ extensiones). Ejemplos.

Transcripción

1 Departamento de Matemáticas. ITAM

2 Forma estándar de un PPL PPL minimizar x c T x sujeta a Ax = b, x 0,

3 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

4 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

5 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

6 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

7 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

8 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

9 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

10 en donde x 0 indica x i 0, i = 1, 2,..., n. c es el vector de costos. c R n. A es una matriz real de m n con m < n. Rango completo. b es el vector de términos independientes. El vector x es llamado el vector de variables de decisión la función f es conocida como la función objetivo El conjunto Ω = {x R n Ax = b, x 0} es llamado la zona factible.

11 Extensión inmediata (métodos de puntos interiores) PPC convexa minimizar f(x) = 1 x 2 xt Qx + c T x sujeta a Ax = b, x 0. Q simétrica positiva (semi)definida: a) carteras de inversión; b) precios de derivados financieros; c) robótica; d) dinámica de cuerpos rígidos (videojuegos); e) minimizar con la norma euclidiana; f) cálculo variacional.

12 Ejemplo de un PPL minimizar 2x 1 x 2 x R 2 sujeta a x x 2 4 x 1 + x 2 2 2x 1 3 x 0 variables de holgura PPL en forma estándar: minimizar 2x 1 x 2 x R 2 sujeta a x x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + x 4 = 2 2x 1 + x 5 = 3 x 0

13 Zona factible e isoĺıneas de un PL x f = 2x 1 x Ω x * x 1

14 Ajuste de superficies Observaciones (A i., b i ), i = 1,..., m A i. es un renglón con n elementos, b i R existe correlación entre A i1, A i2..., A in y b i, es decir: b i γ + A i1 x 1 + A i2 x A in x n Problema: encontrar la mejor pareja de parámetros (x, γ) en el sentido de minimizar una medida del error total m A i. x + γ b i i=1

15 Formulación del problema Si definimos A = A 1. A 2.. A m., b = b 1 b 2. b m, e = , entonces, podemos formular el problema como minimizar x,y,γ z = e T y sujeta a y Ax + γe b y, y 0.

16 Balance de carga de trabajo Supongamos que tenemos n procesadores, algunos de los cuales tienen más carga de trabajo que otros. Deseamos distribuir una carga de trabajo L de tal manera que todos los procesadores tengan un mínimo de carga de trabajo. p i la carga actual del procesador i, i = 1, 2,..., n x i fracción de L que recibirá el procesador i, x i 0 n x i = 1 i=1 γ carga mínima final de trabajo para cada procesador después de distribuir L maximizar x,γ γ sujeta a p + Lx γe, e T x 1 = 0, x 0

17 Balance de carga de trabajo Supongamos que tenemos n procesadores, algunos de los cuales tienen más carga de trabajo que otros. Deseamos distribuir una carga de trabajo L de tal manera que todos los procesadores tengan un mínimo de carga de trabajo. p i la carga actual del procesador i, i = 1, 2,..., n x i fracción de L que recibirá el procesador i, x i 0 n x i = 1 i=1 γ carga mínima final de trabajo para cada procesador después de distribuir L maximizar x,γ γ sujeta a p + Lx γe, e T x 1 = 0, x 0

18 Balance de carga de trabajo Supongamos que tenemos n procesadores, algunos de los cuales tienen más carga de trabajo que otros. Deseamos distribuir una carga de trabajo L de tal manera que todos los procesadores tengan un mínimo de carga de trabajo. p i la carga actual del procesador i, i = 1, 2,..., n x i fracción de L que recibirá el procesador i, x i 0 n x i = 1 i=1 γ carga mínima final de trabajo para cada procesador después de distribuir L maximizar x,γ γ sujeta a p + Lx γe, e T x 1 = 0, x 0

19 Balance de carga de trabajo Supongamos que tenemos n procesadores, algunos de los cuales tienen más carga de trabajo que otros. Deseamos distribuir una carga de trabajo L de tal manera que todos los procesadores tengan un mínimo de carga de trabajo. p i la carga actual del procesador i, i = 1, 2,..., n x i fracción de L que recibirá el procesador i, x i 0 n x i = 1 i=1 γ carga mínima final de trabajo para cada procesador después de distribuir L maximizar x,γ γ sujeta a p + Lx γe, e T x 1 = 0, x 0

20 Balance de carga de trabajo Supongamos que tenemos n procesadores, algunos de los cuales tienen más carga de trabajo que otros. Deseamos distribuir una carga de trabajo L de tal manera que todos los procesadores tengan un mínimo de carga de trabajo. p i la carga actual del procesador i, i = 1, 2,..., n x i fracción de L que recibirá el procesador i, x i 0 n x i = 1 i=1 γ carga mínima final de trabajo para cada procesador después de distribuir L maximizar x,γ γ sujeta a p + Lx γe, e T x 1 = 0, x 0

21 Balance de carga de trabajo Supongamos que tenemos n procesadores, algunos de los cuales tienen más carga de trabajo que otros. Deseamos distribuir una carga de trabajo L de tal manera que todos los procesadores tengan un mínimo de carga de trabajo. p i la carga actual del procesador i, i = 1, 2,..., n x i fracción de L que recibirá el procesador i, x i 0 n x i = 1 i=1 γ carga mínima final de trabajo para cada procesador después de distribuir L maximizar x,γ γ sujeta a p + Lx γe, e T x 1 = 0, x 0

22 Clasificación Dados dos conjuntos finitos de puntos en R n, deseamos construir un hiperplano en R n que separe a ambos conjuntos tan bien como sea posible. El hiperplano servirá para clasificar puntos nuevos. H = {x R n w T x = γ}, w 0, γ 0. Entonces: w T x γ para los puntos del primer conjunto y w T x γ para los puntos del segundo conjunto. w T x γ + 1, w T x γ 1 Ambos conjuntos no necesariamente son separables. Es necesario minimizar el error cometido en la clasificación.

23 Formulación La matriz M de m n está formada con los puntos del primer conjunto. B de k n contiene los puntos del segundo conjunto. Error de clasificación asociado con el primer conjunto: w T x γ + 1, (w T x γ) y (Mw γe m ) + e m 0, y 0, e m R m. z (Bw γe k ) + e k 0, z 0, e k R k.

24 Formulación La matriz M de m n está formada con los puntos del primer conjunto. B de k n contiene los puntos del segundo conjunto. Error de clasificación asociado con el primer conjunto: w T x γ + 1, (w T x γ) y (Mw γe m ) + e m 0, y 0, e m R m. z (Bw γe k ) + e k 0, z 0, e k R k.

25 Formulación La matriz M de m n está formada con los puntos del primer conjunto. B de k n contiene los puntos del segundo conjunto. Error de clasificación asociado con el primer conjunto: w T x γ + 1, (w T x γ) y (Mw γe m ) + e m 0, y 0, e m R m. z (Bw γe k ) + e k 0, z 0, e k R k.

26 Formulación La matriz M de m n está formada con los puntos del primer conjunto. B de k n contiene los puntos del segundo conjunto. Error de clasificación asociado con el primer conjunto: w T x γ + 1, (w T x γ) y (Mw γe m ) + e m 0, y 0, e m R m. z (Bw γe k ) + e k 0, z 0, e k R k.

27 Error promedio en cada caso: e T my/m y e T k z/k. minimizar w,γ,y,z sujeta a 1 m et my + 1 k et k z y (Mw γe m ) + e m z (Bw γe k ) + e k y 0, z 0.